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Unterraum: Unterraumbestimmung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Mi 19.11.2008
Autor: moosi

Bestimmen Sie für welche a [mm] \in \IR [/mm] die Menge  [mm] P=\{(x,y) \in \IQ^2 : x^2-ay^2=0\} [/mm]
ein Unterraum des [mm] \IQ-Vektorraums \IQ^2 [/mm] ist, und für welche sie es nicht ist.
(Tip: Überlegen sie sich vor dem Aufschreiben der Lösung alle "guten" a und machen sie dann eine Fallunterscheidung.)



so also für a<0 muss ja dann (x,y)=(0,0) sein, also in dem Fall ist nur der Nullvektor Element des Unterraums.

für a=0 muss x=0 und y beliebig sein

für a=1 muss x=y oder x=-y

nur der Fall a>0 ist für mich noch unklar. wie kann ich da eine Aussage über die x und y treffen?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Unterraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Mi 19.11.2008
Autor: JustSmile

Habe leider grad nicht allzu viel Zeit, aber vielleicht kann ich ja kurz meine Meinung sagen ;-)

Du kannst dir ja mal aufschreiben, was für einen Untervektorraum gelten muss. Hier sind es die Lösungen (also Paare (x,y), wobei x und y rationale Zahlen sind!), die einen untervektorraum bilden sollen. addition und skalarmultiplikation erhälst du aus dem Vektorraum über Q. Nun stellst du zuerst einmal fest, welche gestalt deine Lösungen allgemein haben, indem du eine abhängigkeit zwischen x und y herausbekommst, also die gleichung nach x auflöst. dann erhälst du paare (wurzel(a)*y,y) (wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe im kopf^^). überlege für welche a diese lösungen/vektoren sowohl unter addition als auch unter skalarmultiplikation wieder ein element aus der Lösungsmenge (bzgl. +) bzw [mm] Q^2 [/mm] (bzgl. *) ergeben.
Hoffe, dass das der Lösungsansatz ist, aber mangels zeit, is das hier ja auch nur eine Mitteilung und keine entgültige antwort. vielleicht korrigiert mich ja wer oder bestätigt mich! :)

lg, tobias

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Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Mi 19.11.2008
Autor: moosi

ja also ich habe dann jetzt mal die Addition probiert:

[mm] \vektor{x\\y} [/mm] + [mm] \vektor{s\\t} [/mm] = [mm] \vektor{x+s\\y+t} [/mm]
wobei (x,y) und (s,t) aus [mm] \IQ^2 [/mm] sind.

dann setze ich [mm] x=\wurzel{a}*y [/mm] und [mm] s=\wurzel{a}*t [/mm]

daraus ergibt sich:

[mm] (\wurzel{a}*y+\wurzel{a}*t)^2-a*(y+t)^2=0 [/mm]

bei weiterer Umformung ergibt sich dann 0=0, also ne wahre Aussage.

heißt das dann jetzt für alle x aus [mm] \IQ [/mm] in der Form [mm] x=\wurzel{a}*y [/mm]
ist es ein Unterraum für a>0?

und bei der Multiplikation ist das dann analog.

aber schon mal vielen dank für die Antwort!

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Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Do 20.11.2008
Autor: angela.h.b.


> ja also ich habe dann jetzt mal die Addition probiert:
>  
> [mm]\vektor{x\\y}[/mm] + [mm]\vektor{s\\t}[/mm] = [mm]\vektor{x+s\\y+t}[/mm]
> wobei (x,y) und (s,t) aus [mm]\IQ^2[/mm] sind.
>  
> dann setze ich [mm]x=\wurzel{a}*y[/mm] und [mm]s=\wurzel{a}*t[/mm]

Hallo,

das stimmt ja nicht.

Sei a>0.

Aus [mm] x^2=ay^2 [/mm] folgt [mm] x=\pm\wurzel{a}|y|. [/mm]

Zweierlei Probleme tun sich auf: ist in jedem Fall [mm] x\in \IQ [/mm] ?
Ist das wirklich abgeschlossen unter der Addition?

Gruß v. Angela





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Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:18 Do 20.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie für welche a [mm]\in \IR[/mm] die Menge  [mm]P=\{(x,y) \in \IQ^2 : x^2-ay^2=0\}[/mm]
>  
> ein Unterraum des [mm]\IQ-Vektorraums \IQ^2[/mm] ist, und für
> welche sie es nicht ist.
>  (Tip: Überlegen sie sich vor dem Aufschreiben der Lösung
> alle "guten" a und machen sie dann eine
> Fallunterscheidung.)
>  
>
>
> so also für a<0 muss ja dann (x,y)=(0,0) sein, also in dem
> Fall ist nur der Nullvektor Element des Unterraums.

Hallo,

in dem Fall ist nur der Nullvektor in der Menge P, welche folglich ein UVR des [mm] \IQ^2 [/mm] ist.

> für a=0 muss x=0 und y beliebig sein

Ja. Schreib die menge manierlich auf und prüfe, ob sie ein Unterraum ist.

>
> für a=1 muss x=y oder x=-y

Kannst Du diese Menge geometrisch beschreiben?

Ist es ein Unterraum?


>  
> nur der Fall a>0 ist für mich noch unklar. wie kann ich da
> eine Aussage über die x und y treffen?

Naja, den Spezialfall a=1 hast Du ja schon betrachtet.

Allgemein ist zu beachten, daß hier Vektoren des [mm] \IQ^2 [/mm] betrachtet werden.

Die Lösung von [mm] x^2=ay^2 [/mm] ist ja [mm] x=\pm\wurzel{a}|y|, [/mm] so daß hier überhaupt nur gewisse a infrage kommen.

In den anderen Fällen ist die Menge klein.

Gruß v. Angela

>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


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Unterraum: Lösungsvorschlag
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Sa 22.11.2008
Autor: Timisonfire

Da das auch gerade mein Thema ist, hab ich mich mal kurz damit beschäftigt und würd gerne wissen, ob mein Rückschluss richtig ist.

Also a=0 und a<0 sind klar.
Für a>0 hab ich mir jetzt gedacht, dass [mm] a=\bruch{x²}{y²} [/mm] sein muss, damit die Gleichung gilt.
Und damit ist [mm] P=\IQ², [/mm] da man ja alle (x,y) nehmen kann.
Oder liege ich da falsch?


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Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Sa 22.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Da das auch gerade mein Thema ist, hab ich mich mal kurz
> damit beschäftigt und würd gerne wissen, ob mein
> Rückschluss richtig ist.
>  
> Also a=0 und a<0 sind klar.
>  Für a>0 hab ich mir jetzt gedacht, dass [mm]a=\bruch{x²}{y²}[/mm]
> sein muss, damit die Gleichung gilt.
>  Und damit ist [mm]P=\IQ²,[/mm] da man ja alle (x,y) nehmen kann.
>  Oder liege ich da falsch?

Hallo,

daß die nichtrationalen a ausscheiden, hatten wir schon erwähnt, oder?

Nimm aber mal  a=2.

Was ist dann in der Menge drin. Gewiß nicht ganz [mm] \IQ. [/mm]

Ich bin mir nicht sicher, ob Du die Aufgabe richtig verstehst.

Dieses A ist vorgegeben, und dann betrachtet man die Lösungsmenge der Gleichung [mm] x^2-ay^2=0 [/mm] und schaut, ob es ein VR ist oder nicht.

Gruß v. Angela





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Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Sa 22.11.2008
Autor: Timisonfire

Für a=2 ist die Gl. im gegebenen Rahmen nicht erfüllbar. Denn meines Wissens gibt es keine Quadratzahl, die doppelt so groß ist wie eine andere.
Genauso bei a=3; 5; 6; 7; 8...

Die Gleichung hat also nur eine Lösung, wenn a sich in der Form [mm] \bruch{x²}{y²} [/mm] darstellen lässt (z.B. a=4; 9; [mm] \bruch{1}{25}... [/mm]

Für alle anderen a beinhaltet P nur (0,0).

Mh, dann hab ich anscheinend falschherum gedacht. Wenn sich also (x,y) nach dem a richten und nicht andersrum, wäre bei meiner Denkweise in jedem P nur ein (x,y) und (0,0) oder nur (0,0) enthalten.
z.B. bei a=4 wäre [mm] P=\{(2,1),(0,0)\} [/mm]
Das ist dann aber kein Unterraum.
Also wäre P für alle a, die sich nach obiger Art darstellen lassen, kein UR und für alle anderen a>0 der triviale UR [mm] \{(0,0)\}. [/mm]

Das kann doch so nicht stimmen, oder?

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Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Sa 22.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Für a=2 ist die Gl. im gegebenen Rahmen nicht erfüllbar.

Hallo,

durch (0,0) schon.


> Die Gleichung hat also nur eine

weitere

> Lösung,wenn a sich in der
> Form [mm]\bruch{x²}{y²}[/mm] darstellen lässt (z.B. a=4; 9;
> [mm]\bruch{1}{25}...[/mm]

Ja.

>  
> Für alle anderen a beinhaltet P nur (0,0).

Ja. Immerhin ist das dann ja auch ein kleiner Vektorraum.

>  z.B. bei a=4 wäre [mm]P=\{(2,1),(0,0)\}[/mm]

Nein.

Für a=4 sind alle Paare (x,y) drin, für welche [mm] (\bruch{x}{y})^2=4 [/mm] ist, also [mm] \bruch{x}{y}=2 [/mm] oder [mm] \bruch{x}{y}=-2, [/mm] und natürlich (0,0).

Da gibt's ja eine Menge Möglichkeiten.

Die Unterraumeigenschaft wäre zu untersuchen.

>  Das ist dann aber kein Unterraum.

Stimmt.


>  Also wäre P für alle a, die sich nach obiger Art
> darstellen lassen, kein UR und für alle anderen a>0 der
> triviale UR [mm]\{(0,0)\}.[/mm]
>  
> Das kann doch so nicht stimmen, oder?

Wieso nicht?

Gruß v. Angela


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