Untervektorräume/direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] heißt gerade, wenn f(-x)=f(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt, und sie heißt ungerade, wenn f(-x)=-f(x) für alle X [mm] \in \IR [/mm] gilt. Sei G die Menge aller geraden Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] und U die Menge aller ungeraden Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
(i) Zeigen, Sie dass G und U Untervektorräume von [mm] \IR^{\IR} [/mm] sind.
(ii) Untersuchen Sie ob, [mm] \IR^{\IR} [/mm] =G+U oder sogar [mm] \IR^{\IR}= [/mm] G [mm] \oplus [/mm] U gilt. |
Ich weiß schon, dass ich bei i jeweils dir 3 untervektorraum eigenschaften nachweisen muss, d.h. abgeschlossenheit unter Addition und Multiplikation und, dass die Unterräume nicht leer sind.
aber da ergibt sich schon meine erste Frage wie zeige ich, dass sie nicht leer sind. Mir ist klar das die Nullfunktion gerade und ungerade ist und somit die 0 in beiden Untervektorräumen ist aber wie schreiben ich das formal auf??
die abgeschlossenheit der geraden Funktionen ist auch noch kein Problem die der ungeraden finde ich etwas schwieriger. ist das für die Addition:
(f+g) (-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+((-g)(x))=(-f-g)(x)
ist das so richtig ich bin mir da noch recht unsicher..
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
EDIT: Leider sind mir zwei grobe Fehler unterlaufen (siehe nächster Post von mir). Also bitte diesen Beitrag ingnorieren.
> Ich weiß schon, dass ich bei i jeweils dir 3 untervektorraum
> eigenschaften nachweisen muss, d.h. abgeschlossenheit unter Addition
> und Multiplikation und, dass die Unterräume nicht leer sind.
Das mit dem nicht leer und der Abgeschlossenheit unter Addition stimmt. Die dritte Eigenschaft solltest du in deinen Vorlesungsunterlagen nochmal nachschauen! Auch wenn man die Funktionen aus [mm] $\IR^\IR$ [/mm] auch multiplizieren kann: In Vektorräumen gibt es i.A. gar keine Multiplikation von Vektoren!
> Ich weiß schon, dass ich bei i jeweils dir 3
> untervektorraum eigenschaften nachweisen muss, d.h.
> abgeschlossenheit unter Addition und Multiplikation und,
> dass die Unterräume nicht leer sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber da ergibt sich schon meine erste Frage wie zeige ich,
> dass sie nicht leer sind. Mir ist klar das die Nullfunktion
> gerade und ungerade ist und somit die 0 in beiden
> Untervektorräumen ist aber wie schreiben ich das formal
> auf??
Das mit der 0-Funktion ist ein guter Weg! Bezeichnen wir mal die Nullfunktion [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] mit 0 (sie ist schließlich der Nullvektor des Vektorraumes [mm] $\IR^\IR$). [/mm] Wenn du weißt, dass 0 gerade und ungerade ist, dann ist für [mm] $0\in [/mm] G$ und [mm] $0\in [/mm] U$ nichts mehr zu zeigen. Aber wie zeigt man (ohne einfach zu sagen, es sei klar...) z.B., dass 0 gerade ist? Was müssen wir nach Definition von "gerade" überprüfen? Welche beiden Werte müssen wir also ausrechnen und vergleichen?
> die abgeschlossenheit der geraden Funktionen ist auch noch
> kein Problem die der ungeraden finde ich etwas schwieriger.
> ist das für die Addition:
> (f+g) (-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+((-g)(x))=(-f-g)(x)
Die erste Gleichung gilt nach Definition der Addition im Vektorraum [mm] $\IR^\IR$. [/mm] Die zweite Gleichheit gilt, weil f und g als ungerade vorausgesetzt sind (und $(-g)(x)=-g(x)$ ist, aber dieser Teil der Umformung macht den Ausdruck nur komplizierter). Das dritte Gleichheitszeichen ist zwar richtig, aber hilft uns für die Aufgabe nicht weiter. Ändere mal die beiden Kleinigkeiten und überlege, welche Gleichheit zu zeigen ist. Welche Gleichheit fehlt uns dazu noch?
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> Das mit dem nicht leer und der Abgeschlossenheit unter
> Addition stimmt. Die dritte Eigenschaft solltest du in
> deinen Vorlesungsunterlagen nochmal nachschauen! Auch wenn
> man die Funktionen aus [mm]\IR^\IR[/mm] auch multiplizieren kann: In
> Vektorräumen gibt es i.A. gar keine Multiplikation von
> Vektoren!
oh ich habe ein wichtiges Wort vergessen...der untervektorraum muss für die skalare multiplikation abgeschlossen sein^^
> Das mit der 0-Funktion ist ein guter Weg! Bezeichnen wir
> mal die Nullfunktion [mm]\IR\to\IR[/mm] mit 0 (sie ist schließlich
> der Nullvektor des Vektorraumes [mm]\IR^\IR[/mm]). Wenn du weißt,
> dass 0 gerade und ungerade ist, dann ist für [mm]0\in G[/mm] und
> [mm]0\in U[/mm] nichts mehr zu zeigen. Aber wie zeigt man (ohne
> einfach zu sagen, es sei klar...) z.B., dass 0 gerade ist?
> Was müssen wir nach Definition von "gerade" überprüfen?
> Welche beiden Werte müssen wir also ausrechnen und
> vergleichen?
wie soll ich denn werte berechnen?..na eine funktion ist gearde wenn f(-x)=f(x) ist...
muss ich dann einfach sagen f(x)=0??..weil laut definition würde ich dann ja dort wieder landen...
(f+g) (-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x))=(-f-g)(x)
wie meinst du das das diese Umformung es komplizierter macht?..ich muss doch von f(-x) zu -f(x) kommen und da sah das logisch aus...
> Die erste Gleichung gilt nach Definition der Addition im
> Vektorraum [mm]\IR^\IR[/mm]. Die zweite Gleichheit gilt, weil f und
> g als ungerade vorausgesetzt sind (und (-g)(x)=-g(x) ist,
> aber dieser Teil der Umformung macht den Ausdruck nur
> komplizierter). Das dritte Gleichheitszeichen ist zwar
> richtig, aber hilft uns für die Aufgabe nicht weiter.
> Ändere mal die beiden Kleinigkeiten und überlege, welche
> Gleichheit zu zeigen ist. Welche Gleichheit fehlt uns dazu
> noch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Das mit dem nicht leer und der Abgeschlossenheit unter
> > Addition stimmt. Die dritte Eigenschaft solltest du in
> > deinen Vorlesungsunterlagen nochmal nachschauen! Auch wenn
> > man die Funktionen aus [mm]\IR^\IR[/mm] auch multiplizieren kann: In
> > Vektorräumen gibt es i.A. gar keine Multiplikation von
> > Vektoren!
> oh ich habe ein wichtiges Wort vergessen...der
> untervektorraum muss für die skalare multiplikation
> abgeschlossen sein^^
Oh, sorry, da ist mir jetzt ein peinlicher Fehler unterlaufen! Ich habe kurzzeitig die Begriffe Untergruppe und Untervektorraum durcheinandergeworfen. Du hattest völlig recht! Ich sollte eigentlich in der Lage sein, zu erkennen, was mit Multiplikation gemeint war! Auch ohne das Wort "skalare" war das aus dem Kontext völlig klar.
> > Das mit der 0-Funktion ist ein guter Weg! Bezeichnen wir
> > mal die Nullfunktion [mm]\IR\to\IR[/mm] mit 0 (sie ist schließlich
> > der Nullvektor des Vektorraumes [mm]\IR^\IR[/mm]). Wenn du weißt,
> > dass 0 gerade und ungerade ist, dann ist für [mm]0\in G[/mm] und
> > [mm]0\in U[/mm] nichts mehr zu zeigen. Aber wie zeigt man (ohne
> > einfach zu sagen, es sei klar...) z.B., dass 0 gerade ist?
> > Was müssen wir nach Definition von "gerade" überprüfen?
> > Welche beiden Werte müssen wir also ausrechnen und
> > vergleichen?
> wie soll ich denn werte berechnen?..na eine funktion ist
> gearde wenn f(-x)=f(x) ist...
> muss ich dann einfach sagen f(x)=0??..weil laut definition
> würde ich dann ja dort wieder landen...
Nach Definition der Nullfunktion 0 gilt für alle [mm] $x\in\IR$: [/mm] 0(x)=0 und 0(-x)=0 (diese beiden Werte meinte ich, "berechnen" war etwas unglücklich formuliert). Also 0(-x)=0(x).
> (f+g) (-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x))=(-f-g)(x)
> wie meinst du das das diese Umformung es komplizierter
> macht?..ich muss doch von f(-x) zu -f(x) kommen und da sah
> das logisch aus...
Ich sehe gerade, dass wir mit deiner Rechnung auch zum Ziel kommen. (Sorry für meinen letzten Beitrag, vergiss auch diese Stelle am besten.) Wo wollen wir hin? Für beliebiges [mm] $x\in\IR$ [/mm] die Gleichheit $(f+g)(-x)=-(f+g)(x)$ zeigen. Was uns also noch fehlt, ist also $(-f-g)(x)=-(f+g)(x)$. Es würde genügen, $-f-g=-(f+g)$ zu zeigen. Dies gilt für Vektoren f und g in beliebigen Vektorräumen, also insbesondere in [mm] $\IR^\IR$. [/mm] Ich denke, das dürft ihr ohne Beweis benutzen. Wenn du möchtest, kann ich aber einen angeben.
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> Nach Definition der Nullfunktion 0 gilt für alle [mm]x\in\IR[/mm]:
> 0(x)=0 und 0(-x)=0 (diese beiden Werte meinte ich,
> "berechnen" war etwas unglücklich formuliert). Also
> 0(-x)=0(x).
reicht das denn das so per definition aufzuschreiben oder müsste ich noch was zeigen?...
> > (f+g) (-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x))=(-f-g)(x)
> > wie meinst du das das diese Umformung es komplizierter
> > macht?..ich muss doch von f(-x) zu -f(x) kommen und da sah
> > das logisch aus...
> Ich sehe gerade, dass wir mit deiner Rechnung auch zum
> Ziel kommen. (Sorry für meinen letzten Beitrag, vergiss
> auch diese Stelle am besten.) Wo wollen wir hin? Für
> beliebiges [mm]x\in\IR[/mm] die Gleichheit (f+g)(-x)=-(f+g)(x)
> zeigen. Was uns also noch fehlt, ist also
> (-f-g)(x)=-(f+g)(x). Es würde genügen, [mm]-f-g=-(f+g)[/mm] zu
> zeigen. Dies gilt für Vektoren f und g in beliebigen
> Vektorräumen, also insbesondere in [mm]\IR^\IR[/mm]. Ich denke, das
> dürft ihr ohne Beweis benutzen. Wenn du möchtest, kann
> ich aber einen angeben.
ich würde sehr gern einen beweis dazu sehen..glaub nämlich nicht das wir darüber schon gesprochen haben...
für die skalare multiplikaiton gilt doch
[mm] (\lambda f)(-x)=\lambda [/mm] f (-x)= [mm] -\lambda [/mm] f (x)= [mm] -(\lambda [/mm] f) (x)
ist das so dann auch richtig??...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Nach Definition der Nullfunktion 0 gilt für alle [mm]x\in\IR[/mm]:
> > 0(x)=0 und 0(-x)=0 (diese beiden Werte meinte ich,
> > "berechnen" war etwas unglücklich formuliert). Also
> > 0(-x)=0(x).
> reicht das denn das so per definition aufzuschreiben oder
> müsste ich noch was zeigen?...
Ich wüsste nicht, was man noch genauer zeigen könnte. Höchstens die Nullfunktion erst definieren ($0: [mm] \IR\to\IR,\; x\mapsto [/mm] 0$). Ich habe sie als bekannt vorausgesetzt.
> > Es würde genügen, [mm]-f-g=-(f+g)[/mm] zu
> > zeigen. Dies gilt für Vektoren f und g in beliebigen
> > Vektorräumen, also insbesondere in [mm]\IR^\IR[/mm]. Ich denke, das
> > dürft ihr ohne Beweis benutzen. Wenn du möchtest, kann
> > ich aber einen angeben.
> ich würde sehr gern einen beweis dazu sehen..glaub
> nämlich nicht das wir darüber schon gesprochen haben...
Seien also f und g Vektoren aus einem beliebigen Vektorraum V. Zeigen wollen wir $-f-g=-(f+g)$. Zu zeigen ist also, dass $-f-g$ das additiv Inverse von $f+g$ ist, also dass $(-f-g)+(f+g)=0$ ist. Dies sieht man durch Ausnutzen der Kommutativität und Assoziativität der Vektorraumaddition von V: $(-f-g)+(f+g)=(-f+f)+(-g+g)=0+0=0$.
> für die skalare multiplikaiton gilt doch
>
> [mm](\lambda f)(-x)=\lambda[/mm] f (-x)= [mm]-\lambda[/mm] f (x)= [mm]-(\lambda[/mm]
> f) (x)
>
> ist das so dann auch richtig??...
Ja. Kannst du das zweite Gleichheitszeichen mal begründen? Ich würde da noch einen Zwischenschritt einfügen.
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> > für die skalare multiplikaiton gilt doch
> >
> > [mm](\lambda f)(-x)=\lambda[/mm] f (-x)= [mm]-\lambda[/mm] f (x)= [mm]-(\lambda[/mm]
> > f) (x)
> >
> > ist das so dann auch richtig??...
> Ja. Kannst du das zweite Gleichheitszeichen mal begründen?
> Ich würde da noch einen Zwischenschritt einfügen.
naja beim zweiten habe ich einfach das - von (-x) ausgeklammert...weiso was würdest du denn da noch zwischen machen?...dann bin ich doch mit i fertig?..und kann zu ii übergehen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > > für die skalare multiplikaiton gilt doch
> > >
> > > [mm](\lambda f)(-x)=\lambda[/mm] f (-x)= [mm]-\lambda[/mm] f (x)= [mm]-(\lambda[/mm]
> > > f) (x)
> > >
> > > ist das so dann auch richtig??...
> > Ja. Kannst du das zweite Gleichheitszeichen mal begründen?
> > Ich würde da noch einen Zwischenschritt einfügen.
>
> naja beim zweiten habe ich einfach das - von (-x)
> ausgeklammert...weiso was würdest du denn da noch zwischen
> machen?...dann bin ich doch mit i fertig?
Naja, unter Ausklammern verstehe ich etwas anderes. Ich würde es so formulieren: [mm] $\lambda f(-x)=\lambda [/mm] (-f(x))= [mm] -\lambda [/mm] f(x)$ (wobei erstere Gleichheit wegen f ungerade gilt und die zweite Gleichheit als Rechenregel für Vektorräume in der Vorlesung dran gekommen sein sollte).
> ..und kann zu ii übergehen oder?
Ich denke schon.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hast du da schon Überlegungen zu angestellt? Z.B. zur üblichen Frage nach der Definition von G+U?
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Also bei ii bin ich noch nicht wirklich weit..das finde ich wieder recht kompliziert...
also als definition für summe steht bei mir
Es seien [mm] U_{1},...,U_{r} [/mm] lineare Unterräume eines K-Vektorraumes V. Dann wird die Summe dieser UNTERRÄUME ERKLÄRT DURCH
[mm] \summe_{i=1}^{r} U_{i} ={\summe_{i=1}^{r} b_{i}; b_{i} für i=1,...,r}
[/mm]
aber wie hilft mir das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
O.K. Wie ist also $G+U$ definiert? (Nur falls du nicht weiterkommst: Was sind hier $r$ und [mm] $U_1,\ldots,U_r$ [/mm] aus der Definition der Summe von Unterräumen?)
Wenn du das hast, schlage ich mal vor, dass wir uns die Inklusionen [mm] $\IR^\IR\subset [/mm] G+U$ und [mm] $\IR^\IR\supset [/mm] G+U$ getrennt angucken (Gleichheit zweier Mengen ist ja gleichbedeutend damit, dass beide Inklusionen gelten. Ein Kriterium, dass eigentlich so gut wie immer nützlich ist, wenn es um die Gleichheit von Mengen geht). Versuch mal, mit der zweiten Inklusion anzufangen. Ist sie richtig (Was bedeutet nochmal der Begriff Teilmenge?)?
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> O.K. Wie ist also [mm]G+U[/mm] definiert? (Nur falls du nicht
> weiterkommst: Was sind hier [mm]r[/mm] und [mm]U_1,\ldots,U_r[/mm] aus der
> Definition der Summe von Unterräumen?)
Fallen bei uns nicht die r raus?..weil wir ja nur zwei Unterräume haben?...oder meinen wir damit die Unterräume die in U+G enthalten sind..denn U+G lassen sich agrantiert auch als Summe von Linearkombinationen darstellen doer nicht?
> Wenn du das hast, schlage ich mal vor, dass wir uns die
> Inklusionen [mm]\IR^\IR\subset G+U[/mm] und [mm]\IR^\IR\supset G+U[/mm]
> getrennt angucken (Gleichheit zweier Mengen ist ja
> gleichbedeutend damit, dass beide Inklusionen gelten. Ein
> Kriterium, dass eigentlich so gut wie immer nützlich ist,
> wenn es um die Gleichheit von Mengen geht). Versuch mal,
> mit der zweiten Inklusion anzufangen. Ist sie richtig (Was
> bedeutet nochmal der Begriff Teilmenge?)?
die zweite Inklusion müsste stimmen, weil U und G ja komplett in [mm] \IR^{\IR} [/mm] liegen und somit ist die summe der beiden unterräume doch auch wieder in diesem Vektorraum oder nicht?
Teilmenge bedeutet in diesem Fall das alle Elemente von U+G in [mm] \IR^{\IR} [/mm] liegen...
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> > Fallen bei uns nicht die r raus?..weil wir ja nur zwei
> > Unterräume haben?...
> In der Definition ist allgemein von r Unterräumen
> [mm](r\in\IN)[/mm] die Rede, hier haben wir r=2 Unterräume.
>
> > oder meinen wir damit die Unterräume
> > die in U+G enthalten sind..
> Nein.
>
> > denn die Vektoren aus U+G lassen sich agrantiert auch als
> > Summe von Linearkombinationen darstellen doer nicht?
> Ja.
>
> Jetzt steht leider noch nicht [mm]G+U=\{\ldots|\ldots\}[/mm] da.
> Weil es sehr wichtig ist, dass du allgemeine Definitionen
> auf konkrete Situationen anwenden kannst, versuche ich, das
> noch einmal dir zu überlassen.
G+U= [mm] {\summe_{i=1}^{r=2} b_{i}; b_{i} \in U_{i} für i=1,...,r}
[/mm]
wobringe ich das mit ein das r=2 ist auf dem Summensymbol oder später in der Definition von i?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> G+U= [mm]{\summe_{i=1}^{r=2} b_{i}; b_{i} \in U_{i} für i=1,...,r}[/mm]
> wobringe ich das mit ein das r=2 ist auf dem Summensymbol
> oder später in der Definition von i?
Wie sehen denn unsere [mm] U_i [/mm] hier aus (von welchen Unterräumen betrachten wir die Summe?)? [mm] $U_1=G$, $U_2=U$. [/mm] Also: [mm] $G+U=\{\summe_{i=1}^{2} b_{i}; b_1 \in G, b_2 \in U\}$. [/mm] Und dies lässt sich schöner schreiben als [mm] $\{b_1+b_2; b_1 \in G, b_2 \in U\}$ [/mm] und noch schöner mit in dieser Situation "passenderen" Buchstaben [mm] $\{g+u; g \in G, u \in U\}$. [/mm] Soweit alles klar?
Zu untersuchen ist, ob [mm] $\IR^\IR\subset\ [/mm] G+U$ gilt. Also ob für beliebiges [mm] $f\in\IR^\IR$ [/mm] (also [mm] $f:\IR\to\IR$) [/mm] bereits [mm] $f\in [/mm] G+U$ gilt, also ob [mm] $f\in\{g+u; g \in G, u \in U\}$ [/mm] gilt, also ob [mm] $f=\ldots?\ldots$ [/mm] für gewisse ...?... gilt.
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> > G+U= [mm]{\summe_{i=1}^{r=2} b_{i}; b_{i} \in U_{i} für i=1,...,r}[/mm]
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> > wobringe ich das mit ein das r=2 ist auf dem Summensymbol
> > oder später in der Definition von i?
> Wie sehen denn unsere [mm]U_i[/mm] hier aus (von welchen
> Unterräumen betrachten wir die Summe?)? [mm]U_1=G[/mm], [mm]U_2=U[/mm].
> Also: [mm]G+U=\{\summe_{i=1}^{2} b_{i}; b_1 \in G, b_2 \in U\}[/mm].
> Und dies lässt sich schöner schreiben als [mm]\{b_1+b_2; b_1 \in G, b_2 \in U\}[/mm]
> und noch schöner mit in dieser Situation "passenderen"
> Buchstaben [mm]\{g+u; g \in G, u \in U\}[/mm]. Soweit alles klar?
also ist G+U = {g+u; g [mm] \in [/mm] G, u [mm] \in U\}? [/mm] oder habe ich in meinem kopf jetzt was durcheinander gebracht?
> Zu untersuchen ist, ob [mm]\IR^\IR\subset\ G+U[/mm] gilt. Also ob
> für beliebiges [mm]f\in\IR^\IR[/mm] (also [mm]f:\IR\to\IR[/mm]) bereits [mm]f\in G+U[/mm]
> gilt, also ob [mm]f\in\{g+u; g \in G, u \in U\}[/mm] gilt, also ob
> [mm]f=\ldots?\ldots[/mm] für gewisse ...?... gilt.
ich bin jetzt voll verwirrt..
f= (g+u); [mm] g\in [/mm] G, [mm] u\in [/mm] U für gewisse [mm] g\in [/mm] G, [mm] u\in [/mm] U..ich weiß grad nichts damit anzufangen sorry...
oder benötige ich an dieser Stelle ein [mm] \alpha [/mm] für eine linearkombination?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> also ist G+U = $\{$g+u; g [mm]\in[/mm] G, u [mm]\in U\}?[/mm]
Genau! Konntest du halbwegs nachvollziehen, warum?
> > also ob [mm]f\in\{g+u; g \in G, u \in U\}[/mm] gilt, also ob
> > [mm]f=\ldots?\ldots[/mm] für gewisse ...?... gilt.
> ich bin jetzt voll verwirrt..
> f= (g+u); [mm]g\in[/mm] G, [mm]u\in[/mm] U für gewisse [mm]g\in[/mm] G, [mm]u\in[/mm] U..
Zu untersuchen ist, ob $f=g+u$ für gewisse [mm] $g\in G,u\in [/mm] U$ gilt. (D.h. ob es [mm] $g\in G,u\in [/mm] U$ gibt, so dass $f=g+u$). In Worten formuliert: Lässt sich jede Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] darstellen als Summe einer geraden Funktion g und einer ungeraden Funktion u?
> oder benötige ich an dieser Stelle ein [mm]\alpha[/mm] für eine
> linearkombination?
Nein, ich wollte nur wissen, was [mm] $f\in\{g+u; g \in G, u \in U\}$ [/mm] eigentlich bedeutet.
Gefragt ist also, ob für jedes [mm] $f\in\IR^\IR$ [/mm] solche Funktionen [mm] $u\in [/mm] U$ und [mm] $g\in [/mm] G$ existieren mit $f=u+v$. Prinzipiell würde ich da an zwei Methoden denken:
1. Beispiele für f betrachten. Wenn wir in einem Beispiel sehen, dass solche u und g nicht existieren, haben wir die Aussage [mm] $\IR^\IR\subset [/mm] G+U$ widerlegt. Wenn in den betrachteten Beispielen immer u und g finden, bringt uns das vielleicht auf eine Idee, wie das auch für beliebiges f gezeigt werden kann.
2. Für allgemeines f überlegen, ob u und g existieren. Vielleicht sehen wir dann, dass das stets der Fall ist (und hätten einen Beweis für [mm] $\IR^\IR\subset [/mm] G+U$). Vielleicht sehen wir, wie f beschaffen sein muss, damit u und g nicht existieren (und könnten damit [mm] $\IR^\IR\subset [/mm] G+U$ widerlegen).
Beide Methoden scheinen mir grundsätzlich bei Fragen, ob irgendetwas für alle soundso gilt, sinnvolle Herangehensweisen zu sein. In diesem Beispiel habe ich selbst zunächst mit Methode 1. gearbeitet, dann aber festgestellt, dass Methode 1. hier nur Mehrarbeit gegenüber 2. ist. Daher schlage ich vor, dass wir uns direkt auf Methode 2. stürzen.
Um zu untersuchen, ob es also zu unserem betrachteten beliebigen [mm] $f\in\IR^\IR$ [/mm] solche Funktionen u und g gibt, würde ich mal betrachten, wie denn solche u und g aussehen müssten. Vielleicht finden wir dabei heraus, dass es solche u und g für bestimmte f gar nicht geben kann. Oder wir kriegen eine Idee, wie wir u und g schließlich definieren können, um anschließend zu zeigen, dass dieses u und dieses g das Gewünschte [mm] ($u\in [/mm] U$, [mm] $g\in [/mm] G$, $f=u+v$) leisten.
Sind soweit die Ideen klar?
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> > also ist G+U = [mm]\{[/mm]g+u; g [mm]\in[/mm] G, u [mm]\in U\}?[/mm]
> Genau!
> Konntest du halbwegs nachvollziehen, warum?
ja das habe ich voll und ganz evrstanden..
> Beide Methoden scheinen mir grundsätzlich bei Fragen, ob
> irgendetwas für alle soundso gilt, sinnvolle
> Herangehensweisen zu sein. In diesem Beispiel habe ich
> selbst zunächst mit Methode 1. gearbeitet, dann aber
> festgestellt, dass Methode 1. hier nur Mehrarbeit
> gegenüber 2. ist. Daher schlage ich vor, dass wir uns
> direkt auf Methode 2. stürzen.
Ja dann prbiere ich das mal..
> Um zu untersuchen, ob es also zu unserem betrachteten
> beliebigen [mm]f\in\IR^\IR[/mm] solche Funktionen u und g gibt,
> würde ich mal betrachten, wie denn solche u und g aussehen
> müssten. Vielleicht finden wir dabei heraus, dass es
> solche u und g für bestimmte f gar nicht geben kann. Oder
> wir kriegen eine Idee, wie wir u und g schließlich
> definieren können, um anschließend zu zeigen, dass dieses
> u und dieses g das Gewünschte ([mm]u\in U[/mm], [mm]g\in G[/mm], [mm]f=u+v[/mm])
> leisten.
>
> Sind soweit die Ideen klar?
jaa die Idee ist soweit klar ich finde bloß noch nicht richtig den ansatz dafür..ich weiß nicht ganz wie ich darauf kommen soll wie g und u definiert sind..das hängt bestimmt mit
f(-x)=f(x) und f(-x)=-f(x) zusammen aber wie kann ich dadurch die funktionen definieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ja das habe ich voll und ganz evrstanden..
> jaa die Idee ist soweit klar
Super!
> ich finde bloß noch nicht
> richtig den ansatz dafür..ich weiß nicht ganz wie ich
> darauf kommen soll wie g und u definiert sind..das hängt
> bestimmt mit
> f(-x)=f(x) und f(-x)=-f(x) zusammen aber wie kann ich
> dadurch die funktionen definieren?
f ist eine beliebige Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$. [/mm] Sie muss weder gerade noch ungerade sein. (Das ist gerade das entscheidende an unserer Frage: Lässt sich JEDE Funktion als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben?) g müsste gerade sein und u ungerade.
Außerdem müsste $f=g+u$ gelten, also für alle [mm] $x\in\IR$: [/mm] $f(x)=(g+u)(x)=g(x)+u(x)$.
Bis hierhin habe ich bei Aufgabenteil (ii) nur Standardtechniken zur Bearbeitung von Übungsaufgaben angewendet, von denen du einen Großteil unbedingt erlernen musst! Ab jetzt dagegen braucht es spezielle Ideen, wie wir Schlussfolgerungen über g und u anstellen können. Diese Ideen sind nicht so universell für diverse Übungsaufgaben einsetzbar, sondern charakteristisch für diese spezielle.
Eine solche Idee (die mir nach etwas Rumprobiererei gekommen ist) besteht darin, für beliebiges [mm] $y\in\IR$ [/mm] Gleichungen [mm] $f(y)=\ldots?$ [/mm] und [mm] $f(-y)=\ldots?$ [/mm] zu betrachten (benutze beide male, dass unter unserer Annahme, wir hätten geeignete u und g $f(x)=u(x)+g(x)$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt).
Da wir ja f (beliebig) vorgegeben haben und uns fragen, wie u und g aussehen müssten: Löse diese Gleichungen nach $u(y)$ und $g(y)$ auf!
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> Außerdem müsste [mm]f=g+u[/mm] gelten, also für alle [mm]x\in\IR[/mm]:
> [mm]f(x)=(g+u)(x)=g(x)+u(x)[/mm].
>
> Bis hierhin habe ich bei Aufgabenteil (ii) nur
> Standardtechniken zur Bearbeitung von Übungsaufgaben
> angewendet, von denen du einen Großteil unbedingt erlernen
> musst! Ab jetzt dagegen braucht es spezielle Ideen, wie wir
> Schlussfolgerungen über g und u anstellen können. Diese
> Ideen sind nicht so universell für diverse Übungsaufgaben
> einsetzbar, sondern charakteristisch für diese spezielle.
>
> Eine solche Idee (die mir nach etwas Rumprobiererei
> gekommen ist) besteht darin, für beliebiges [mm]y\in\IR[/mm]
> Gleichungen [mm]f(y)=\ldots?[/mm] und [mm]f(-y)=\ldots?[/mm] zu betrachten
> (benutze beide male, dass unter unserer Annahme, wir
> hätten geeignete u und g [mm]f(x)=u(x)+g(x)[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> gilt).
>
> Da wir ja f (beliebig) vorgegeben haben und uns fragen, wie
> u und g aussehen müssten: Löse diese Gleichungen nach
> [mm]u(y)[/mm] und [mm]g(y)[/mm] auf!
f(y)=u(y)+g(y)
f(-y)=u(-y)+g(-y)
oder habe iche s mir jetzt zu einfach gemacht?
u(y)=f(y)-g(y)
g(y)=f(y)-u(y)
u(-y)=f(-y)-g(-y)
g(-y)=f(-y)-g(-y)
ich mache mir das doch gerade viel zu einfach bestimmt wie soll mich das weiterbringen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> f(y)=u(y)+g(y)
> f(-y)=u(-y)+g(-y)
>
> oder habe iche s mir jetzt zu einfach gemacht?
Sehr gut! Vergessen zu schreiben habe ich: Die rechte Seite der zweiten Gleichung lässt sich noch so umschreiben, dass dort statt $u(-y)$ und $g(-y)$ $u(y)$ und $g(y)$ auftreten (Benutze, dass g gerade und u ungerade ist).
Wir erhalten ein Gleichungssystem: $f(y)=u(y)+g(y)$ und [mm] $f(-y)=\dots?$. [/mm] Dieses System (nicht die beiden Gleichungen einzeln, wie es in meinem vorherigen Post klang) soll nun nach $u(y)$ und $g(y)$ aufgelöst werden.
Gibt es Lösungen für $u(y)$ und $g(y)$? Wenn nein, haben wir gezeigt, dass es solche g und u nicht geben kann. Wenn ja, haben wir Kandidaten, wie die möglicherweise existierenden Funktionen g und u aussehen müssten.
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> Wir erhalten ein Gleichungssystem: [mm]f(y)=u(y)+g(y)[/mm] und
> [mm]f(-y)=\dots?[/mm]. Dieses System (nicht die beiden Gleichungen
> einzeln, wie es in meinem vorherigen Post klang) soll nun
> nach [mm]u(y)[/mm] und [mm]g(y)[/mm] aufgelöst werden.
f(-y)=g(y)-u(y)
> Gibt es Lösungen für [mm]u(y)[/mm] und [mm]g(y)[/mm]? Wenn nein, haben wir
> gezeigt, dass es solche g und u nicht geben kann. Wenn ja,
> haben wir Kandidaten, wie die möglicherweise existierenden
> Funktionen g und u aussehen müssten.
f(y)+f(-y)=g(y)+u(y)+g(y)-u(y)=2*g(y)
g(y)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (f(y)+f(-y))
f(y)-f(-y)=g(y)+u(y)-(g(y)-u(y))=g(y)+u(y)-g(y)+u(y)=2*u(y)
[mm] u(y)=\bruch{1}{2} [/mm] (f(y)-f(-y))
so und wie mache ich weitern wenn ich das habe??..
und noch ne allgemeine frage wie negründe ich dieses vorgehen in meinem Beweis??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> f(-y)=g(y)-u(y)
> f(y)+f(-y)=g(y)+u(y)+g(y)-u(y)=2*g(y)
> g(y)= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (f(y)+f(-y))
>
> f(y)-f(-y)=g(y)+u(y)-(g(y)-u(y))=g(y)+u(y)-g(y)+u(y)=2*u(y)
> [mm]u(y)=\bruch{1}{2}[/mm] (f(y)-f(-y))
> so und wie mache ich weitern wenn ich das habe??..
>
> und noch ne allgemeine frage wie negründe ich dieses
> vorgehen in meinem Beweis??
Sehr gute Frage! Bisher haben wir überlegt: Wenn es zu unserer beliebigen Funktion f Funktionen g und u mit
a) [mm] $g\in [/mm] G$, [mm] $u\in [/mm] U$ und
b) $f=g+u$
gibt, so müssen diese beiden Funktionen schon genauso aussehen, wie du es gerade berechnet hast!
Wie die fertige Lösung am Ende aussehen wird, hängt davon ab, ob die Aussage aus der Aufgabenstellung richtig oder falsch ist.
Wenn die Aussage falsch ist, müssen wir zeigen, dass g und u mit a) und b) (für irgendein [mm] $f:\IR\to\IR$) [/mm] nicht existieren. Wir haben schon gezeigt, dass es maximal eine solche Funktion g und eine solche Funktion u geben kann. Jetzt müssten wir zeigen, dass auch diese letzten in Frage kommenden Kandidaten nicht a) und b) erfüllen.
Wenn die Aufgabe richtig ist, sollten wir zum Nachweis, dass Funktionen g und u existieren, die a) und b) erfüllen, g und u konkret angeben. Das können wir tun (wir wissen ja jetzt, wie g und u auszusehen haben): [mm] $g,u:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $g(y)=\bruch{1}{2}(f(y)+f(-y))$ [/mm] und [mm] $u(y)=\bruch{1}{2}(f(y)-f(-y))$ [/mm] für alle [mm] $y\in\IR$. [/mm] Jetzt können wir getrost vergessen (und müssen es in einer fertigen Lösung nicht erwähnen!), wie wir auf diese Definition gekommen sind. Wir müssen nur zeigen, dass dieses g und dieses u a) und b) erfüllen.
In beiden Fällen ist also zu überprüfen, ob mit [mm] $g,u:\IR\to\IR$, [/mm] $g(y)= [mm] \bruch{1}{2}(f(y)+f(-y))$ [/mm] und [mm] $u(y)=\bruch{1}{2}(f(y)-f(-y))$ [/mm] für alle [mm] $y\in\IR$, [/mm] a) und b) erfüllt sind.
Dann mal los!
(Sollten die Überlegungen unklar sein, dann verrate ich dir mal, welcher der beiden Fälle (Aussage aus der Aufgabenstellung richtig oder falsch) vorliegt. Dann können wir uns darauf konzentrieren.)
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> > so und wie mache ich weitern wenn ich das habe??..
> >
> > und noch ne allgemeine frage wie negründe ich dieses
> > vorgehen in meinem Beweis??
> Sehr gute Frage! Bisher haben wir überlegt: Wenn es zu
> unserer beliebigen Funktion f Funktionen g und u mit
> a) [mm]g\in G[/mm], [mm]u\in U[/mm] und
> b) [mm]f=g+u[/mm]
> gibt, so müssen diese beiden Funktionen schon genauso
> aussehen, wie du es gerade berechnet hast!
>
> In beiden Fällen ist also zu überprüfen, ob mit
> [mm]g,u:\IR\to\IR[/mm], [mm]g(y)= \bruch{1}{2}(f(y)+f(-y))[/mm] und
> [mm]u(y)=\bruch{1}{2}(f(y)-f(-y))[/mm] für alle [mm]y\in\IR[/mm], a) und b)
> erfüllt sind.
> Dann mal los!
Dann probiere ich es mal...
[mm] g(-y)=\bruch{1}{2}(f(-y)+f(-(-y))=\bruch{1}{2}(f(-y)+f(y))=g(y)
[/mm]
somit hätte ich gezeigt das g(y) gerade ist und somit [mm] g\in [/mm] G
für [mm] u(-y)=\bruch{1}{2}(f(-y)-f(-(-y)))=\bruch{1}{2}(f(-y)-f(y))=-u(y)
[/mm]
somit hätte ich gezeigt das u(y) ungerade ist und somit Element von U
wobei kannst du dir da noch ma bitte genau angucken weiß net ob ich bei u irgendein zeichen falsch gesetzt habe...
jetzt muss ich noch zeigen, dass f(y)=g(y)+u(y)= [mm] \bruch{1}{2}(f(y)+f(-y))+\bruch{1}{2}(f(y)-f(-y))=f(y)
[/mm]
somit wäre auch diese bedingung erfüllt...
und wie geht es jetzt weiter??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]g(-y)=\bruch{1}{2}(f(-y)+f(-(-y))=\bruch{1}{2}(f(-y)+f(y))=g(y)[/mm]
> somit hätte ich gezeigt das g(y) gerade ist und somit
> [mm]g\in[/mm] G
> für
> [mm]u(-y)=\bruch{1}{2}(f(-y)-f(-(-y)))=\bruch{1}{2}(f(-y)-f(y))=-u(y)[/mm]
> somit hätte ich gezeigt das u(y) ungerade ist und somit
> Element von U
Super!
> jetzt muss ich noch zeigen, dass f(y)=g(y)+u(y)=
> [mm]\bruch{1}{2}(f(y)+f(-y))+\bruch{1}{2}(f(y)-f(-y))=f(y)[/mm]
> somit wäre auch diese bedingung erfüllt...
Inhaltlich richtig! Zum Aufschreiben solltest du trennen zwischen dem Teil, der zu zeigen ist, und dem, den du gerade zeigst; also z.B. so:
Jetzt muss ich noch zeigen, dass $f(y)=g(y)+u(y)$. Es gilt (für alle [mm] $y\in\IR$) $g(y)+u(y)=\bruch{1}{2}(f(y)+f(-y))+\bruch{1}{2}(f(y)-f(-y))=f(y)$. [/mm] Somit wäre auch diese bedingung erfüllt...
> und wie geht es jetzt weiter??
Also, was haben wir gezeigt? Zu jedem [mm] $f\in\IR^\IR$ [/mm] existieren [mm] $g\in [/mm] G$, [mm] $u\in [/mm] U$ mit $f=g+u$. Das, so hatten wir am Anfang überlegt, ist nichts anderes als die Aussage [mm] $\IR^\IR\subset [/mm] G+U$. Und weil [mm] $\IR^\IR\supset [/mm] G+U$ ohnehin gilt, wie du festgestellt hast, haben wir insgesamt [mm] $\IR^\IR=G+U$ [/mm] gezeigt!
Der Beweis ist gar nicht lang! Aber um eine Idee zu bekommen, wie wir passende Funktionen g und u für den Beweis finden konnten, mussten wir etwas ausholen.
Kannst du für heute noch?
Dann zum zweiten Teil von (ii): Wie lautet eure Definition von [mm] $\IR^\IR=G\oplus [/mm] U$? Wie müssen wir also starten (mit Methode 2.)?
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> Also, was haben wir gezeigt? Zu jedem [mm]f\in\IR^\IR[/mm]
> existieren [mm]g\in G[/mm], [mm]u\in U[/mm] mit [mm]f=g+u[/mm]. Das, so hatten wir am
> Anfang überlegt, ist nichts anderes als die Aussage
> [mm]\IR^\IR\subset G+U[/mm]. Und weil [mm]\IR^\IR\supset G+U[/mm] ohnehin
> gilt, wie du festgestellt hast, haben wir insgesamt
> [mm]\IR^\IR=G+U[/mm] gezeigt!
> Kannst du für heute noch?
> Dann zum zweiten Teil von (ii): Wie lautet eure Definition
> von [mm]\IR^\IR=G\oplus U[/mm]? Wie müssen wir also starten (mit
> Methode 2.)?
Ja klar kann ich noch will heut noch ne Menge schaffen damit ich morgen nicht mehr soviel vor mir habe..weil weißt ja warten dann noch 2 Aufgaben...
also direkte summe haben wir wie folgt definiert
[mm] U=\oplus^{r}_{i=1} U_{i}
[/mm]
Eine Summe von zwei linearan Unterräumen ist genau dann direkt wenn [mm] U_{1}\cap U_{2}=0 [/mm] ist...da gibt es dann noch ein paar andere Sätze aber müsste das nicht schon für uns reichen?...weil die beiden funktionen haben ja nur gemeinsam die nullfunktion...aber wie zeigen wir das?...es ist ja klar weil alle anderen funktionen gerade oder ungerade sind...können wir nicht einfach sagen wenn f [mm] \in U_{1}\cap U_{2} [/mm] dann
f(x)=f(-x)=-f(x) und wenn das alles gleich ist hatten wir ja vorhin gesagt das das f(x)=0 ist aber wie drücken wir das jetzt formal aus..reicht das schon?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Wow, damit hätte ich jetzt nicht gerechnet! Bis auf formale Kleinigkeiten ist das die Lösung!
> ...weil die beiden
> funktionenUnterräume G und U haben ja nur gemeinsam die nullfunktion...aber
> wie zeigen wir das?...es ist ja klar weil alle anderen
> funktionen gerade oder ungerade nicht gerade und ungerade gleichzeitig sind...können wir nicht
> einfach sagen wenn f [mm]\in U_{1}\cap U_{2}[/mm]
[mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] sind hier G und U.
> dann für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] f(x)=f(-x)=-f(x) und wenn das alles gleich ist hatten wir
> ja vorhin gesagt das das f(x)=0 ist aber wie drücken wir
> das jetzt formal aus..reicht das schon?
Ich denke schon. Wenn du es genauer begründen möchtest: Aus $f(x)=-f(x)$ folgt $2 f(x)=0$ (rechte Seite auf die linke gebracht) und damit $f(x)=0$.
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Toll danke...ich bin grad voll froh das mein Gedankengang zum Schluss jetzt schon in die richtige Richtung ging..dann werd ich mal noch mit ner kleineren Aufgabe anfangen..habe vorhin schon gesehen..das die einer mitstudenten gepostet ...Hast du noch Lust mich noch ein bisschen zu unterstützen?
LG und ganz großen Dank^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Toll danke...ich bin grad voll froh das mein Gedankengang
> zum Schluss jetzt schon in die richtige Richtung ging..
Er ging nicht nur in die richtige Richtung, sondern war inhaltlich völlig korrekt!
> habe vorhin schon gesehen..das die einer mitstudenten gepostet
> hat...Hast du noch Lust mich noch
> ein bisschen zu unterstützen?
Eine Aufgabe mache ich noch (vorausgesetzt ich kann sie selbst lösen...)! Danach entscheide ich neu.
Dann schreib hier am besten mal den Link zu diesem Thread rein. Evt. kann es günstiger sein, Erklärungen für dich und diesen Mitstudenten zu trennen, um individuell auf jeden einzelnen einzugehen. Das schaue ich mal, wenn ich den Thread sehe.
EDIT: Habe ihn schon selbst gefunden: https://matheraum.de/read?i=638685.
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Hey also ich sitze an der selben Aufgabe und habe keinen wirklichen Ansatz die Definition einer direkten Summe ist mir schon klar..d.h. ja neben der Voraussetzung die in der Aufgabe gegeben ist nämlich das [mm] U_{1}\cap U_{2}=0 [/mm] ist
des weiteren muss für eine Summe [mm] U=\summe_{i=1}^{r} U_{i} [/mm] folgendes gelten:
a) für jedes [mm] b\in [/mm] U gibt es eine Darstellung [mm] b=\summe_{i=1}^{r} b_{i} [/mm] mit eindeutig bestimmten Vektoren [mm] b_{i} \in U_{i}, [/mm] i=1,...,r
b) Aus [mm] \summe_{i=1}^{r} b_{i} [/mm] =0 mit Vektoren [mm] b_{i} \in U_{i} [/mm] folgt [mm] b_{i}=0 [/mm] für i=1,...,r
c) Für p=1,...,r gilt [mm] U_{p} \cap \summe_{i \not= p} [/mm] =0
aber wie hilft mir diese Definition bei der Aufgabe weiter?
und hier ist der Link https://matheraum.de/read?i=638685
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