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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:55 Mi 24.01.2007 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | Seien [mm] n,m\in \IN. [/mm] Berechnen Sie:
[mm] a)\integral_{0}^{1}{x^{n}(1-x)^{m} dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{-1}^{1}{(1 + x)^{n}(1-x)^{m} dx} [/mm] (durch geeignete Substitution kann man a) benutzen) |
Hallo
brauche dringend eure hilfe!!!
ich komme einfach nicht dran, egal was ich mache kriege ich diese beklopfte [mm] (1-x)^{m} [/mm] nicht raus!!!
hat jemand ne idee?
bin wirklich dankbar für jede hinweis (aber bitte kein "es ist doch partielle integration" ... :) )
mfg tom
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Es ist wirklich "nur partielle Integration" - allerdings einmal und noch einmal und noch einmal ...
[mm]\int_0^1~x^n \left( 1 - x \right)^m~\mathrm{d}x = \left. - \frac{1}{m+1} \, x^n \left( 1 - x \right)^{m+1} \right|_0^1 + \frac{n}{m+1} \int_0^1~x^{n-1} \left( 1 - x \right)^{m+1}~\mathrm{d}x = \frac{n}{m+1} \int_0^1~x^{n-1} \left( 1 - x \right)^{m+1}~\mathrm{d}x[/mm]
Und jetzt mußt du das Ergebnis beobachten: Unterm Integral ist der Exponent des ersten Faktors um 1 kleiner, der des zweiten um 1 größer geworden. Und vor dem Integral steht ein Bruch: Im Zähler der alte erste Exponent, im Nenner der neue zweite Exponent. Die Summe der Exponenten ist aber weiterhin [mm]n+m[/mm].
Und für das verbleibende Integral wiederholst du den Vorgang, und zwar so lange, bis du schließlich bei [mm]\int_0^1~\left( 1 - x \right)^{n+m}~\mathrm{d}x[/mm] angekommen bist.
Ich habe als Wert des Integrals [mm]\frac{1}{(n+m+1) \, {{n+m} \choose n}}[/mm] erhalten.
Und bei der zweiten Aufgabe liegt die Substitution [mm]x = 2t - 1 \, , \ \mathrm{d}x = 2 \, \mathrm{d}t[/mm] nahe.
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