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ZPE-Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Sa 01.04.2006
Autor: goldie20

Hallo,

ich hätte da mal eine Frage. Laut Wikipedia sind Polynomringe und Ringe formaler Potenzreihen über einem Körper ZPE-Ringe.

[mm] \IZ_5[x] [/mm] und [mm] \IZ_4[x] [/mm] sind doch auch ein Polynomringe, aber doch kein ZPE-Ringe, oder?

Kann mir da bitte jemand eine Erklärung dazu liefern?

Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
ZPE-Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Sa 01.04.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

es gibt da einige Sätze, die man verwenden kann. Es kommt da im Wesentlichen darauf an, wann [mm] \IZ_{n} [/mm] ein Körper ist. Dafür gilt

[mm] \IZ_{n} [/mm] Körper [mm] \gdw [/mm] n Primzahl.

Und dann wissen wir, dass [mm] \IZ_{n}[x] [/mm] ein euklidischer Ring ist (für n Primzahl). Damit dann aber auch ZPE-Ring.

Z.B.:

[mm] \IZ_{5} [/mm] ist ein Körper, da 5 Primzahl. Damit ist [mm] \IZ_{5}[x] [/mm] euklidischer Ring, Hauptidealring und ZPE-Ring. Für diese Ringe gilt

R euklidischer Ring [mm] \Rightarrow [/mm] R Hauptidealring [mm] \Rightarrow [/mm] R ZPE-Ring

Viele Grüße
Daniel

Bezug
                
Bezug
ZPE-Ring: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Sa 01.04.2006
Autor: mathmetzsch

Ach so, man kann auch stets das hier verwenden:

Ist R ZPE-Ring, so ist auch R[x] ZPE-Ring.

VG Daniel

Bezug
                
Bezug
ZPE-Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Sa 01.04.2006
Autor: goldie20

Polynomringe sind doch nie Körper, oder?

[mm] \IZ_4[x] [/mm] und [mm] \IZ_5[x] [/mm] sind keine Körper und nicht Integritätsbereich.
Es heißt ja, "Jeder Körper ist ein Integritätsbereich".

[mm] \IZ_5[x] [/mm] ist Euklidischer Ring, Hauptidealring und ZPE-Ring.

[mm] \IZ_4[x] [/mm] ist aber kein euklidischer Ring und somit auch kein Hauptidealring und ZPE-Ring.

Ist das soweit richtig??

Bezug
                        
Bezug
ZPE-Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Sa 01.04.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo nochmal,

> Polynomringe sind doch nie Körper, oder?

das habe ich ja auch nie geschrieben. K[x ] kann wohl Euklidischer Ring sein , wenn K Körper ist und das ist beim Restklassenring [mm] \IZ_{n} [/mm] eben genau dann der Fall, wenn n Primzahl ist

>  
> [mm]\IZ_4[x][/mm] und [mm]\IZ_5[x][/mm] sind keine Körper und nicht
> Integritätsbereich.
>  Es heißt ja, "Jeder Körper ist ein Integritätsbereich".

Verstehe ich nicht. Die Umkehrung gilt eben nicht!

>  
> [mm]\IZ_5[x][/mm] ist Euklidischer Ring, Hauptidealring und

Richtig.

> ZPE-Ring.
>  
> [mm]\IZ_4[x][/mm] ist aber kein euklidischer Ring und somit auch
> kein Hauptidealring und ZPE-Ring.

Ja

>
> Ist das soweit richtig??

VG Daniel

Bezug
                                
Bezug
ZPE-Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Sa 01.04.2006
Autor: goldie20

Hallo,

ich wollte mit meiner Frage, ob Polynomringe keine Körper sind, nicht behaupten, dass du es gesagt hast.

Ich hätte gern gewusst, ob dieser Zusammenhang gilt.

Gilt denn dieser Zusammenhang, dass Polynomringe nie Körper sind??

Sorry, dass das so komisch rüberkam.

Ich hätte da noch eine Frage. Wenn ein Polynomring, wie zum Beispiel [mm] \IZ_5[x], [/mm] ZPE-Ring ist, darf man dann auch schlußfolgern, dass [mm] \IZ_5[x] [/mm] auch Integritätsbereich ist?

Danke für deine Hilfe.

Bezug
                                        
Bezug
ZPE-Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 So 02.04.2006
Autor: mathmetzsch

Hallochen,

ist schon okay und ja, Polynomringe können keine Körper sein. Du kannst dir ja mal überlegen, warum! Die Erklärung ist zirmlich trivial!

Viele Grüße
Daniel

Bezug
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