affiner Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 So 31.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Überlegen Sie sich, wie der kleinste affine Unterraum A bestimmt werden kann, der durch die Punkte
[mm] P_{0}:=\vektor{3 \\ -4 \\ 1 \\ 5},P_{1}:=\vektor{3 \\ -2 \\ -10 \\ 0},P_{2}:=\vektor{2 \\ 0 \\ -3 \\ 2},P_{3}:=\vektor{1 \\ 2 \\ 4 \\ 4}
[/mm]
verläuft. Beschreiben Sie kurz Ihr Vorgehen. Bestimmen Sie
a) die Dimension A, und
b) den Durchschnitt von A mit der durch die Gleichung [mm] 4x_{1}+x_{2}+x_{3}−2x_{4}+6 [/mm] = 0 gegebenen Hyperebene.
Begründen Sie Ihre Aussage. |
Ich bilde die Differenzen von [mm] P_{0} [/mm] mit den anderen
[mm] P_{1}-P_{0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -11 \\ -6} [/mm] = [mm] v_{1}
[/mm]
[mm] P_{2}-P_{0} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ -4 \\ -4} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm]
[mm] P_{3}-P_{0} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 6 \\ 3 \\ -2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm]
Diese drei erzeugen also den zu A gehörigen Unterraum von [mm] \IR^{4}
[/mm]
[mm] A=P_{0}+lineare [/mm] Hülle von [mm] v_{1},v_{2} [/mm]
a)
Ich habe die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] in eine Matrix gebrach und sie dann in ZSF:
B = [mm] \pmat{ 0 & 2 & -11 & -6 \\ -1 & 4 & -4 & -4 \\ -2 & 6 & 3 & -2 }\to \pmat{-1 & 4 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & -11 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ich bekomme dim(A)=dim(B)=2.
b) A = [mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 1 \\ 5} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{0 \\ 2 \\ -11 \\ -6} [/mm] + [mm] \beta \vektor{-1 \\ 4 \\ -4 \\ -4} [/mm]
Ich setze A in die Gleichung:
[mm] 4*(3-\beta) [/mm] + [mm] (-4+2\alpha+4\beta) +(1-11\alpha-4\beta) -2(6-6\alpha-4\beta)+6=0 [/mm]
also: [mm] 3+3\alpha+4\beta, \alpha=-1-\bruch{4}{3}\beta
[/mm]
ist jetze [mm] \alpha [/mm] in A ein
[mm] \vektor{3 \\ -6 \\ 12 \\ 11} [/mm] + [mm] \beta \vektor{1 \\ \bruch{4}{3} \\ \bruch{32}{3} \\ 4}
[/mm]
das ist die Gleichung für den Schnitt also ist der Schnitt ein 1-dim affiner Unterraum.
Kann mir jemand korrigieren, wenn ich was falsch gemacht habe ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mo 01.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo rsprsp,
ich habe deine Berechnungen zwar nicht selbst nachgerechnet, aber ich vertraue mal deinen Rechenkünsten. 
> Ich bilde die Differenzen von [mm]P_{0}[/mm] mit den anderen
> [mm]P_{1}-P_{0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ -11 \\ -6}[/mm] = [mm]v_{1}[/mm]
> [mm]P_{2}-P_{0}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ -4 \\ -4}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm]
> [mm]P_{3}-P_{0}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 6 \\ 3 \\ -2}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm]
>
> Diese drei erzeugen also den zu A gehörigen Unterraum von
> [mm]\IR^{4}[/mm]
> [mm]A=P_{0}+[/mm] lineare Hülle von [mm]v_{1},v_{2}[/mm]
Bis hierhin ist nicht unbedingt klar, warum du nur zwei Vektoren brauchst, um $A$ zu beschreiben. Du solltest für deine Begründung evtl. auf den Aufgabenteil a) verweisen, wo du zeigst, dass die drei Vektoren linear abhängig sind und je zwei Vektoren aus [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] linear unabhängig.
> a)
> Ich habe die Vektoren [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}[/mm] in eine Matrix
> gebrach und sie dann in ZSF:
> B = [mm]\pmat{ 0 & 2 & -11 & -6 \\ -1 & 4 & -4 & -4 \\ -2 & 6 & 3 & -2 }\to \pmat{-1 & 4 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & -11 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Ich bekomme dim(A)=dim(B)=2.
Streng genommen, ist die ZSF noch nicht fertig. [mm] \leadsto \pmat{-1 & 0 & 18 & 8 \\ 0 & 2 & -11 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }. [/mm] Ferner etwas ausführlicher: [mm] dim(A)=dim_\IR(span(v_1,v_2))=2.
[/mm]
Ein kleiner Markel: Benutze doch in LaTeX lieber [mm] {\leadsto} [/mm] (leadsto) statt [mm] {\to}.
[/mm]
> b) A = [mm]\vektor{3 \\ -4 \\ 1 \\ 5}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{0 \\ 2 \\ -11 \\ -6}[/mm]
> + [mm]\beta \vektor{-1 \\ 4 \\ -4 \\ -4}[/mm]
>
> Ich setze A in die Gleichung:
> [mm]4*(3-\beta)[/mm] + [mm](-4+2\alpha+4\beta) +(1-11\alpha-4\beta) -2(6-6\alpha-4\beta)+6=0[/mm]
> also: [mm]3+3\alpha+4\beta, \alpha=-1-\bruch{4}{3}\beta[/mm]
Vom Prinzip her richtig. Ich verstehe nicht, was du mit [mm] $3+3\alpha+4\beta, \alpha=-1-\bruch{4}{3}\beta$ [/mm] sagen willst. Ich habe mir jetzt auch nicht die Mühe gemacht nachzurechnen.
> ist jetze [mm]\alpha[/mm] in A ein
> [mm]\vektor{3 \\ -6 \\ 12 \\ 11}[/mm] + [mm]\beta \vektor{1 \\ \bruch{4}{3} \\ \bruch{32}{3} \\ 4}[/mm]
>
> das ist die Gleichung für den Schnitt also ist der Schnitt
> ein 1-dim affiner Unterraum.
>
> Kann mir jemand korrigieren, wenn ich was falsch gemacht
> habe ?
Viele Grüße
Ladon
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