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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Verteilung unendlicher Summe
Verteilung unendlicher Summe < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verteilung unendlicher Summe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Mo 17.11.2014
Autor: Differential

Aufgabe
Seien [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] i.i.d. Zufallsvariable mit [mm] $$P(X_1=k)=\frac{1}{10}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots,9$$ [/mm] Geben Sie die Verteilung von [mm] $$Y:=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{X_n}{10^n}$$ [/mm] an.


Wie ist das möglich, wenn wir nichts über die Verteilungen von [mm] $X_2,X_3,\ldots$ [/mm] wissen?

Versuchen würde ich Induktion über [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] bei Betrachtung von [mm] $$S_n:=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{10^i}$$ [/mm]

Für $n=1$ haben wir [mm] $S_1=\frac{X_1}{10}$. [/mm] Wie lautet jetzt die Verteilung von [mm] $X_1$? [/mm] Wir haben doch [mm] $$P(S_1=k)=P(X_1=10k)$$ [/mm] Jetzt ist dies aber nur für $k=0$ gleich $1/10$ und sonst $0$; das ergibt in der Summe keine Verteilung.

Was mache ich falsch?

Gruß
Differential

        
Bezug
Verteilung unendlicher Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Mo 17.11.2014
Autor: tobit09

Hallo Differential!


Die Aufgabe habe ich zwar noch nicht vollständig gelöst, aber deine konkreten Fragen kann ich dir beantworten:


> Seien [mm]$(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$[/mm] i.i.d. Zufallsvariable mit
> [mm]P(X_1=k)=\frac{1}{10}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots,9[/mm] Geben
> Sie die Verteilung von
> [mm]Y:=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{X_n}{10^n}[/mm] an.

> Wie ist das möglich, wenn wir nichts über die
> Verteilungen von [mm]X_2,X_3,\ldots[/mm] wissen?

Die [mm] $X_n$ [/mm] sind iid. Also kennen wir die Verteilungen von [mm] $X_2$, $X_3$, [/mm] usw.: Sie stimmen mit der Verteilung von [mm] $X_1$ [/mm] überein.


> Versuchen würde ich Induktion über [mm]$n\in\mathbb{N}$[/mm] bei
> Betrachtung von [mm]S_n:=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{10^i}[/mm]
>  
> Für $n=1$ haben wir [mm]$S_1=\frac{X_1}{10}$.[/mm] Wie lautet jetzt
> die Verteilung von [mm]$X_1$?[/mm] Wir haben doch
> [mm]P(S_1=k)=P(X_1=10k)[/mm]

Ja.

> Jetzt ist dies aber nur für $k=0$
> gleich $1/10$ und sonst $0$; das ergibt in der Summe keine
> Verteilung.

[mm] $P(S_1=k)$ [/mm] ist auch für [mm] $k=\frac{1}{10}$, $k=\frac{2}{10}$, [/mm] ..., [mm] $k=\frac{9}{10}$ [/mm] jeweils positiv, nämlich [mm] $P(S_1=k)=\frac{1}{10}$. [/mm]


Etwas unpräzise Intuition:

Y lässt sich salopp schreiben als unendliche Dezimalbruch-Entwicklung

      [mm] $0,X_1X_2X_3X_4\ldots$ [/mm]

(zumindest, wenn die [mm] $X_n$ [/mm] tatsächlich nur die Werte $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ annehmen.).

An jeder Stelle der Dezimalbruch-Entwicklung treten unabhängig von den anderen Stellen alle denkbaren Ziffern mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf.

Lässt dich das auf eine Vermutung kommen, wie die Verteilung von Y aussehen könnte?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Verteilung unendlicher Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Mo 17.11.2014
Autor: Differential

Hallo Tobias,

vielen Dank für Deine Antwort. Du hast recht, natürlich kennen wir die Verteilung aller [mm] $X_i$. [/mm]

Für [mm] $S_2=S_1+X_2/10^2$ [/mm] erhalten wir [mm] $$P(S_2=k)=\sum_{m=0}^9P\left(X_2=10^2\left(k-\frac{m}{10}\right)\right)=\frac{1}{10^2}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots,1-\frac{1}{10^2}$$ [/mm]

Ich vermute daher, dass die Verteilung von [mm] $S_n$ [/mm] durch [mm] $$P(S_n=k)=\frac{1}{10^k}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots 1-\frac{1}{10^n}$$ [/mm] gegeben ist

Aber was bedeutet das für [mm] $n\to\infty$? [/mm]

Liebe Grüße
Differential

Bezug
                        
Bezug
Verteilung unendlicher Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Di 18.11.2014
Autor: tobit09


> Für [mm]$S_2=S_1+X_2/10^2$[/mm] erhalten wir
> [mm]P(S_2=k)=\sum_{m=0}^9P\left(X_2=10^2\left(k-\frac{m}{10}\right)\right)=\frac{1}{10^2}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots,1-\frac{1}{10^2}[/mm]

Der mittlere Ausdruck in deiner Gleichungskette stimmt nicht, das Endergebnis schon.

Schreibe besser "für [mm] $k=0,\frac{1}{10^2},\frac{2}{10^2},\ldots,1-\frac{1}{10^2}$", [/mm] damit man besser versteht, wie die "Pünktchen-Schreibweise" gemeint ist.


> Ich vermute daher, dass die Verteilung von [mm]$S_n$[/mm] durch
> [mm]P(S_n=k)=\frac{1}{10^k}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots 1-\frac{1}{10^n}[/mm]
> gegeben ist

Mit der Vermutung liegst du richtig.


> Aber was bedeutet das für [mm]n\to\infty[/mm]?

Vielleicht hilft es dir, dir klarzumachen, welche Werte $Y$ annehmen kann, wenn die [mm] $X_n$ [/mm] nur die Werte 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 annehmen:

Dann kommen genau die als Dezimalzahlen mit einer 0 vor dem Komma darstellbaren Zahlen als Werte von Y in Betracht.
Das sind genau die Zahlen aus dem Intervall [0,1).

Alle Dezimalbruchentwicklungen sollten intuitiv die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Also sollten alle Zahlen aus [0,1) mit einer eindeutigen Dezimalbruchentwicklung die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Das legt die Vermutung einer Gleichverteilung von Y auf $[0,1)$ nahe...


Versuche also mal (ich habe es noch nicht versucht) nachzuweisen, dass Y gleichverteilt auf $[0,1)$ ist.

Ein Ansatz dazu:

Bezeichne [mm] $\mu$ [/mm] die Gleichverteilung auf $[0,1)$.
Sei [mm] $M:=\{k*10^{-n}\;|\;k\in\IZ,n\in\IN\}$. [/mm]

Zeige

      [mm] $P^Y([a,b))=\mu([a,b))$ [/mm]

für alle [mm] $a,b\in [/mm] M$.
Dazu wirst du verschiedene Fälle unterscheiden müssen.

Zeige, dass die Intervalle $[a,b)$ mit [mm] $a,b\in [/mm] M$ einen Durchschnitts-stabilen Erzeuger der Borelschen Sigma-Algebra bilden.

Somit stimmen die Verteilungen [mm] $P^Y$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] schon auf der ganzen Borelschen Sigma-Algebra überein.

Ich hoffe, dieser Ansatz, den ich selber noch nicht ausgeführt habe, funktioniert!

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