Wichteln Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:05 Mo 07.01.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | In einer Schulklasse mit N Kindern soll zur geplanten Weihnachtsfeier
jedes Kind jeweils ein anderes beschenken („Wichteln“). Um die Zuteilung
zufällig zu machen, werden N mit den verschiedenen Namen versehene
gleichartige Zettel in einen Hut geworfen und jedes Kind zieht zufällig einen Zettel ohne Zurücklegen. Man sucht die Wahrscheinlichkeit [mm] P(B_N) [/mm] dafür, dass kein Kind seinen eigenen Zettel zieht.
a)Vorbereitung: zeige mit Venndiagramm und Definition der Wahrscheinlichkeit, dass gilt:
[mm] P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A3)+P(A_1\cap A_2 \cap A_3)
[/mm]
b) Berechne für N = 3 die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kind seinen eigenen Zettel zieht.
1. Geben Sie für das zufällige Ziehen von N Zetteln einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) an, wobei P die Gleichverteilung ist.
2. Berechnen Sie [mm] P(B_3) [/mm] durch einen geeigneten Laplace-Ansatz und durch Abzählen der günstigen Fälle.
3.Berechnen Sie [mm] P(B_3) [/mm] unter Verwendung der Beziehung aus a. mit Ai : Kind Nr. i bekommt seinen eigenen Zettel. |
Mit Stochastik werde ich mich niemals anfreunden! Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe etwas unter die Arme greifen?
Bei Aufgabe a) handelt es sich ja um die Siebformel. Als Venndiagramm stelle ich das ja ganz einfach mit 3 Mengen dar die sich alle schneiden.
Aber wie erkläre ich das mit der Definition der Wahrscheinlichkeit?
b) Wahrscheinlichkeit, dass von 3 Kindern niemand seinen eigenen Zettel zieht ist 1/3. (günstige durch mögliche Ereignisse)
i) Wahrscheinlichkeitsraum für 3 Zettel: [mm] \Omega={(12),(13),..(32)} |\Omega|=6
[/mm]
Oder muss ich hier von allen 9 möglichen Ausgängen ausgehen?Eigentlich doch nur das, was betrachtet werden soll, denn es ist ja nicht der Ereignisraum gemeint.
Wie gebe ich den Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,P) [/mm] richtig an? Mich irritiert das mit der Gleichverteilung. Gleichverteilung bedeutet doch immer, dass alle Ereignisse gleichwahrscheinlich sind.
Und wie gebe ich jetzt den Wahrscheinlichkeitsraum für N Zettel an mit der Gleichverteilung?
[mm] \Omega={(12),(1,3),..,(1,N),(2,1),(2,3),..,(2,N),...(N,N-1)}
[/mm]
P[0,1]
2. günstige Fälle gibt es 6, mögliche Fälle gibt es 9, also ist 1/3 die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kind seinen eigenen Zettel zieht.
3. Was hiermit gemeint ist verstehe ich gar nicht!
Über Unterstützung wäre ich dankbar!
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Mo 07.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Bei Aufgabe a) handelt es sich ja um die Siebformel. Als
> Venndiagramm stelle ich das ja ganz einfach mit 3 Mengen
> dar die sich alle schneiden.
> Aber wie erkläre ich das mit der Definition der
> Wahrscheinlichkeit?
Was mit der Definition gemeint ist, weiss ich nicht,aber du kannst die Formel nach Regeln der Wsk-Rechnung beweisen:
[mm] $P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1\cup (A_2\cup A_3))=P(A_1)+P(A_2\cup A_3))-P(A_1\cap (A_2\cup A_3))=\ldots$
[/mm]
>
> b) Wahrscheinlichkeit, dass von 3 Kindern niemand seinen
> eigenen Zettel zieht ist 1/3. (günstige durch mögliche
> Ereignisse)
>
> i) Wahrscheinlichkeitsraum für 3 Zettel:
> [mm]\Omega={(12),(13),..(32)} |\Omega|=6[/mm]
Was meinst du mit dem Ergebnis (12)? Jede Aufteilung der Geschenke kannst du mit eiiner Permutation der Zahlen 1,2,3 identifizieren. So bedeutet (2,1,3), dass Kind 1 das Geschenk von Kind 2, dass Kind 2 das Geschenk von Kind 1 und das Kind 3 sein eigenes Geschenk erhaelt. Also: [mm] $\Omega=\{(a_1,a_2,a_3)\mid a_i=1,2,3, a_i\ne a_j, i\ne j\}$. [/mm] In der Tat ist nun [mm] $|\Omega|=6$.
[/mm]
> Oder muss ich hier
> von allen 9 möglichen Ausgängen ausgehen?
Wieso 9?
> Eigentlich doch
> nur das, was betrachtet werden soll, denn es ist ja nicht
> der Ereignisraum gemeint.
>
> Wie gebe ich den Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,P)[/mm] richtig
> an? Mich irritiert das mit der Gleichverteilung.
> Gleichverteilung bedeutet doch immer, dass alle Ereignisse
> gleichwahrscheinlich sind.
[mm] $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{|A|}{6}$.
[/mm]
>
> Und wie gebe ich jetzt den Wahrscheinlichkeitsraum für N
> Zettel an mit der Gleichverteilung?
> [mm]\Omega={(12),(1,3),..,(1,N),(2,1),(2,3),..,(2,N),...(N,N-1)}[/mm]
> P[0,1]
Siehe oben.
>
> 2. günstige Fälle gibt es 6, mögliche Fälle gibt es 9,
> also ist 1/3 die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kind seinen
> eigenen Zettel zieht.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] \frac{2}{6}=\frac{1}{3}
[/mm]
>
> 3. Was hiermit gemeint ist verstehe ich gar nicht!
[mm] $P(B_3)=1-P(A_1\cup A_2\cup A_3)$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Do 10.01.2013 | | Autor: | heinze |
ich habe das ganze leider noch nicht so ganz verstanden. ich soll [mm] P(B_3) [/mm] mit einem geeigneten Laplace Ansatz berechnen und durch Abzählen.
Mit [mm] P(B_3) [/mm] ist denke ich gemeint, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass kein Kind seinen eigenen Zettel zieht.
Nach Laplace gilt doch: günstige Fälle/ mögliche Fälle
mögliche Fälle gibt es 6
günstige Fälle gibt es ???
Mit dem Laplace Ansatz komme ich nicht recht weiter. Denn da würde man ja nur betrachten, wie man selbst zieht und nicht alle weiteren Kombinationen! Hier brauche ich einen Tipp!
Auch mit Abzählen komme ich hier nicht recht weiter. 6 mögliche Ziehungen gibt es!
Die Wahrscheinlichkeit müsste ja [mm] 1-(\bruch{1}{3})^3 [/mm] sein, richtig?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Do 10.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> ich habe das ganze leider noch nicht so ganz verstanden.
> ich soll [mm]P(B_3)[/mm] mit einem geeigneten Laplace Ansatz
> berechnen und durch Abzählen.
>
> Mit [mm]P(B_3)[/mm] ist denke ich gemeint, wie hoch die
> Wahrscheinlichkeit ist, dass kein Kind seinen eigenen
> Zettel zieht.
Ja.
>
> Nach Laplace gilt doch: günstige Fälle/ mögliche Fälle
>
> mögliche Fälle gibt es 6
> günstige Fälle gibt es ???
Na zaehl doch mal ab: Es gibt 6 Moeglichkeiten. Eine davon ist z.B. (2,1,3), was bedeutet, dass Kind 1 das Geschenk von Kind 1, Kind 2 das Geschenk von Kind 1 und Kind 3 sein eigenes Geschenk erhaelt. Bestimme alle 6 Faelle und alle diejenigen, die [mm] $B_3$ [/mm] ausmachen.
vh Luis
> Die Wahrscheinlichkeit müsste ja [mm]1-(\bruch{1}{3})^3[/mm] sein,
> richtig?
>
Wie kommst du denn darauf?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 10.01.2013 | | Autor: | heinze |
Mögliche Fälle sind: (123),(132),(213),(231),(312),(321)
günstige Fälle davon sind (231), (321) was beduetet [mm] \bruch{2}{6}=\bruch{1}{3} [/mm] aber da hast du ja geschrieben, dass dieses falsch sei.
ich kann hier nicht ganz unterscheiden was abzählen sein soll und was laplace...
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 10.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Mögliche Fälle sind: (123),(132),(213),(231),(312),(321)
>
> günstige Fälle davon sind (231), (321) was beduetet
> [mm]\bruch{2}{6}=\bruch{1}{3}[/mm] aber da hast du ja geschrieben,
> dass dieses falsch sei.
>
Zitat:
> 2. günstige Fälle gibt es 6, mögliche Fälle gibt es 9,
> also ist 1/3 die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kind seinen
> eigenen Zettel zieht.
[mm] \frac{2}{6}=\frac{1}{3}
[/mm]
Das bezog sich auf günstige Fälle gibt es 6, mögliche Fälle gibt es 9.
Es musste heissen: [i]günstige Fälle gibt es 2, mögliche Fälle gibt es 6.
Wenn dir das klar ist, umso besser. Ich wollte dich nicht verwirren.
vg Luis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mo 14.01.2013 | | Autor: | heinze |
Mein Fehler, sorry. Ich hatte mein falsches Ergebnis nicht korrigiert!
Nun soll ich [mm] P(B_3) [/mm] unter Verwendung der der Siebformel mit Ai : Kind Nr. i bekommt seinen eigenen Zettel, berechnen.
Wie mache ich das mit der Siebformel? soll ich hier einzeön für kind 1,2,3 berechnen oder dafür, dass alle 3 Kinder ihren eigenen Zettel ziehen??
Das mit der Siebformel verwirrt mich.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Mo 14.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Nun soll ich [mm]P(B_3)[/mm] unter Verwendung der der Siebformel mit
> Ai : Kind Nr. i bekommt seinen eigenen Zettel, berechnen.
>
> Wie mache ich das mit der Siebformel? soll ich hier
> einzeön für kind 1,2,3 berechnen oder dafür, dass alle 3
> Kinder ihren eigenen Zettel ziehen??
>
Die Siebformel besagt:
[mm] $P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2 \cap A_3) [/mm] $.
Bestimme jeden Summanden durch Auszaehlen ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mo 14.01.2013 | | Autor: | heinze |
Wie meinst du das mit dem Auszählen? Tut mir leid, aber ich habe es immer noch nicht ganz verstanden. Also [mm] P(A_1), P(A_2), P(A_3)?
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit das ein Kind sich selbst zieht ist 1/3, also [mm] P(A_1)+P(A_2)+P(A_3) [/mm] =1
[mm] P(A_1\cap A_2)=1/3*1/2= [/mm] 1/6
ebenso für alle anderen. Aber damit komme ich nicht zum richtigen ergebnis!Was ist falsch?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mo 14.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Wie meinst du das mit dem Auszählen? Tut mir leid, aber
> ich habe es immer noch nicht ganz verstanden. Also [mm]P(A_1), P(A_2), P(A_3)?[/mm]
>
> Die Wahrscheinlichkeit das ein Kind sich selbst zieht ist
> 1/3, also [mm]P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)[/mm] =1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]P(A_1\cap A_2)=1/3*1/2=[/mm] 1/6
Das Ergebnis stimmt, die Formel nicht, denn [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] sind nicht unabhaengig. Zaehle aus (!), auf wieviele Weisen sich das Ereignis [mm] $A_1\cap A_2$ [/mm] realisieren kann.
>
> ebenso für alle anderen. Aber damit komme ich nicht zum
> richtigen ergebnis!Was ist falsch?
>
[mm] $P(B_3)=1-P(A_1\cup A_2\cup A_3)$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 14.01.2013 | | Autor: | heinze |
Ich weiß nicht ob ich auf dem Schlauch stehe, aber ich verstehs nicht!!! Ich weiß immernoch nicht ob ich damit die Wahrscheinlichkeit bestimmen soll, dass ein beliebiges Kind sich selbst zieht oder das sich alle 3 Kinder selbst ziehen.
[mm] P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3
[/mm]
[mm] P(A_1\cap A_2)= [/mm] "Kind 1 zieht sich selbst und Kind 2 auch" = 1/6 (ich weiß nichtw a sich hier zählen soll :(
[mm] P(A_2\cap A_3)= [/mm] 1/6
[mm] P(A_1 \cap A_3)=1/6
[/mm]
verstehe einfach nicht, was das mit der Siebformel zu tun hat!
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 14.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich weiß nicht ob ich auf dem Schlauch stehe, aber ich
> verstehs nicht!!! Ich weiß immernoch nicht ob ich damit
> die Wahrscheinlichkeit bestimmen soll, dass ein beliebiges
> Kind sich selbst zieht oder das sich alle 3 Kinder selbst
> ziehen.
>
> [mm]P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3[/mm]
> [mm]P(A_1\cap A_2)=[/mm] "Kind 1 zieht sich selbst und Kind 2 auch"
> = 1/6 (ich weiß nichtw a sich hier zählen soll :(
>
> [mm]P(A_2\cap A_3)=[/mm] 1/6
> [mm]P(A_1 \cap A_3)=1/6[/mm]
Gut, dann halten wir mal fest:
[mm] $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $P(A_1\cap A_2)=P(A_1\cap A_3)=P(A_2\cap A_3)=\frac{1}{6}$
[/mm]
[mm] $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=\frac{1}{6}$
[/mm]
Weiter ist [mm] $B_3= \text{Kein Kind erhaelt sein eigenes Geschenk}=\overline{\text{Mindestens ein Kind erhaelt sein eigenes Geschenk}}=\overline{A_1\cup A_2\cup A_3}$.
[/mm]
>
> verstehe einfach nicht, was das mit der Siebformel zu tun
> hat!
Es folgt mit der Siebformel
[mm] \begin{matrix}
P(B_3)=
&=&P(\overline{A_1\cup A_2\cup A_3}) \\
&=&=1-P(A_1\cup A_2\cup A_3) \\
&=&1-(P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2 \cap A_3)) \\
&=&1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right) \\
&=&1-\frac{2}{3} \\
&=&\frac{1}{3}
\end{matrix} [/mm]
vg Luis
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