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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - i-te & i+1-te Gleichungssystem
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i-te & i+1-te Gleichungssystem: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Sa 05.07.2014
Autor: gummibaum

Aufgabe
Gegeben ist das lineare Gleichungsystem [m]Ax = b[/m] mit der [m]nxn-Matrix[/m] [m]A[/m] und [m]x,b \in \IR^{n}[/m] definiert durch

[m]A := \begin{pmatrix} \, 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & & 0 \, \\ \, 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & & 0 \, \\ \, 0 & 4 & 3 & 2 & 0 & \cdots & \cdots & & 0 \, \\ \, 0 & 0 & 5 & 4 & 3 & 0 & \cdots & & 0 \, \\ \, \vdots & \vdots & & & & & & & \vdots \, \\ \, \vdots & \vdots & & & & & & & \vdots \, \\ \, \vdots & \vdots & & & & & & & 0 \, \\ \, 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & & n & n - 1 & n - 2 \, \\ \, 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & & n + 1 & n \, \\ \end{pmatrix}, \, x := \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \, b := \begin{pmatrix} n \\ n - 1 \\ \vdots \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} [/m]

Geben Sie für allgemeines [m]i[/m] mit [m]i[/m] [mm] \in[/mm]  [m]\left\{ 2 \cdots n - 2 \right\}[/m] die [m]i[/m]-te und die [m]i+1[/m]-te Gleichung des Gleichungssystems an.

Hallo zusammen.
Habe bei dieser Aufgabe leider noch nicht mal einen Ansatz.
Ich weiß nur, dass es sich bei der bei der Matrix A um eine quadratische Matrix handelt.
Hat jmd einen Tipp für mich?

Vielen Dank!

        
Bezug
i-te & i+1-te Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Sa 05.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

den Sinn der Aufgabe verstehe ich zwar nicht so ganz. Aber viel schwieriger als 'Malen nach Zahlen' scheint mir das hier nicht zu sein.

So heißt die vierte Zeile offensichtlich

[mm] 5x_3+4x_4+3x_5=n-3 [/mm]

und wenn du jetzt mal die zweitletzte Zeile nochmals aufmerksam betrachtest, dann sollte es dir klar sein, wie das aussieht.


Gruß, Diophant

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i-te & i+1-te Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 So 06.07.2014
Autor: gummibaum

Hi. Ich verstehe nicht, wie Du darauf gekommen bist.
Für die ersten vier Zeilen, hätte ich folgendes gesagt:

[m]x_1 + 2x_2 = n[/m]
[m]x_1 + 2x_2 + 3x_3 = n - 1[/m]
[m]2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = n - 2[/m]
[m]3x_3 + 4x_4 + 5x_5 = n - 3[/m]

usw.

Wie kommst Du auf: [m]5x_3+4x_4+3x_5=n-3[/m]

Vielen Dank für einen Tipp!

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i-te & i+1-te Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 So 06.07.2014
Autor: rmix22


> Hi. Ich verstehe nicht, wie Du darauf gekommen bist.
>  Für die ersten vier Zeilen, hätte ich folgendes gesagt:
>  
> [m]x_1 + 2x_2 = n[/m]
>  [m]x_1 + 2x_2 + 3x_3 = n - 1[/m]
>  [m]2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = n - 2[/m]
>  
> [m]3x_3 + 4x_4 + 5x_5 = n - 3[/m]
>  

Nicht mit der Angabe, die du uns gepostet hast. Du gehts offenbar von einer anderen Matrix aus.


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i-te & i+1-te Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 So 06.07.2014
Autor: gummibaum

Die Querpunkte von links oben nach links unten konnte ich hier nicht mit TeX darstellen.
Hmmmm... kann mir jemand einen kleinen Anhaltspunkt geben, so dass ich selbst darauf komme?

Bezug
                                        
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i-te & i+1-te Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 So 06.07.2014
Autor: chrisno

Rechne mal ganz ausführlich vor, wie Du das für die erste Zeile machst.

Bezug
                                        
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i-te & i+1-te Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:33 Mo 07.07.2014
Autor: rmix22


> Die Querpunkte von links oben nach links unten konnte ich
> hier nicht mit TeX darstellen.

Darum gehts, denke ich, nicht.

>  Hmmmm... kann mir jemand einen kleinen Anhaltspunkt geben,
> so dass ich selbst darauf komme?

Sind wir uns noch einig darüber, dass für die vierte Zeile des Ergebnisvektors nur die vierte Zeile der Matrix A mit dem Spaltenvektor x multipliziert zu werden muss? Über das Ergbenis auf der rechten Seite der Gleichung sind wir uns ja einig.

Und die vierte Zeile der Matrix lautet nach deine Angabe
[mm] $\pmat{ 0 & 0 & 5 & 4 & 3 & 0 & \ldots & 0}$ [/mm]
Multipliziert mit
[mm] $\vektor{x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_{n}}$ [/mm]
ergibt das ja wohl
[mm] $0*x_1+0*x_2+\bold{5*x_3+4*x_4+3*x_5}+0*x_6+\ldots+0*x_n$ [/mm]

Gruß RMix




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