pkt oder glm. Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Di 24.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob bei den nachstehenden Funktionenfolgen punktweise oder gleichmäßige Konvergenz vorliegt ( und geben Sie die Grenzfunktion an):
(i) [mm] $f_{n}: \IR \to \IR$; $x\to [/mm] exp(-n*x²)$ |
Hallo,
kann mir jemand mal ein Howto geben, wie man die Aufgabe zu lösen hat.
Wir haben diese Aufgabe bekommen, hatten es jedoch noch nicht in der VL, und im Internet finde ich keine Beispiel mit Vorgehensweise.
Danke.
Ein Link mit Übungsaufgaben wäre auch nicht schlecht.
Danke nochmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 24.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo DeusRa!
Es sei [mm] $1>\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben. Angenommen es gäbe eine [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| = [mm] \left|e^{-nx^2} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
So, und jetzt betrachte mal
$x:= [mm] \sqrt{ - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Do 26.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Müsste es nicht so lauten ???
$ [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| = [mm] \left|e^{-nx^2} - 0 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $,
da ja [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}exp(-nx²)=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{nx²}}=0$
[/mm]
Und wieso definierst du das x so ?
Ich dachte, man muss sich dann (wie auch immer) ein n definieren ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Do 26.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, da habe ich mich verhaspelt, vielen Dank für den Hinweis.
Ich führe ja einen Widerspruchsbeweis.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Do 26.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ah, ok.
Dann mit deinem $ x:= [mm] \sqrt{ - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}} [/mm] $ einsetzen in
$ x:= [mm] \sqrt{ - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}} [/mm] $ [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] $\left|e^{-nx^2} \right|$=$\left|e^{-n*\sqrt{ - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}}^2} \right|$=$\left|e^{-n* - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}} \right|$=$\left|e^{n*\frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}} \right|$ [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw $\left|{\frac{n*\ln(\varepsilon)}{n_0}} \right|$ [/mm] < [mm] \ln(\varepsilon) \gdw
[/mm]
[mm] $\left|n*\ln(\varepsilon) \right|$ \le n*\ln(\varepsilon) [/mm] < [mm] \ln(\varepsilon)*n_{0} \Rightarrow $n
für dieses x gibt es kein n, welches größer als [mm] n_{0} [/mm] ist und somit konvergiert die Funktionenfolge nicht gleichmäßig.
Also konvergiert sie punktweise.
Ist das so in ungefähr richtig ?
Wie bist du denn so schnell auf Idee gekommen das x so zu definieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich hätte es anders aufgeschrieben.
Die (durch einen Widerspruch zu falsifizierende) Behauptung ist ja, dass die Ungleichung für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x$ gilt. Also müsste sie ja speziell für das von mir gewählte $x$ und [mm] $n_0$ [/mm] gelten. Zeige (im Wesentlichen mit deiner Rechnung), dass dies nicht der Fall ist.
Wie man darauf kommt? Im Allgemeinen würde ich sagen: durch Auflösen nach $x$. Ich allerdings habe es, mit hinreichender Routine, sofort gesehen.
Liebe Grüße
Stefan
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