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Zufallsvariablen+Verteilungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 So 06.05.2018
Autor: Hela123

Aufgabe
Ein fairer, sechsseitiger Würfel werde dreimal geworfen. Y sei die Zufallsvariable, die einem Tripel gewürfelter Augenzahlen das zugehörige schwach monoton steigende Tripel zuordnet
(z.B. Y (5, 2, 5) = (2, 5, 5)).

a) Beschreibe Y konkret als Abbildung [mm]Y:(\Omega, A) \rightarrow (\Omega', A')[/mm]
b) Bestimme die Verteilung von Y.
Hinweis: Betrachte die Anzahl unterschiedlicher Augenzahlen.

Hallo Forum

hier meine Überlegungen zu dieser Aufgabe:

a) Wenn ich es richtig verstehe, muss ich hier [mm]\Omega, A, \Omega'[/mm] und [mm]A'[/mm] konkret angeben, oder?

[mm]\Omega = [1 : 6]^3 = \{(\omega_1,\omega_2,\omega_3) | \forall i: \omega_i \in [1:6]\}[/mm].
Also [mm]\Omega[/mm] ist Menge aller 3-er Tuppel, wobei in Tupel nur die Zahlen von 1 bis 6 auftreten. Oder?
Und die Anzahl der Elemente in [mm]\Omega[/mm] beträgt [mm]6^3 = 216[/mm], richtig?

[mm]A = 2^\Omega = \{B | B \subseteq \Omega\} = \{ \emptyset \} \cup \{\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\} | \forall i: \omega_i \in [1:6]\}\} \cup alle Kombinationen [/mm]
Wie kann man [mm]2^\Omega[/mm] formal aufschreiben?

[mm]\Omega' = \{(\omega_1,\omega_2,\omega_3) | \forall i: \omega_i \in [1:6]\ \wedge \omega_1 \le \omega_2 \le \omega_3 \}[/mm].
Kann man es so ausdrücken?
Wie bestimmt man die Mächtigkeit von [mm]\Omega'[/mm]? (Ist zwar nicht direkt gefragt, aber ich frage es mich:-)).

[mm]A' = 2^\Omega' = \{B' | B' \subseteq \Omega'\} = \{\emptyset\} \cup \{\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\} | \forall i: \omega_i \in [1:6]\ \wedge \omega_1 \le \omega_2 \le \omega_3 \}\} \cup alle Kombinationen [/mm]
Auch hier die Frage zum formalen Aufschreiben.

b) Verteilung zu P bzgl. Y ist erstmal wie folgt definiert:
[mm]P'(B')=P(X^{-1}[B'])[/mm], wobei [mm]B' in A'[/mm].

Und dieses [mm]P'(B')[/mm] muss jetzt bestimmt werden.
Also die Urbilder [mm]X^{-1}[B'][/mm] sind Mengen.

Ich stelle mir das beispielsweise so vor:
Unser sortierter 3-er Wurf ist (1,2,3).
Dann gibt es folgende Möglichkeiten für unsortierten Wurf:
(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Oder?

Die Wahrscheinlichkeit jede von dieser Möglichkeiten zu werden beträgt [mm]\bruch{1}{6^3}[/mm], oder?
Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für den sortierten Wurd (1,2,3) als Summe von diesen Wahrscheinlichkeiten (also [mm]\bruch{1}{36}[/mm] ) werten. Oder ist es nicht so?

Falls es richtig sein sollte, wie kann man das auf die gegebene Aufgabe übertragen / verallgemeinern?

Danke im Voraus!
Hela123

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Zufallsvariablen+Verteilungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 So 06.05.2018
Autor: HJKweseleit


> Ein fairer, sechsseitiger Würfel werde dreimal geworfen. Y
> sei die Zufallsvariable, die einem Tripel gewürfelter
> Augenzahlen das zugehörige schwach monoton steigende
> Tripel zuordnet
> (z.B. Y (5, 2, 5) = (2, 5, 5)).
>  
> a) Beschreibe Y konkret als Abbildung [mm]Y:(\Omega, A) \rightarrow (\Omega', A')[/mm]
>  
> b) Bestimme die Verteilung von Y.
>  Hinweis: Betrachte die Anzahl unterschiedlicher
> Augenzahlen.
>  Hallo Forum
>  
> hier meine Überlegungen zu dieser Aufgabe:
>  
> a) Wenn ich es richtig verstehe, muss ich hier [mm]\Omega, A, \Omega'[/mm]
> und [mm]A'[/mm] konkret angeben, oder?
>  
> [mm]\Omega = [1 : 6]^3 = \{(\omega_1,\omega_2,\omega_3) | \forall i: \omega_i \in [1:6]\}[/mm].
> Also [mm]\Omega[/mm] ist Menge aller 3-er Tuppel, wobei in Tupel nur
> die Zahlen von 1 bis 6 auftreten. Oder?
>  Und die Anzahl der Elemente in [mm]\Omega[/mm] beträgt [mm]6^3 = 216[/mm],
> richtig?

[ok]

>  
> [mm]A = 2^\Omega = \{B | B \subseteq \Omega\} = \{ \emptyset \} \cup \{\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\} | \forall i: \omega_i \in [1:6]\}\} \cup alle Kombinationen[/mm]

[notok]

Die linke Seite der Gleichung stimmt, die rechte aber nicht. Zur rechten Seite würden nur die leere, die gesamte und die Mengen gehören, die nur eine Kombination enthalten, also [mm] \{(1,2,3), (3,4,5)\} \subseteq \Omega [/mm] wäre nicht darin enthalten.

>  
> Wie kann man [mm]2^\Omega[/mm] formal aufschreiben?

Wie auf der linken Seite der Gleichung.

Die Menge [mm] 2^{\Omega} [/mm] brauchst du aber gar nicht.

>
> [mm]\Omega' = \{(\omega_1,\omega_2,\omega_3) | \forall i: \omega_i \in [1:6]\ \wedge \omega_1 \le \omega_2 \le \omega_3 \}[/mm].
> Kann man es so ausdrücken?

[ok]

>  Wie bestimmt man die Mächtigkeit von [mm]\Omega'[/mm]? (Ist zwar
> nicht direkt gefragt, aber ich frage es mich:-)).

(1,1,x) 6 Mgl.
(1,2,x) 5 Mgl.
   ...
(1,6,x) 1 Mgl.
--------------
                  21 Mgl.

(2,2,x) 5 Mgl.
(2,3,x) 4 Mgl.
   ...
(2,6,x) 1 Mg.
--------------
                  15 Mgl.
   ...
                  10 Mgl
                   6 Mgl.
                   3 Mgl.
(6,6,x)            1 Mgl.
                  -------
                  56 Mgl.  

|A'| = 56



Man kann das Ganze auch veranschaulichen, was aber nur Sinn gibt, wenn man schon Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] kennt:

Schreibe 9 Positionen auf (Striche)
- - - - - - - -

und ersetze ab Position 2(!) 3 davon durch ein x.
Beispiel:
- x - - x - - x -
Bis zum ersten x gibt es - von links gezählt - 1 Strich, bis zum zweiten 3 und bis zum dritten 5 Striche. Somit symbolisiert das Muster die Kombination (1,3,5).

- x x x - - - - - = (1,1,1)
- - x - x x - - - = (2,3,3) usw.,

also immer alle Striche von ganz links bis zum nächsten x zählen.

Da die erste Zahl mindestens 1 sein muss, darf das erste x frühestens an der 2. Position stehen Da man von vorn zusammenzählt, können die Zahlen nur schwach monoton steigen. Und da das letzte x nur bis zur 9. Position kommen kann (und immer 3 Striche ersetzt wurden), kann die letzte Zahl höchstens 6 heißen.

Außerdem ist die Zuordnung eindeutig: Zu jedem solchen Bild gibt es genau ein Element aus A'.

Um nun aus 8 möglichen Positionen für x 3 auszuwählen, wobei die Reihenfolge beliebig ist, gibt es  [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] = 8*7*6/(1*2*3) = 8*7 = 56 Mgl.

Diese Methode ermöglicht dir eine Verallgemeinerung auf ein 4-Tupel oder allgemein auf ein n-Tupel. Es wird dann kaum komplizierter!





>
> [mm]A' = 2^\Omega' = \{B' | B' \subseteq \Omega'\} = \{\emptyset\} \cup \{\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\} | \forall i: \omega_i \in [1:6]\ \wedge \omega_1 \le \omega_2 \le \omega_3 \}\} \cup alle Kombinationen[/mm]
>  
> Auch hier die Frage zum formalen Aufschreiben.

Hier wie oben: Nur die linke Seite ist richtig, lass die rechte weg.

>  
> b) Verteilung zu P bzgl. Y ist erstmal wie folgt
> definiert:
>  [mm]P'(B')=P(X^{-1}[B'])[/mm], wobei [mm]B' in A'[/mm].
>  
> Und dieses [mm]P'(B')[/mm] muss jetzt bestimmt werden.
>  Also die Urbilder [mm]X^{-1}[B'][/mm] sind Mengen.
>  
> Ich stelle mir das beispielsweise so vor:
>  Unser sortierter 3-er Wurf ist (1,2,3).
>  Dann gibt es folgende Möglichkeiten für unsortierten
> Wurf:
>  (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).
> Oder?
>  
> Die Wahrscheinlichkeit jede von dieser Möglichkeiten zu
> werden beträgt [mm]\bruch{1}{6^3}[/mm], oder?
>  Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für den sortierten
> Wurd (1,2,3) als Summe von diesen Wahrscheinlichkeiten
> (also [mm]\bruch{1}{36}[/mm] ) werten. Oder ist es nicht so?
>  
> Falls es richtig sein sollte, wie kann man das auf die
> gegebene Aufgabe übertragen / verallgemeinern?

Du hast klar erkannt: In [mm] \Omega [/mm] gilt für jede Kombination die W. 1/216.

Für die Elemente aus [mm] \Omega' [/mm] gilt nun:

Elemente mit 3 verschiedenen Zahlen (davon gibt es 20) haben jeweils 6 Urbilder aus [mm] \Omega. [/mm] Ihre W. sind dann jeweils 6/216 = 1/36.

Elemente mit 2 verschiedenen Zahlen (davon gibt es 30) haben jeweils 3 Urbilder aus [mm] \Omega. [/mm] Ihre W. sind dann jeweils 3/216 = 1/72.

Elemente mit gleichen Zahlen (davon gibt es 6) haben jeweils 1 Urbild aus [mm] \Omega. [/mm] Ihre W. sind dann jeweils 1/216.

Zur Kontrolle: 20+30+6 Mgl. = 56 Mgl. in [mm] \Omega'. [/mm]
               20*1/36 + 30*1/72 + 6*1/216 = 1

Alle aufzuschreiben überlasse ich dir dann mal selber ...

>  
> Danke im Voraus!
>  Hela123
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Zufallsvariablen+Verteilungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 So 06.05.2018
Autor: Hela123

Hallo HJKweseleit,

vielen Dank für deine schnelle und sehr hilfreiche Antwort!


> > [mm]A = 2^\Omega = \{B | B \subseteq \Omega\} = \{ \emptyset \} \cup \{\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\} | \forall i: \omega_i \in [1:6]\}\} \cup alle Kombinationen[/mm]
>  
> [notok]

> Die linke Seite der Gleichung stimmt, die rechte aber
> nicht. Zur rechten Seite würden nur die leere, die gesamte
> und die Mengen gehören, die nur eine Kombination
> enthalten, also [mm]\{(1,2,3), (3,4,5)\} \subseteq \Omega[/mm] wäre
> nicht darin enthalten.
> >  

> > Wie kann man [mm]2^\Omega[/mm] formal aufschreiben?
>
> Wie auf der linken Seite der Gleichung.  
> Die Menge [mm]2^{\Omega}[/mm] brauchst du aber gar nicht.

Also recht, wenn ich schreibe: [mm]A =\{B | B \subseteq \Omega\} [/mm]?

> >  Wie bestimmt man die Mächtigkeit von [mm]\Omega'[/mm]? (Ist zwar

> > nicht direkt gefragt, aber ich frage es mich:-)).
>
> (1,1,x) 6 Mgl.
>  (1,2,x) 5 Mgl.
>     ...
>  (1,6,x) 1 Mgl.
>  --------------
>                    21 Mgl.
>  
> (2,2,x) 5 Mgl.
>  (2,3,x) 4 Mgl.
>     ...
>  (2,6,x) 1 Mg.
>  --------------
>                    15 Mgl.
>     ...
>                    10 Mgl
>                     6 Mgl.
>                     3 Mgl.
>  (6,6,x)            1 Mgl.
> -------
>                    56 Mgl.  
>
> |A'| = 56

Das verstehe ich, danke!


> Man kann das Ganze auch veranschaulichen, was aber nur Sinn
> gibt, wenn man schon Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
> kennt:
>  
> Schreibe 9 Positionen auf (Striche)
> - - - - - - - -
>  
> und ersetze ab Position 2(!) 3 davon durch ein x.
>  Beispiel:
>  - x - - x - - x -
>  Bis zum ersten x gibt es - von links gezählt - 1 Strich,
> bis zum zweiten 3 und bis zum dritten 5 Striche. Somit
> symbolisiert das Muster die Kombination (1,3,5).
>  
> - x x x - - - - - = (1,1,1)
>  - - x - x x - - - = (2,3,3) usw.,
>  
> also immer alle Striche von ganz links bis zum nächsten x
> zählen.
>  
> Da die erste Zahl mindestens 1 sein muss, darf das erste x
> frühestens an der 2. Position stehen Da man von vorn
> zusammenzählt, können die Zahlen nur schwach monoton
> steigen. Und da das letzte x nur bis zur 9. Position kommen
> kann (und immer 3 Striche ersetzt wurden), kann die letzte
> Zahl höchstens 6 heißen.
>  
> Außerdem ist die Zuordnung eindeutig: Zu jedem solchen
> Bild gibt es genau ein Element aus A'.
>  
> Um nun aus 8 möglichen Positionen für x 3 auszuwählen,
> wobei die Reihenfolge beliebig ist, gibt es  [mm]\vektor{8 \\ 3}[/mm]
> = 8*7*6/(1*2*3) = 8*7 = 56 Mgl.
>  
> Diese Methode ermöglicht dir eine Verallgemeinerung auf
> ein 4-Tupel oder allgemein auf ein n-Tupel. Es wird dann
> kaum komplizierter!

Auch das ist jetzt klar, danke, sehr gut erklärt!


> > [mm]A' = 2^\Omega' = \{B' | B' \subseteq \Omega'\} = \{\emptyset\} \cup \{\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\} | \forall i: \omega_i \in [1:6]\ \wedge \omega_1 \le \omega_2 \le \omega_3 \}\} \cup alle Kombinationen[/mm]
> > Auch hier die Frage zum formalen Aufschreiben.
>  
> Hier wie oben: Nur die linke Seite ist richtig, lass die
> rechte weg.

Also:  [mm]A' = \{B' | B' \subseteq \Omega'\}[/mm].


> > b) Verteilung zu P bzgl. Y ist erstmal wie folgt
> > definiert:
>  >  [mm]P'(B')=P(X^{-1}[B'])[/mm], wobei [mm]B' in A'[/mm].
>  >  
> > Und dieses [mm]P'(B')[/mm] muss jetzt bestimmt werden.
>  >  Also die Urbilder [mm]X^{-1}[B'][/mm] sind Mengen.
>  >  
> > Ich stelle mir das beispielsweise so vor:
>  >  Unser sortierter 3-er Wurf ist (1,2,3).
>  >  Dann gibt es folgende Möglichkeiten für unsortierten
> > Wurf:
>  >  (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).
> > Oder?
>  >  
> > Die Wahrscheinlichkeit jede von dieser Möglichkeiten zu
> > werden beträgt [mm]\bruch{1}{6^3}[/mm], oder?
>  >  Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für den
> sortierten
> > Wurd (1,2,3) als Summe von diesen Wahrscheinlichkeiten
> > (also [mm]\bruch{1}{36}[/mm] ) werten. Oder ist es nicht so?
>  >  
> > Falls es richtig sein sollte, wie kann man das auf die
> > gegebene Aufgabe übertragen / verallgemeinern?
>  
> Du hast klar erkannt: In [mm]\Omega[/mm] gilt für jede Kombination
> die W. 1/216.
>  
> Für die Elemente aus [mm]\Omega'[/mm] gilt nun:
>  
> Elemente mit 3 verschiedenen Zahlen (davon gibt es 20)

Wie komme ich auf 20?
Ist es [mm]{6 \choose 3}[/mm]?

> haben jeweils 6 Urbilder aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann
> jeweils 6/216 = 1/36.

Muss ich beweisen, dass es 6 Urbilder sind?

> Elemente mit 2 verschiedenen Zahlen (davon gibt es 30)

Wie komme ich hier auf 30(ohne alle aufzuzählen)?

> haben jeweils 3 Urbilder aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann
> jeweils 3/216 = 1/72.

Auch hier: Muss ich beweisen, dass es 3 Urbilder sind?

> Elemente mit gleichen Zahlen (davon gibt es 6) haben
> jeweils 1 Urbild aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann jeweils
> 1/216.
>  
> Zur Kontrolle: 20+30+6 Mgl. = 56 Mgl. in [mm]\Omega'.[/mm]
>                 20*1/36 + 30*1/72 + 6*1/216 = 1
>  
> Alle aufzuschreiben überlasse ich dir dann mal selber ...

Also muss ich bei der Lösung wirklich alle aufschreiben?

Noch mal Danke!
Hela123

Bezug
                        
Bezug
Zufallsvariablen+Verteilungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 So 06.05.2018
Autor: HJKweseleit


> Hallo HJKweseleit,
>  
> vielen Dank für deine schnelle und sehr hilfreiche
> Antwort!
>  
>
> > > [mm]A = 2^\Omega = \{B | B \subseteq \Omega\} = \{ \emptyset \} \cup \{\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\} | \forall i: \omega_i \in [1:6]\}\} \cup alle Kombinationen[/mm]
>  
> >  

> > [notok]
>  
> > Die linke Seite der Gleichung stimmt, die rechte aber
> > nicht. Zur rechten Seite würden nur die leere, die gesamte
> > und die Mengen gehören, die nur eine Kombination
> > enthalten, also [mm]\{(1,2,3), (3,4,5)\} \subseteq \Omega[/mm] wäre
> > nicht darin enthalten.
> > >  

> > > Wie kann man [mm]2^\Omega[/mm] formal aufschreiben?
> >
> > Wie auf der linken Seite der Gleichung.  
> > Die Menge [mm]2^{\Omega}[/mm] brauchst du aber gar nicht.
>  Also recht, wenn ich schreibe: [mm]A =\{B | B \subseteq \Omega\} [/mm]?
>  

Ja. Aber wie gesagt, diese Menge (und auch A') brauchst du nicht. Sie hätte übrigens [mm] 2^{216} [/mm] Elemente...

> > >  Wie bestimmt man die Mächtigkeit von [mm]\Omega'[/mm]? (Ist zwar

> > > nicht direkt gefragt, aber ich frage es mich:-)).
> >
> > (1,1,x) 6 Mgl.
>  >  (1,2,x) 5 Mgl.
>  >     ...
>  >  (1,6,x) 1 Mgl.
>  >  --------------
>  >                    21 Mgl.
>  >  
> > (2,2,x) 5 Mgl.
>  >  (2,3,x) 4 Mgl.
>  >     ...
>  >  (2,6,x) 1 Mg.
>  >  --------------
>  >                    15 Mgl.
>  >     ...
>  >                    10 Mgl
>  >                     6 Mgl.
>  >                     3 Mgl.
>  >  (6,6,x)            1 Mgl.
> > -------
>  >                    56 Mgl.  
> >
> > |A'| = 56
>  Das verstehe ich, danke!
>  
>
> > Man kann das Ganze auch veranschaulichen, was aber nur Sinn
> > gibt, wenn man schon Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
> > kennt:
>  >  
> > Schreibe 9 Positionen auf (Striche)
> > - - - - - - - -
>  >  
> > und ersetze ab Position 2(!) 3 davon durch ein x.
>  >  Beispiel:
>  >  - x - - x - - x -
>  >  Bis zum ersten x gibt es - von links gezählt - 1
> Strich,
> > bis zum zweiten 3 und bis zum dritten 5 Striche. Somit
> > symbolisiert das Muster die Kombination (1,3,5).
>  >  
> > - x x x - - - - - = (1,1,1)
>  >  - - x - x x - - - = (2,3,3) usw.,
>  >  
> > also immer alle Striche von ganz links bis zum nächsten x
> > zählen.
>  >  
> > Da die erste Zahl mindestens 1 sein muss, darf das erste x
> > frühestens an der 2. Position stehen Da man von vorn
> > zusammenzählt, können die Zahlen nur schwach monoton
> > steigen. Und da das letzte x nur bis zur 9. Position kommen
> > kann (und immer 3 Striche ersetzt wurden), kann die letzte
> > Zahl höchstens 6 heißen.
>  >  
> > Außerdem ist die Zuordnung eindeutig: Zu jedem solchen
> > Bild gibt es genau ein Element aus A'.
>  >  
> > Um nun aus 8 möglichen Positionen für x 3 auszuwählen,
> > wobei die Reihenfolge beliebig ist, gibt es  [mm]\vektor{8 \\ 3}[/mm]
> > = 8*7*6/(1*2*3) = 8*7 = 56 Mgl.
>  >  
> > Diese Methode ermöglicht dir eine Verallgemeinerung auf
> > ein 4-Tupel oder allgemein auf ein n-Tupel. Es wird dann
> > kaum komplizierter!
>  Auch das ist jetzt klar, danke, sehr gut erklärt!
>  
>
> > > [mm]A' = 2^\Omega' = \{B' | B' \subseteq \Omega'\} = \{\emptyset\} \cup \{\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\} | \forall i: \omega_i \in [1:6]\ \wedge \omega_1 \le \omega_2 \le \omega_3 \}\} \cup alle Kombinationen[/mm]
> > > Auch hier die Frage zum formalen Aufschreiben.
>  >  
> > Hier wie oben: Nur die linke Seite ist richtig, lass die
> > rechte weg.
>  
> Also:  [mm]A' = \{B' | B' \subseteq \Omega'\}[/mm].
>  
>
> > > b) Verteilung zu P bzgl. Y ist erstmal wie folgt
> > > definiert:
>  >  >  [mm]P'(B')=P(X^{-1}[B'])[/mm], wobei [mm]B' in A'[/mm].
>  >  >  
> > > Und dieses [mm]P'(B')[/mm] muss jetzt bestimmt werden.
>  >  >  Also die Urbilder [mm]X^{-1}[B'][/mm] sind Mengen.
>  >  >  
> > > Ich stelle mir das beispielsweise so vor:
>  >  >  Unser sortierter 3-er Wurf ist (1,2,3).
>  >  >  Dann gibt es folgende Möglichkeiten für
> unsortierten
> > > Wurf:
>  >  >  (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2),
> (3,2,1).
> > > Oder?
>  >  >  
> > > Die Wahrscheinlichkeit jede von dieser Möglichkeiten zu
> > > werden beträgt [mm]\bruch{1}{6^3}[/mm], oder?
>  >  >  Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für den
> > sortierten
> > > Wurd (1,2,3) als Summe von diesen Wahrscheinlichkeiten
> > > (also [mm]\bruch{1}{36}[/mm] ) werten. Oder ist es nicht so?
>  >  >  
> > > Falls es richtig sein sollte, wie kann man das auf die
> > > gegebene Aufgabe übertragen / verallgemeinern?
>  >  
> > Du hast klar erkannt: In [mm]\Omega[/mm] gilt für jede Kombination
> > die W. 1/216.
>  >  
> > Für die Elemente aus [mm]\Omega'[/mm] gilt nun:
>  >  
> > Elemente mit 3 verschiedenen Zahlen (davon gibt es 20)
>  Wie komme ich auf 20?
>  Ist es [mm]{6 \choose 3}[/mm]?

Genau: Von 6 Zahlen kreuzt du 3 an und schreibst sie der Reihe nach auf.

>  
> > haben jeweils 6 Urbilder aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann
> > jeweils 6/216 = 1/36.
>  Muss ich beweisen, dass es 6 Urbilder sind?

Da die 3 Zahlen verschieden sind, kann man sie auf 3!=6  Arten vertauschen.


>  
> > Elemente mit 2 verschiedenen Zahlen (davon gibt es 30)
>  Wie komme ich hier auf 30(ohne alle aufzuzählen)?

Such dir von 6 Zahlen 2 verschiedene aus. Es gibt [mm]{6 \choose 2}[/mm] =  15 Mgl. Schreib die kleinere Zahl nach vorn, die größere nach hinten. Jetzt kannst du in die Mitte entweder die kleinere schreiben und diese verdoppeln, oder die größere und diese verdoppeln. Also gibt es zu den 15 Mgl. jeweils 2 Mgl. zum Ergänzen, macht 30.


> > haben jeweils 3 Urbilder aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann
> > jeweils 3/216 = 1/72.
>  Auch hier: Muss ich beweisen, dass es 3 Urbilder sind?
>  

(xxy) entsteht aus (xxy), (xyx) und (yxx) (3 Mgl.)
(xyy) entsteht aus (xyy), (yxy) und (yyx) (3 Mgl.)

> > Elemente mit gleichen Zahlen (davon gibt es 6) haben
> > jeweils 1 Urbild aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann jeweils
> > 1/216.
>  >  
> > Zur Kontrolle: 20+30+6 Mgl. = 56 Mgl. in [mm]\Omega'.[/mm]
>  >                 20*1/36 + 30*1/72 + 6*1/216 = 1
>  >  
> > Alle aufzuschreiben überlasse ich dir dann mal selber ...
>  
> Also muss ich bei der Lösung wirklich alle aufschreiben?




a) Beschreibe Y konkret als Abbildung $ [mm] Y:(\Omega, [/mm] A) [mm] \rightarrow (\Omega', [/mm] A') $


Das hast du noch gar nicht gemacht, es sei denn, du willst alles aufschreiben. Ich würde es so machen:


[mm] Y(a,b,c)=(min\{{a,b,c}\},???,max\{a,b,c\}) [/mm]
Tja, wie kriegen wir nun den mittleren Term?

Wir haben Glück, dass es nur 3 Zahlen sind, bei 4 bekämen wir Probleme!

[mm] Y(a,b,c)=(min\{{a,b,c}\},a+b+c-min\{{a,b,c}\}-max\{{a,b,c}\},max\{a,b,c\}) [/mm]
(Wenn wir von der Summe von 3 Zahlen die kleinste und die größte wieder abziehen, bleibt die  mittlere übrig.)

b) Bestimme die Verteilung von Y.

Hier würde ich schreiben:

          1/36, falls a<b<c
p(a,b,c)= 1/72, falls a= b<c oder a<b=c
          1/216, falls a=b=c
und fertig.

>  
> Noch mal Danke!
>  Hela123


Bezug
                                
Bezug
Zufallsvariablen+Verteilungen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 So 06.05.2018
Autor: Hela123

Hallo HJKweseleit,


>  >  Ist es [mm]{6 \choose 3}[/mm]?
>  
> Genau: Von 6 Zahlen kreuzt du 3 an und schreibst sie der
> Reihe nach auf.

Alles klar!
  

> > > haben jeweils 6 Urbilder aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann
> > > jeweils 6/216 = 1/36.
>  >  Muss ich beweisen, dass es 6 Urbilder sind?
>  
> Da die 3 Zahlen verschieden sind, kann man sie auf 3!=6  
> Arten vertauschen.

Ach so, verstehe!


> > > Elemente mit 2 verschiedenen Zahlen (davon gibt es 30)
>  >  Wie komme ich hier auf 30(ohne alle aufzuzählen)?
>
> Such dir von 6 Zahlen 2 verschiedene aus. Es gibt [mm]{6 \choose 2}[/mm]
> =  15 Mgl. Schreib die kleinere Zahl nach vorn, die
> größere nach hinten. Jetzt kannst du in die Mitte
> entweder die kleinere schreiben und diese verdoppeln, oder
> die größere und diese verdoppeln. Also gibt es zu den 15
> Mgl. jeweils 2 Mgl. zum Ergänzen, macht 30.

Das ist jetzt auch klar geworden, danke!


> > > haben jeweils 3 Urbilder aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann
> > > jeweils 3/216 = 1/72.
>  >  Auch hier: Muss ich beweisen, dass es 3 Urbilder sind?
>  >  
> (xxy) entsteht aus (xxy), (xyx) und (yxx) (3 Mgl.)
>  (xyy) entsteht aus (xyy), (yxy) und (yyx) (3 Mgl.)

Ok, ich bin mir immer so unsicher, wann man formal argumentieren muss, und wann reicht die Möglichkeiten (oder ähnliches) aufzuzählen.

> > > Elemente mit gleichen Zahlen (davon gibt es 6) haben
> > > jeweils 1 Urbild aus [mm]\Omega.[/mm] Ihre W. sind dann jeweils
> > > 1/216.
>  >  >  
> > > Zur Kontrolle: 20+30+6 Mgl. = 56 Mgl. in [mm]\Omega'.[/mm]
>  >  >                 20*1/36 + 30*1/72 + 6*1/216 = 1
>  >  >  
> > > Alle aufzuschreiben überlasse ich dir dann mal selber ...
>  >  
> > Also muss ich bei der Lösung wirklich alle aufschreiben?
>  
>
> a) Beschreibe Y konkret als Abbildung [mm]Y:(\Omega, A) \rightarrow (\Omega', A')[/mm]
>  
>
> Das hast du noch gar nicht gemacht, es sei denn, du willst
> alles aufschreiben. Ich würde es so machen:
>  
> [mm]Y(a,b,c)=(min\{{a,b,c}\},???,max\{a,b,c\})[/mm]
>  Tja, wie kriegen wir nun den mittleren Term?
>  
> Wir haben Glück, dass es nur 3 Zahlen sind, bei 4 bekämen
> wir Probleme!
>  
> [mm]Y(a,b,c)=(min\{{a,b,c}\},a+b+c-min\{{a,b,c}\}-max\{{a,b,c}\},max\{a,b,c\})[/mm]
>  (Wenn wir von der Summe von 3 Zahlen die kleinste und die
> größte wieder abziehen, bleibt die  mittlere übrig.)

Genial!:-)

> b) Bestimme die Verteilung von Y.
>
> Hier würde ich schreiben:
>
>            1/36, falls a<b<c
>  p(a,b,c)= 1/72, falls a= b<c oder a<b=c
>            1/216, falls a=b=c
>  und fertig.

Das ist wirklich recht kompakt, danke!

Noch mal danke für die Hilfe!
Hela123

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