beweis zwischen zwei Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i)
Man zeichne ein Venn-Diagramm der symmetrischen Differenz zweier Mengen A, B:
$ A [mm] \Delta [/mm] B := (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) $
(ii)
Man zeige oder widerlege folgende Aussagen:
$ A [mm] \Delta [/mm] B = (A [mm] \cup B)\setminus( [/mm] A [mm] \cap [/mm] B) $
$ A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \Delta [/mm] C) = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Delta [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) $
$ (A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = (A [mm] \cap [/mm] C ) [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) $
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So (i) habe ich bearbeitet und ich denke, ich habe es richtig gemacht,
Die Aussage von (i) ist doch XOR(entweder a oder b,nicht beides) oder nicht, wir hatten das zwar noch nicht, aber in einem Buch habe ich drüber gelesen.
Und bei (ii) geht´s schon los mit dem allgemeinen Verständnis!
Mit [mm] A\DeltaB [/mm] ist doch die Definition aus (i) gemeint?
Und das zu zeigen, bzw. zu beweisen habe ich versucht, komme aber irgendwie nicht weiter, könnte einer von euch mir bitte die lösungswege bzw. Lösungen erklären.
Und noch etwas, könnte ich nicht einfach die Wahrheitstabelle aufzeichnen
und die Gleichheit ablesen?
Ist doch quasi auch der Beweis,
schonmal danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo wulfstone,
ich habe deinen Artikel etwas editiert, schau mal, ob das alles so gemeint war 
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Mi 25.10.2006 | | Autor: | wulfstone |
irgendwie komme ich mit der syntax nicht klar, ich versuche es nochmal!
(i) A [mm] \Delta [/mm] B := (A [mm] \backslash [/mm] B)U(B [mm] \backslash [/mm] A)
(ii)
A [mm] \Delta [/mm] B = [mm] (AUB)\backslash(A \cap [/mm] B),
AU(B [mm] \Delta [/mm] C) = (AUB) [mm] \Delta [/mm] (AUC)
(A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)
so sollten die terme eigentlich lauten,
entschuldigung
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mi 25.10.2006 | | Autor: | wulfstone |
erst einmal großen dank an herby,
danke schön ,
jetzt fällt es mir schon um einiges leichter
Jetzt ein Lösungsversuch:
1.
$ A [mm] \Delta [/mm] B := (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) $
$ A [mm] \Delta [/mm] B = (A [mm] \cup B)\setminus( [/mm] A [mm] \cap [/mm] B) $
$ (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) = (A [mm] \cup B)\setminus( [/mm] A [mm] \cap [/mm] B) $
Sei $ x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A)) $
=> $ x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap \overline{B}) \cup [/mm] (B [mm] \cap \overline{A})) [/mm] $
d.h. x ist Element aus (A aber nicht aus B) oder x ist Element aus (B
aber nicht aus A)
=> x [mm] \in [/mm] A oder B und x [mm] \not\in [/mm] A und B
=> $ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap (\overline [/mm] {A [mm] \cap [/mm] B}) $
Also $ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup B)\setminus( [/mm] A [mm] \cap [/mm] B) $
q.e.d.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mi 25.10.2006 | | Autor: | wulfstone |
Lösungsversuch
zu Nr.2
$ A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \Delta [/mm] C) = ( A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Delta [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) $
Sei $ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \Delta [/mm] C) $
d.h. x ist element von A oder (B XOR C)
nach distributivgesetz =>
$ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Delta [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) $
q.e.d.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mi 25.10.2006 | | Autor: | wulfstone |
Lösungsversuch
zu Aufgabe 3
$ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) $
Sei $ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C $
wieder durch Benutzung des Distributivgesetzes
=> $ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) $
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Sa 28.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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