Untervektorräume (Inklusionen) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Sa 05.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Seien [mm]U, U', U'' \subseteq V[/mm] Untervektorräume des K-Vektorraums [mm]V[/mm] über einem beliebigen Körper [mm]K[/mm]. Welche der Inklusionen gilt bzw. gelten immer:
[mm]U \cap (U' + U'') \subseteq (U \cap U') + (U \cap U'')[/mm] oder bzw. und
[mm]U \cap (U' + U'') \supseteq (U \cap U') + (U \cap U'')[/mm]?
Ich habe schon versucht die Megen so aufzuschreiben:
[mm]\{u|u \in U \wedge u \in (U' + U'') \}[/mm] und
[mm]\{u|u \in ((U \cap U') + (U \cap U''))\}[/mm].
Ich weiß jetzt aber nicht wie ich mit diesem Mengen rechnen oder die Terme umstellen kann. Mein größtes Problem ist das [mm](U+U'')[/mm], weil ich nicht weiß wie ich das auflöse.Vielleicht könnte mir jemand helfen und mir ein paar Tipps geben.
Danke schön.
Bernhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Sa 05.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Bernhard!
> Seien [mm]U, U', U'' \subseteq V[/mm] Untervektorräume des
> K-Vektorraums [mm]V[/mm] über einem beliebigen Körper [mm]K[/mm]. Welche der
> Inklusionen gilt bzw. gelten immer:
> [mm]U \cap (U' + U'') \subseteq (U \cap U') + (U \cap U'')[/mm]
Diese Beziehung gilt nicht. Man kann leicht ein Gegenbeispiel angeben:
$V = [mm] \IR^2$
[/mm]
[mm] $U=Span(e_1+e_2)$
[/mm]
[mm] $U'=Span(e_1)$
[/mm]
[mm] $U''=Span(e_2)$.
[/mm]
Versuche das Gegenbeispiel bitte zu verstehen.
Wenn du nicht damit zurechtkommst, dann meldest du dich einfach wieder.
(TIPP: Es gilt: [mm] $Span(e_1) [/mm] + [mm] Span(e_2) [/mm] =V$.)
> oder bzw. und
> [mm]U \cap (U' + U'') \supseteq (U \cap U') + (U \cap U'')[/mm]?
Diese Beziehung ist immer richtig:
Es sei $u [mm] \in [/mm] (U [mm] \cap [/mm] U') + (U [mm] \cap [/mm] U'')$.
Dann gibt es $u' [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] U'$ und $u'' [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] U''$ mit
$u = u' + u''$.
Insbesondere ist also:
$u= u ' + u''$ mit $u' [mm] \in [/mm] U'$ und $u'' [mm] \in [/mm] U''$,
also:
(1) $u [mm] \in [/mm] U' + U''$.
Nun sind $u' [mm] \in [/mm] U$, $u'' [mm] \in [/mm] U$, und damit auch:
(2) $u = u ' + u'' [mm] \in [/mm] U$.
Aus (1) und (2) folgt:
$u [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] (U' + U'')$.
Hast du das verstanden? Wenn nicht, dann denke bitte lange über jeden Schritt nach und frage gezielt nach, was dir unklar ist. Ich habe es nämlich extra super-ausführlich hingeschrieben, damit man jeden einzelnen Schritt nachvollziehen kann. Okay? Ich (oder ein anderes Mitglied) hilft dir dann gerne weiter.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 So 06.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo Stefan,
ich meine, dass ich alles verstanden habe (wir haben in der Vorlesung immer "Lin" anstatt "Span" benutzt, aber das sollte ja das gleiche sein...).
Vielen Dank für deine Hilfe.
Bernhard
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