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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Di 13.05.2014 | | Autor: | manfreda |
| Aufgabe | Eine Schule wird von 500 Schülerinnen und 500 Schülern besucht; für ein Interview sollen davon 8 ausgewählt werden. Die Auswahl geschieht
(1) als Ziehen ohne Wiederholung, indem willkürlich 8 Karteikarten aus der Schülerdatei herausgegriffen werden.
(2) als Ziehen mit Wiederholung, indem der Zufallsgenerator des Schulcomputers 8-mal unabhängig voneinander eine Person aus der Schülerdatei auswählt. |
Liebes Matheraum-Team,
Diese Aufgabe soll nach meinem Lehrer die Anwendung der Binomialverteilung zeigen, nun bin ich aber noch mehr verwirrt.
Er hat dann aufgeschrieben:
(1) ((500 nCR 4) * (500nCR 4))/ (1000nCR 8) = 27.45%
Soweit so gut, ich habe verstanden wieso hier günstig übermöglich angewendet hat. Neben das Resultat hat er in Klammern geschrieben "richtig gerechnet.
Dann hat er geschrieben:
(2) Binomialverteilung: n=8 ,p=1/2
P(x=4) = (8ncr4) * [mm] (1/2)^4 [/mm] * [mm] (1/2)^4 [/mm] = 27,34%
Hier hat er noch bemerkt, dass dies falsch gerechnet sei.
Jedoch verstehe ich gar nichz was er damit meint und was er uns zeigen will. Das einzige was ich schliessen kann ist, dass die Binomialverteilung zu einem anscheinend falsch gerechnetem Ergebnis kommt. Und eigentlich wollte er uns ja die Anwendung der Binomialverteilung zeigen.
MFG
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Di 13.05.2014 | | Autor: | manfreda |
Hups ich hab nicht die ganze Frage abgetippt! Tut mir leid!
Eine Schule wird von 500 Schülerinnen und 500 Schülern besucht; für ein Interview sollen davon 8 ausgewählt werden. Die Auswahl geschieht
(1) als Ziehen ohne Wiederholung, indem willkürlich 8 Karteikarten aus der Schülerdatei herausgegriffen werden.
(2) als Ziehen mit Wiederholung, indem der Zufallsgenerator des Schulcomputers 8-mal unabhängig voneinander eine Person aus der Schülerdatei auswählt.
Wie gross ist in den Fällen (1) bzw. (2) die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auswahl genauso viele Mädchen wie Jungem herausgegriffem werden? Vergleiche diese Werte miteinander.
PS: wieso nimmt er bei (2) überhaupz die binomialverteilung wenn diese doch nur für fälle ohne zurücklegen gedacht ist?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Di 13.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
er hat eigentlich beide Male richtig gerechnet.
Beim ersten Mal handelt es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen (Hypergeometrische Verteilung, "Lottomodell"). Dabei ändert sich die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen aus der Kartei zu ziehen mit jedem Zug, da sich der Anteil der Mädchenkarten in der Kartei ja mit jedem Zug ändert.
Beim zweiten Mal handelt es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen (Binomialverteilung), weil der Computer jedesmal aus allen Schülern auswählt und die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu ziehen jedesmal dieselbe ist (nämlich 0,5). Die Wahrscheinlichkeit, bei dieser Art des Ziehens genau vier Mädchen zu erwischen wird genau so berechnet, wie du es aufgeschrieben hast.
Das praktische Problem bei dieser Art der Auswahl besteht darin, dass ein Schüler zweimal gezogen werden könnte und es dann gar nicht zu acht Interviewpartnern kommt, vielleicht wurde der Ziehungsmodus deshalb als falsch eingestuft.
Wenn die Schule zehnmal so groß wäre (5000 Jungen und 5000 Mädchen), dann wäre die Wahrscheinlichkeit des mehrfachen Ziehens desselben Schülers natürlich viel kleiner oder mit anderen Worten spielt es keine so große Rolle mehr, ob eine Karteikarte vor dem nächsten Zug zurückgelegt wird oder nicht, die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen eines Mädchens bleibt auch dann immer fast 0,5, wenn die Karteikarte nicht zurückgelegt wird. Wenn du zum Spaß mal die hypergeometrische Verteilung mit diesen Werten berechnest, also [mm] \bruch{\vektor{5000 \\ 4}*\vektor{5000 \\ 4}}{\vektor{10000 \\ 8}} [/mm] , dann wirst du sehen, dass er sich dem Wert 27,34% aus der Binomialverteilung schon deutlich mehr annähert.
Gruß Sax.
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