Untervektorraum bestimmen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untervektorraum/kein Untervektorraum von [mm] R^n [/mm] ?
{(x1,x2,..,xn) | x1 <=x2<=....<=xn}
{(x1,x2,..,xn) | x1 -...-xn=0}
{(x1,x2,..,xn) | x1*xn=0} |
Hey, ich komme hier bei den Beweisen nicht weiter.
Insgesamt habe ich 11 solcher Aufgaben zu lösen, aber hoffe, dass wenn die die drei verstanden habe die anderen ebenfalls lösen kann.
Ich will das mit den Axiomen beweisen.
UVR:
ex Nullvektor
v+w = x€ UVR
a * v = x€UVR
Mein Problem ist, dass ich es zB für [mm] R^3 [/mm] ohne Probleme zeigen kann aber nicht weiß wie ich es eben mit n Variablen machen muss.
Der Nullvektor ist bei allen dreien gegeben.
3.) Wenn ich da einen Vekotr habe, so ist x1 und/oder xn null.
a * v -> Multiplikation mit null ergibt wieder null, also erfüllt.
w+v = 0+0=0, erfüllt ----> UVR
Wie zeige ich das allgemein?^^
//OOPS (0,1,1) + (1,0,0) = (1,1,1) , kein UVR
2.)Das die Multiplikation gilt ist logisch, da eine Multiplikation nur eine Verschiebung ist aber im Endeffekt wieder das selbe rauskommt.
Bei der Addition: (v1+w1) - (v2+w2) - ....... muss logischerweise auch wieder auf null kommen ----> UVR
1.)Multiplikation gilt
Addition sollte auch immer gelten.
Kann mir bitte jemand mit dem FOrmalen helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Fr 14.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untervektorraum/kein Untervektorraum von [mm]R^n[/mm] ?
sei [mm] $U_1:=$
[/mm]
> {(x1,x2,..,xn) | x1 <=x2<=....<=xn}
[mm] $U_2:=$
[/mm]
> {(x1,x2,..,xn) | x1 -...-xn=0}
[mm] $U_3:=$
[/mm]
> {(x1,x2,..,xn) | x1*xn=0}
> Hey, ich komme hier bei den Beweisen nicht weiter.
> Insgesamt habe ich 11 solcher Aufgaben zu lösen, aber
> hoffe, dass wenn die die drei verstanden habe die anderen
> ebenfalls lösen kann.
>
> Ich will das mit den Axiomen beweisen.
> UVR:
> ex Nullvektor
> v+w = x€ UVR
> a * v = x€UVR
>
> Mein Problem ist, dass ich es zB für [mm]R^3[/mm] ohne Probleme
> zeigen kann aber nicht weiß wie ich es eben mit n
> Variablen machen muss.
>
> Der Nullvektor ist bei allen dreien gegeben.
>
> 3.) Wenn ich da einen Vekotr habe, so ist x1 und/oder xn
> null.
> a * v -> Multiplikation mit null ergibt wieder null, also
> erfüllt.
> w+v = 0+0=0, erfüllt ----> UVR
> Wie zeige ich das allgemein?^^
>
> //OOPS (0,1,1) + (1,0,0) = (1,1,1) , kein UVR
Eben - hier geht was schief. Und [mm] $w+v=0+0\,$ [/mm] oben macht doch keinen Sinn...
> 2.)Das die Multiplikation gilt ist logisch, da eine
> Multiplikation nur eine Verschiebung ist aber im Endeffekt
> wieder das selbe rauskommt.
> Bei der Addition: (v1+w1) - (v2+w2) - ....... muss
> logischerweise auch wieder auf null kommen ----> UVR
>
> 1.)Multiplikation gilt
> Addition sollte auch immer gelten.
>
> Kann mir bitte jemand mit dem FOrmalen helfen?
Naja, Du musst einfach sauber arbeiten und Dich an Definitionen halten:
[mm] $U_1$ [/mm] kann kein UVR des [mm] $\IR^n$ [/mm] sein:
Betrachte
[mm] $x_1:=...:=x_{n-1}:=0$ [/mm] und [mm] $x_n:=1\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $x:=(x_1,...,x_n)=(0,...,0,1) \in U_1$
[/mm]
- liefere mir dafür bitte eine Begründung.
Aber
[mm] $(-1)*x=(0,....,0,\,-1)$
[/mm]
kann nicht in [mm] $U_1$ [/mm] sein, weil... ?
[mm] $U_2$ [/mm] ist ein UR (das könnte man schnell einsehen wenn man sich schon mit
linearen Abbildungen befasst hat):
[mm] $(\red{0},...,\blue{0},\green{0})\in \IR^n$ [/mm] ist Element von [mm] $U_2,$ [/mm] weil
[mm] $\red{0}-...-\blue{0}-\green{0}=0$
[/mm]
gilt.
Nun nimm'
[mm] $x=(x_1,...,x_n),$ $y=(y_1,...,y_n) \in U_2$
[/mm]
her. Dann gilt doch
[mm] $x_1-...-x_n=0$ [/mm] und [mm] $y_1-...-y_n=0\,.$
[/mm]
Setze
[mm] $z:=x+y=(x_1+y_1,...,\, x_{n-1}+y_{n-1},\, x_n+y_n)\,.$
[/mm]
Warum ist dann $z [mm] \in U_2$?
[/mm]
(Beachte: $z [mm] \in U_2$ [/mm] wird dadurch charakterisiert, dass für [mm] $z=(z_1,...,z_n)$ [/mm] halt
[mm] $z1-...-z_n=0$
[/mm]
erfüllt ist. [D.h. genau dann, wenn diese Gleichung gilt, ist $z [mm] \in U_2\,.$ [/mm] - beachte
aber auch $z [mm] \in \IR^n$.])
[/mm]
Ich fang' mal an:
Es gilt
[mm] $z_1-...-z_n=(x_1+y_1)-...-(x_n+y_n)=...=0+0=0\,.$
[/mm]
Frage an Dich: Was passiert hier an den ... zwischen den Gleichheitszeichen?
Jetzt hast Du ja schon einen wesentlichen Teil, wie man hier ein Unterraumaxiom
prüft, gesehen. Kannst Du das nun selbst vervollständigen?
Zu [mm] $U_3\,:$
[/mm]
Das Ding kann auch kein Unterraum sein - allerdings nur für $n [mm] \ge [/mm] 2$ nicht. Für
[mm] $n=1\,$ [/mm] ist das ein Unterraum:
Denn für [mm] $n=1\,$ [/mm] ist [mm] $U_3=\{0\}\,.$
[/mm]
Für $n > [mm] 1\,$ [/mm] gebe ich Dir nun einfach nur Beispiele, Du schreibst den allgemeinen
Fall nieder:
Im Falle [mm] $n=2\,$ [/mm] betrachten wir [mm] $x=(1,0)\,$ [/mm] und [mm] $y=(0,1)\,.$ [/mm] Das sind Elemente
von [mm] $U_3,$ [/mm] denn ...
Aber $x+y=(1,1)$ kann nicht in [mm] $U_3$ [/mm] liegen, weil ...?
Im Falle [mm] $n=3\,$ [/mm] betrachten wir [mm] $x=(1,0,0)\,$ [/mm] und [mm] $y=(0,0,1)\,.$ [/mm] Das sind Elemente
von [mm] $U_3,$ [/mm] denn ...
Aber $x+y=(1,0,1)$ kann nicht in [mm] $U_3$ [/mm] liegen, weil ...?
Im Falle [mm] $n=4\,$ [/mm] betrachten wir [mm] $x=(1,0,0,0)\,$ [/mm] und [mm] $y=(0,0,0,1)\,.$ [/mm] Das sind Elemente
von [mm] $U_3,$ [/mm] denn ...
Aber $x+y=(1,0,0,1)$ kann nicht in [mm] $U_3$ [/mm] liegen, weil ...?
Also: Wie schreibt man das wohl allgemein auf?
(Das, was Du oben gemacht hast, kannst Du auch analog behandeln und
allgemein[er] aufschreiben - ich denke aber, dass Du bei meiner Methode
vielleicht minimal die Übersicht besser behältst - aber das ist Geschmackssache!)
Also, ich mach's mal *zusammenfassend*:
Der [mm] $\IR^n$ [/mm] mit (gewöhnlicher, d.h. komponentenweiser) Addition und
(gewöhnlicher) *skalarer Multiplikation* ist ein VR.
Nun haben wir eine Menge
[mm] $U:=\{\underbrace{x \in \IR^n}_{\text{damit folgt }U \subseteq \IR^n}:\;\; x \text{ hat Eigenschaft }E\}$
[/mm]
gegeben - auf [mm] $U\,$ [/mm] soll die Addition die entsprechende Einschränkung der
[mm] $\IR^n$-Addition [/mm] auf [mm] $U\,$ [/mm] und die skalare Multiplikation analog gegeben sein.
Nun will man wissen: Ist [mm] $U\,$ [/mm] ein Unter(vektor)raum (Kürzel UVR bzw. UR)
des [mm] $\IR^n$?
[/mm]
Dazu schaut man sich folgende Fragen an:
1.)
Für die [mm] $\textbf{0}=(0,...,0) \in \IR^n:$
[/mm]
Gilt, dass [mm] $\textbf{0}\,$ [/mm] auch die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] hat? (Falls ja, so ist doch
[mm] $\textbf{0} \in U\,,$ [/mm] falls nein, dann ist [mm] $\textbf{0} \notin U\,.$)
[/mm]
2.)
Gilt für alle $x,y [mm] \in U\,,$ [/mm] dass auch $(x+y) [mm] \in [/mm] U$ liegt? Dies bedeutet:
Für alle $x,y [mm] \in \IR^n\,,$ [/mm] die die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] haben, ist zu prüfen, ob auch
für deren [mm] ($\IR^n$-Summe) [/mm] $z:=(x+y) [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt, dass $(x+y)=z$ die Eigenschaft
[mm] $E\,$ [/mm] hat.
Dazu nimmt man (beliebige) $x,y [mm] \in [/mm] U$ her (d.h. es sollen $x,y [mm] \in \IR^n$ [/mm] nur so
sein, dass sie die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] haben) und guckt dann, ob $z:=(x+y)$ auch
die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] hat. Falls dem (stets) so ist, so bejahen wir auch die
Aussage
[mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(x+y) [mm] \in U\,.$
[/mm]
3.)
Für alle $x [mm] \in [/mm] U$ und alle [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] betrachtet man
[mm] $z:=\alpha [/mm] x [mm] \in \IR^n$
[/mm]
und will wissen, ob (alle) $z [mm] \in [/mm] U$ liegen.
D.h.: Man nimmt (irgendein) $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] so, dass [mm] $x\,$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm]
hat (mehr fordert man nicht) und [mm] $\alpha \in \IR\,.$
[/mm]
Dann schreibt man sich
[mm] $z:=\alpha*x \in \IR^n$
[/mm]
hin und prüft, ob dieses $z [mm] \in \IR^n$ [/mm] auch die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] hat.
Genau dann, wenn sich alle diese 3 Fragen bejahen lassen, dann ist [mm] $U\,$
[/mm]
ein Untervektorraum von [mm] $\IR^n\,.$
[/mm]
(Beachte übrigens oben, dass die Addition bzw. skalare Multiplikation nie
aus dem [mm] $\IR^n$ [/mm] herausführen kann - daher wird immer automatisch $U [mm] \subseteq \IR^n$
[/mm]
sein!)
Und jetzt mal ein kleines Beispiel:
Sei
[mm] $U:=\{(x_1,0,...,0,0): x_1 \in \IR\}\,.$
[/mm]
Ist dann $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] ein UR?
Ja:
Offensichtlich gilt für
[mm] $\textbf{0}=(0,\red{0},....,\red{0},\red{0}) \in \IR^n$
[/mm]
auch [mm] $\textbf{0} \in [/mm] U$ (wähle [mm] $x_1=0 \in \IR$).
[/mm]
2.)
Sind
[mm] $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2,...,y_n)$
[/mm]
beides Elemente aus [mm] $U\,,$ [/mm] so folgt ja
[mm] $x_2=x_3=...=x_n=0=y_n=...=y_3=y_2\,.$
[/mm]
Für
$z:=x+y$
gilt
[mm] $z_1=x_1+y_1 \in \IR$ [/mm] und [mm] $z_k:=x_k+y_k=0\,,$
[/mm]
also
[mm] $z=(x_1+y_1, [/mm] 0, ..., 0,0)$
und daher $z [mm] \in U\,.$
[/mm]
Ist [mm] $x\,$ [/mm] wie oben und $r [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so folgt auch für
[mm] $z:=r*x=(rx_1,r*0,...,r*0,r*0)=(rx_1,0,...,0,0)$
[/mm]
daher $z [mm] \in [/mm] U$ (beachte: [mm] $r*x_1 \in \IR$).
[/mm]
Und wenn Du es mal anders aufschreiben willst:
Es ist
[mm] $U=\{x=(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n) \in \IR^n: x\text{ erfüllt die Eigenschaft }x_k=0 \text{ für alle }k \in \{\red{2},...,n\}\}$
[/mm]
Dass [mm] $x_1 \in \IR$ [/mm] ist, wird hier in
[mm] $(x_1,...,x_n) \in \IR^n$
[/mm]
mitbeinhaltet!
Gruß,
Marcel
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Wow, das ging ja schnell und auch noch so viel.
Wie kann man denn hier teilweise zitieren?
"Dann ist
$ [mm] x:=(x_1,...,x_n)=(0,...,0,1) \in U_1 [/mm] $
- liefere mir dafür bitte eine Begründung.
Aber
$ [mm] (-1)\cdot{}x=(0,....,0,\,-1) [/mm] $
kann nicht in $ [mm] U_1 [/mm] $ sein, weil... ? "
1.) Weil es die Bedingungen von U1 erfüllt
2.)Weil es sie eben nicht erfüllt.
"Setze
$ [mm] z:=x+y=(x_1+y_1,...,\, x_{n-1}+y_{n-1},\, x_n+y_n)\,. [/mm] $
Warum ist dann $ z [mm] \in U_2 [/mm] $?
(Beachte: $ z [mm] \in U_2 [/mm] $ wird dadurch charakterisiert, dass für $ [mm] z=(z_1,...,z_n) [/mm] $ halt
$ [mm] z1-...-z_n=0 [/mm] $
erfüllt ist. [D.h. genau dann, wenn diese Gleichung gilt, ist $ z [mm] \in U_2\,. [/mm] $ - beachte
aber auch $ z [mm] \in \IR^n [/mm] $.])
Ich fang' mal an:
Es gilt
$ [mm] z_1-...-z_n=(x_1+y_1)-...-(x_n+y_n)=...=0+0=0\,. [/mm] $
Frage an Dich: Was passiert hier an den ... zwischen den Gleichheitszeichen? "
Kann ich nicht sagen.
Aber es ist doch logisch.
Wenn v=(a,b,c)=0
w=(x,y,z) =0
-> a-b-c = 0 = x-y-z
Kann ich entweder x-y-z auf die linke Seite bringen, womit man sieht, dass es wieder null ergibt.
Oder man begründet mit der Assozitivität der Addition.
Formal in [mm] R^n, [/mm] keine Ahnung.
Multi: a=-1 v=(1,2,-1)
a * v = a*1 + a*2 + a*-1 = a * (1+2-1)
Und es gilt: 1-2+1 =0 (0*a =0 , passt)
Oder ich sage, dass eine Multiplikation nur eine Streckung ist und die Addition/Subtraktion wieder das selbe ergibt.
"Also: Wie schreibt man das wohl allgemein auf? "
Für Vektor v,w gilt:
x1 ; xn ; x1 * xn
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Wenn man für die beiden Vektoren nun eine der drei Möglichkeiten der Tabelle gibt und dann die einer Anderen addiert, so kann auch aus zwei gültigen Vektoren ein ungültiger entstehen.
Danke für den Anhang.Wie man auf UR prüft ist mir ja klar nur nicht wie ich es korrekterweise zeige. Und wenn es kein UR ist muss ich ja nur einen Vektor finden wofür es nicht gilt, aber diesen zu finden bzw zu erkennen, dass es einen gibt muss ja nicht gleich ersichtlich sein. Wie zB beim ersten Bsp.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Sa 15.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1. mult mal einen gültigen Vektor [mm] v_1 [/mm] mit -1
zu 3 besser so aufschreiben
v1: [mm] x_1=0; x_n=1
[/mm]
v2; [mm] x_1=1 [/mm] , [mm] x_n=0
[/mm]
v1+v2 folgt [mm] x<_1*x_2\not= [/mm] 0 kein VR
Gruß leduart
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Okay, also es reicht wenn ich EIN Gegenbeispiel finde wenn es eben kein UR ist.
Was ist wenn ich hätte [mm] |x1^2 +....+xn^2=0
[/mm]
Ich bin der Meinung dies ist erfüllt.
Nullvektor existiert.
v aufsummiert =0
w aufsummiert =0
[mm] v1^2+w1^2 [/mm] + [mm] v2^2+w2^2 [/mm] ..... = sollte null ergeben, da ja beide einfach nur aufsummiert werden, bzw kann ich es umschreiben als: [mm] v1^2+v2^2....+w1^2+w2^2, [/mm] da es nur umgeschrieben ist muss es wieder 0 ergeben.
-1 * v = gleiches ergebnis, da ja eine Quadrierung mit minus plus ergibt.
Und eine andere Zahl ist nur eine Verschiebung.
--> UVR
Passt das so? Vor allem die Multiplikation?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Okay, also es reicht wenn ich EIN Gegenbeispiel finde wenn
> es eben kein UR ist.
Ja.
>
> Was ist wenn ich hätte [mm]|x1^2 +....+xn^2=0[/mm]
> Ich bin der
> Meinung dies ist erfüllt.
Gehe ich recht in der Annahme, daß Du darüber sprechen möchtest,
ob die Menge
[mm] U:=\{(x_1,...,x_n)\in \IR^n|x_1^2 +....+x_n^2=0\}
[/mm]
ein Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist?
> Nullvektor existiert.
Momentchen, daß der Nullvektor existiert, steht hier nicht zur Debatte.
Die Frage ist, ob er in U ist.
Und das ist er, weil [mm] 0^2+...+0^2=0
[/mm]
> v aufsummiert =0
> w aufsummiert =0
> [mm]v1^2+w1^2[/mm] + [mm]v2^2+w2^2[/mm] ..... = sollte null ergeben, da ja
> beide einfach nur aufsummiert werden, bzw kann ich es
> umschreiben als: [mm]v1^2+v2^2....+w1^2+w2^2,[/mm] da es nur
> umgeschrieben ist muss es wieder 0 ergeben.
Puh. Ich find's schwer, weil Du Dich so ungenau ausdrückst.
Offenbar möchtest Du gerade herausfinden, ob für [mm] v,w\in [/mm] U auch
[mm] v+w\in [/mm] U .
Seinen [mm] v:=(v_1,...,v_n), w:=(w_1,...,w_n)\in [/mm] U.
Dann ist
[mm] v_1^2 +....+v_n^2=0
[/mm]
[mm] w_1^2 +....+w_n^2=0.
[/mm]
Das hattest Du vielleicht auch gemeint.
Danach aber machst Du einen groben Fehler.
Es ist v+w zu addieren nach den Regeln der Addition im [mm] \IR^3.
[/mm]
Also ist [mm] v+w=(v_1+w_1,...,w_n+w_n),
[/mm]
und nun müßte man herausfinden, ob
[mm] (v_1+w_1)^2+...+(v_n+w_n)^2=0 [/mm] ist.
Die binomischen Formeln sind Dir bekannt?
[mm] (v_1+w_1)^2+...+(v_n+w_n)^2=0 [/mm]
<==>
[mm] (v_1^2+2v_1w_1+w_1^2)+...+(v_n^2+2v_nw_n+w_n^2)=0,
[/mm]
unter Berücksichtigung der Voraussetzung hat man dann
[mm] 2v_1w_1+...+2v_nw_n=0,
[/mm]
und nun gerät man irgendwie ins Grübeln...
> -1 * v = gleiches ergebnis, da ja eine Quadrierung mit
> minus plus ergibt.
> Und eine andere Zahl ist nur eine Verschiebung.
???
Ich weiß nicht, was Du hiermit sagen willst.
Zu prüfen ist, ob für [mm] r\in \IR [/mm] und [mm] v:=(v_1,...,v_n)\in [/mm] U gilt [mm] rv\in [/mm] U.
Es ist [mm] rv=(rv_1,...,rv_n),
[/mm]
und es ist
[mm] (rv_1)^2+...+(rv)^2=r^2*(v_1^2+...+v_n^2)=r^2*0=0.
[/mm]
Also ist [mm] rv\in [/mm] U.
Sorgen macht nach wie vor die Addition, oder hast Du inzwischen ein Gegenbeispiel gefunden oder einen Beweis dafür, daß die besagte Summe 0 ergibt?
Wir gehen jetzt nochmal ganz an den Anfang und betrachten die Menge
[mm] U:=\{(x_1,...,x_n)\in \IR^n|x_1^2 +....+x_n^2=0\}.
[/mm]
Vielleicht überlegst Du Dir erstmal exemplarisch 3 Elemente, die da drin sind.
Danach sollte sich alles geklärt haben...
LG Angela
> --> UVR
> Passt das so? Vor allem die Multiplikation?
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Entschuldigung, ich werde ab jetzt versuchen ausführlicher zu Argumentieren.
Nullvektor sieht man ja sofort.
Bei der Multiplikation meinte ich, dass ich ja, dass Distributiv? gesetz anwenden kann und dann auf ..=0 komme.
Oder eben, dass eine multiplikation >1 immer eine Streckung der Zahl ist aber es in Summe wieder das gleiche rauskommen muss.
Das ich die Addition so machen muss, darin habe ich gar nicht gedacht....
v=(0,0,0)
w=(0,0,0)...
Was dann addiert wieder 0 ergibt.
...Wenn ich so darüber nachdenke, kann es eigentlich einen anderen Vektor als(0,0,0...) geben, damit die Bedingung erfüllt ist?
WEil, wenn ich habe ^2, dann erhalte ich auf jeden Fall eine positive Zahl und wenn ich nur positive Zahlen erhalte und die dann summiere kann ich ja nie auf 0 kommen.
Außer mit einem Nullvektor.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 So 16.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Entschuldigung, ich werde ab jetzt versuchen ausführlicher
> zu Argumentieren.
>
> Nullvektor sieht man ja sofort.
> Bei der Multiplikation meinte ich, dass ich ja, dass
> Distributiv? gesetz anwenden kann und dann auf ..=0 komme.
> Oder eben, dass eine multiplikation >1 immer eine
> Streckung der Zahl ist aber es in Summe wieder das gleiche
> rauskommen muss.
>
> Das ich die Addition so machen muss, darin habe ich gar
> nicht gedacht....
ich hatte Dir schon geschrieben, wie die Addition im [mm] $\IR^n$ [/mm] funktionieren soll.
Und ich habe Dir noch mehr dazu geschrieben - bitte ausführlich lesen, und
wenn etwas unklar ist: Nachfragen!
> v=(0,0,0)
> w=(0,0,0)...
> Was dann addiert wieder 0 ergibt.
Beschränke Dich doch nicht immer auf den [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
> ...Wenn ich so darüber nachdenke, kann es eigentlich einen
> anderen Vektor als(0,0,0...) geben, damit die Bedingung
> erfüllt ist?
Welche?
> WEil, wenn ich habe ^2, dann erhalte ich auf jeden Fall
> eine positive Zahl und wenn ich nur positive Zahlen erhalte
> und die dann summiere kann ich ja nie auf 0 kommen.
> Außer mit einem Nullvektor.
Keine Bröckchen zuwerfen bitte. Es geht Dir jetzt wohl um
[mm] $U=\{(x_1,...,x_n) \in \IR^n:\;\;x_1^2+...+x_n^2=0\}\,.$
[/mm]
(Bitte hänge Fragen *passend* an!)
Wenn ich Dich richtig verstehe, dann sagst Du
[mm] $U=\{0_{(n)}\}$ [/mm] mit [mm] $0_{(n)}:=(0,0,...,0,0) \in \IR^n\,.$
[/mm]
Dann beweise das doch:
Zu [mm] "$\supseteq$":
[/mm]
[mm] $\{0_{(n)}\} \subseteq [/mm] U$ ist klar (warum?).
Zu [mm] "$\subseteq$":
[/mm]
Sei nun [mm] $(x_1,...,x_n)=x \in U\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $\sum_{k=1}^n {x_k}^2=0\,.$
[/mm]
Angenommen, es gäbe ein [mm] $k_0 \in \{1,...,n\}$ [/mm] so, dass
[mm] $x_{k_0} \not=0\,.$
[/mm]
Dann folgt
[mm] $\sum_{k=1}^n {x_k}^2 \ge {x_{k_0}}^2 [/mm] > 0$
im Widerspruch zu ...?
Und wenn Du nun
[mm] $U=\{0_{(n)}\}$ [/mm] (="Nullraum des [mm] $\IR^n$")
[/mm]
bewiesen hast: Ist das Ding dann ein Unterraum oder nicht?
Gruß,
Marcel
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Wieso Bröckchen? Ist doch die richtige Argumentation.
Ich sage das ist ein UR.
Aber darin ist als einziger Vektor der Nullvektor.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 So 16.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wieso Bröckchen? Ist doch die richtige Argumentation.
mit Bröckchen meine ich, dass Du eigentlich immer (viel) richtiges sagst (oder
meinst), es aber ziemlich *zusammenhangslos* in den Raum wirfst. Deine
Argumentation ist auch okay, aber Du hast den Beweis noch nicht vervollständigt
(oder hast Du diese ein, zwei Minischritte für Dich selbst ergänzt). Außerdem,
wie gesagt, fehlte der "Minibeweis" bei Deiner Argumentation ja komplett.
> Ich sage das ist ein UR.
> Aber darin ist als einziger Vektor der Nullvektor.
Auch hier ist Deine Sprache etwas *ungünstig*: Was soll das "aber" dabei?
Du sagst, dass der von mir nochmal zitierte Raum [mm] $U\,,$ [/mm] wenn man ihn mit
entsprechender Addition und skalarer Multiplikation, wie man sie aus dem
[mm] $\IR^n$ [/mm] *gewöhnlich* benutzt, versieht (eigentlich müßte man hier schon von
"eingeschränkten Abbildungen" reden), ein Unterraum des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist.
Die Logik ist jetzt viel einfacher: Wir haben schon
[mm] $U=\{0_{(n)}\}$
[/mm]
erkannt. Und der Nullraum des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist bekanntlich (und in ziemlich
offensichtlicher Weise) ein Unter(vektor)raum des [mm] $\IR^n\,.$
[/mm]
Damit bist Du fertig.
Und wie gesagt: Mit "Bröckchen" meine ich, dass Du Deine Argumente
etwas mehr als *vollständige Fassung* wiedergeben solltest.
Gruß,
Marcel
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