gebrochen rationale funktionen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
Simple frage zur ersten und zweiten ableitung. Ich glaube dass ich die erste Ableitung richtig gemacht habe. Habe dazu allerdings noch eine frage. Bei der zweiten bin ich mir sicher, dass ich sie falsch habe
f(x)= [mm] x^2 [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] - 1) Ableitung nach Quotientenregel
= 2x [mm] \* (x^2 [/mm] - 1) - [mm] x^2 \* [/mm] 2x / [mm] (x^2-1)^2
[/mm]
= [mm] 2x^3 [/mm] - 2x [mm] -2x^3 [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^2
[/mm]
= -2x / ( [mm] x^2 [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] Soweit die erste Ableitung?
Falls ja? Muss ich um weiterzumachen den Nennergrad ausrechnen ?
auf [mm] x^4 [/mm] + 2 ? um mit der zweiten ableitung weiterzumachen?
Bevor ich die zweite ableitung hinschreibe würde ich euch bitten erstmal die erste zu kontrolieren.
|
|
| |
|
Hey bliblub!
Deine erste Ableitung ist richtig! Lasse den nenner so stehen. Bei manchen Aufgaben wird dir das nämlich nützlich und du kannst kürzen.
Nur so zur Korrektur:
Im Nenner steht eine binomische Formel, solltest du diese Auflösen würdest du das Ergebnis: [mm] x^{4}-2x^{2}+1 [/mm] erhalten
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
Okay nun zur zweiten Ableitung:
= -2 * [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] - (-2x) * 4x / [mm] (x^2 -1)^4
[/mm]
= -2 * [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] - (-2x) * 4x / [mm] (x^2 -1)^4
[/mm]
= [mm] -2x^4 [/mm] + 2 + 8x/ [mm] (x^2 -1)^4 [/mm] das ist das was ich als erstes raushatte....
wobei ich glaube dass im nenner wenn dann -8x statt +8x stehen sollte weil ich glaube ich das vorzeichen hätte ändern müssen?
So direkt kürzen am anfang wollt ich ja auch nicht da ich ne summe im zähler hatte. Kann man im nenner irgendwas ausklammern? ich seh da leider nix :-( oder bringt es mir was anstatt [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] die ausgerechnete binomische formel einzusetzen?
|
|
|
| |
|
Hey
> Okay nun zur zweiten Ableitung:
>
> = -2 * [mm](x^2[/mm] - [mm]1)^2[/mm] - (-2x) * 4x / [mm](x^2 -1)^4[/mm]
>
Woher kommen denn die 4x? Du musst doch [mm] (x^2-1)^2 [/mm] ableiten und das ist [mm] 2(x^2-1)*2x.
[/mm]
Dann kannst du nämlich im Zähler [mm] (x^2-1) [/mm] ausklammern und es einmal mit dem Nenner kürzen.
>
> = -2 * [mm](x^2[/mm] - [mm]1)^2[/mm] - (-2x) * 4x / [mm](x^2 -1)^4[/mm]
>
> = [mm]-2x^4[/mm] + 2 + 8x/ [mm](x^2 -1)^4[/mm] das ist das was ich als
> erstes raushatte....
> wobei
> ich glaube dass im nenner wenn dann -8x statt +8x stehen
> sollte weil ich glaube ich das vorzeichen hätte ändern
> müssen?
>
> So direkt kürzen am anfang wollt ich ja auch nicht da ich
> ne summe im zähler hatte. Kann man im nenner irgendwas
> ausklammern? ich seh da leider nix :-( oder bringt
> es mir was anstatt [mm](x^2[/mm] - [mm]1)^2[/mm] die ausgerechnete binomische
> formel einzusetzen?
>
>
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
huuuuups Nenner nach Kettenregel right? Das hatte ich vergessen:
Bin mir nur nicht mehr sicher ob ich nach dem ausgeklammerten den rest in einer eckigen Klammer so lassen kann wie er ist: Ich hab mir folgendes gedacht:
= -2 [mm] *(x^2 -1)^2 [/mm] - (-2x) * 4x [mm] (x^2 [/mm] -1) / [mm] (x^2 -1)^4
[/mm]
= [mm] x^2 [/mm] - 1 [mm] \{ (-2x^2 -2 +2x -4x^3 +5x) \} [/mm] / [mm] (x^2 -1)^3 [/mm]
da halt jezt das [mm] x^2 [/mm] -1 im zähler wegdenken....ist ja gekürzt und dafür steht ja jetzt im nenner [mm] (x^2 -1)^3 [/mm]
jetzt habe ich im zähler nach den höchsten potzenzen geordnet.....
[mm] -4x^3 -2x^2 [/mm] +7x -2 / [mm] (x^2 -1)^3 [/mm] bin mir aber hier wiederum nicht sicher...........
|
|
|
| |
|
Hey
Benutz doch den Formeleditor, dann kann man besser erkennen was du schreibst.
> huuuuups Nenner nach Kettenregel right? Das hatte ich
> vergessen:
>
> Bin mir nur nicht mehr sicher ob ich nach dem
> ausgeklammerten den rest in einer eckigen Klammer so lassen
> kann wie er ist: Ich hab mir folgendes gedacht:
>
> = -2 [mm]*(x^2 -1)^2[/mm] - (-2x) * 4x [mm](x^2[/mm] -1) / [mm](x^2 -1)^4[/mm]
Bis hier alles richtig. Du hast ja auch richtig erkannt, dass du kürzen kannst. Klammer aber erst [mm] (x^{2}-1) [/mm] im nächsten Schritt aus und dann kürze erst. Je mehr Schritte du machst desto sicher kannst du rechnen.
Machs ab den ersten Schritt nochmal neu und klammer erst aus
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
Weiß ehrlich gesagt nicht wie der nächste schritt konkret aussehen soll. Hab ich jetzt nicht alles in der eckigen klammer richtig zusammengefasst?
Ich hatte vor mit euch hier im Forum so ein bischen ableitungen zu üben die tage über. NUR hab ich jetzt das problem ´, dass ich noch ne kurvendiskussion bis morgen machen muss mit den richtigen ableitungen ggf will ich diese als hausaufgabe auch abgeben. Könntest du mir die zweite ableitung verraten? Und ich guck es mir so an dass ich es nachvollziehen kann und wir machen die tage mit den abl weiter? .....Weil mit den Kurvendiskussion bin ich mir in den meisten punkten sicherer und ich wollte demnächst heute abend anfangen damit ich früh genug fertig werde und da ist es gut wenn ich die zweite bekomme  somit mach ich dann auch anschließend keine fehler mehr bei der kurvendiskussion.
|
|
|
| |
|
Hey!
also ganz von Anfang an.
Die regel die wir hier benutzen müssen ist die Quotientenregel
Also
[mm] f''(x)=\bruch{-2(x²-1)²-(-2x)*4x(x²-1)}{(x²-1)^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2(x²-1)²+8x²(x²-1)}{(x²-1)^{4}}
[/mm]
ausklammern:
[mm] =\bruch{(x²-1)[-2(x²-1)+8x²]}{(x²-1)^{4}}
[/mm]
kürzen:
[mm] =\bruch{-2x²+2+8x²}{(x²-1)^{3}}
[/mm]
zusammenfassen
[mm] =\bruch{2+6x²}{(x²-1)^{3}}
[/mm]
und fertig
Bitte versuch es nächstes mal alleine, sonst bringt es nicht so viel. Ich hoffe du hast jetzt das System verstanden.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
Jap bin jetzt durchgestiegen. Werde jetzt mit der Kurvendiskussion beginnen. Das nächste mal mache ich es selbst versprochen Danke.
Ist einer von euch bis cirka 22:30- 23 Uhr noch online FALLS es noch fragen zur kurvendiskussion gibt von mir?
|
|
|
| |
|
Hier ist eigentlich immer jemand 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
okay dann ne frage zu extremstellen
notwendige bed: f ´(x) = 0
-2x=o
x=0 vermutung an der stelle x=0 kann eine extremstelle liegen.
hinreichende bed: f´´(x) ungleich 0
2+ [mm] 6x^2 [/mm] = 0
[mm] 6x^2 [/mm] = -2
[mm] x^2 [/mm] = -1/3 aus ner negativen zahl kann man keine wurzel ziehen d.h keine extremstelle???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
ach quark ich bin doch dämlich x=0 ist doch keine koordinate! also sieht man schon an der notwendigen bedingung dass keine extremstellen vorloiegen.
genauso sieht es dann auch bei den wendestellen aus weil man DORT für die notwendige bedingung nicht aus ner negativen wurzel ziehen kann bei der rechnung die ich gemacht habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
hab 2 ist ungleich 0 raus..........
jetzt muss ich doch diverse koordinaten in die original funktuon einsetzen um den punkt zu bekommen oder?
oder kann ich jetzt einfach die vermutungbestätigen durch die hinreichendehn bed. 2 ungleich0 dass x=0 die koordinate ist.........aber ich brauch ja noch nen y wert? der ist ja in dem falle auch 0 sieht man ja am graph
|
|
|
| |
|
Hallo!
Es kommt aber -2 heraus. Schau. [mm] f''(0)=\bruch{2+6(0)²}{((0)²-1)³}=\bruch{2}{-1}=-2
[/mm]
Nicht diverse sondern dein Kandidaten um die y-Koordinate des Hochpunkts zu berechen. Beachte dass du die 0 nicht nur in den Zähler setzt sondern in die koplette funktion.
Demnach lautes der Hochpunkt HP(0|y) und wie du y bestimmst habe ich dir oben erklärt.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 28.02.2008 | | Autor: | bliblub |
das ist aber falsch irgendwie trau ich dem braten nicht .......bei 0/-2 liegt die untere funktion nicht drauf wenn ich die vom taschenrechner zeichnen lasse.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Der Hochpunkt sollte aber bei HP(0|0). den y Wert also die 0 bekommst du so raus: Du setzt den Kandidaten also die 0 in die Ausgangsfunktion ein also [mm] f(0)=\bruch{0²}{(0²-1}=0 [/mm]
Damit sollte dass dann stimmen, habs mir auch zeichnen lassen.
Gruß
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du sollst nicht die 2 ableitung nach x umstellen sondern den Kandidaten in das x der 2. Ableitung einsetzen. Du hast den Kandidaten 0 heraus d.h dort könnte ein Extremum vorliegen. Also berechnest f''(0)=? hier muss eine Zahl [mm] \not=0 [/mm] heraus kommen. Ist dann f''(x)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt oder f''(x)<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt.
