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Forum "Zahlentheorie" - rat. Zahl = Summe von Brüchen
rat. Zahl = Summe von Brüchen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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rat. Zahl = Summe von Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Mo 18.06.2018
Autor: mathelernender

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Darstellungen der rationalen Zahl [mm] \bruch{16}{21} [/mm] als Summe echter Brüche mit den Nennern 3 und 7.

Hallo,
ich besuche eine Veranstaltung zur Zahlentheorie und habe aktuell mit der o.g. Aufgabe zu tun.

Ich habe allerdings leider keinen Ansatz um die Aufgabe zu lösen.

Schauen wir uns mal die Gegebenheiten an:
Eine Summe von echten Brüchen heißt, dass die Brüche nicht mehr gekürzt werden können und eine Summe wäre etwas in folgender Form:

[mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{16}{21} [/mm]

Hier hätten wir zwei Summanden.

Ab jetzt stehe ich etwas auf dem Schlauch. Ich würde mich über einen Tipp zum ansetzen freuen.

Viele Grüße,
mathelernender

        
Bezug
rat. Zahl = Summe von Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Mo 18.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimmen Sie alle Darstellungen der rationalen Zahl
> [mm]\bruch{16}{21}[/mm] als Summe echter Brüche mit den Nennern 3
> und 7.
> Hallo,
> ich besuche eine Veranstaltung zur Zahlentheorie und habe
> aktuell mit der o.g. Aufgabe zu tun.

>

> Ich habe allerdings leider keinen Ansatz um die Aufgabe zu
> lösen.

>

> Schauen wir uns mal die Gegebenheiten an:
> Eine Summe von echten Brüchen heißt, dass die Brüche
> nicht mehr gekürzt werden können und eine Summe wäre
> etwas in folgender Form:

>

> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + [mm]\bruch{c}{d}[/mm] = [mm]\bruch{16}{21}[/mm]

>

> Hier hätten wir zwei Summanden.

>

> Ab jetzt stehe ich etwas auf dem Schlauch. Ich würde mich
> über einen Tipp zum ansetzen freuen.

Nun, dein Ansatz ist ja nicht gerade sorgfältig ausgearbeitet: man kann sofort mit

[mm]\begin{aligned} \frac{a}{3}+ \frac{b}{7}&= \frac{16}{21}\ \ \Rightarrow\\ 7a+3b&=16 \end{aligned}[/mm]

beginnen.

Letzteres ist offensichtlich eine lineare diophantische Gleichung, von der zunächst sämtliche positiven (und selbstverständlich ganzzahligen) Lösungen gesucht sind (ich verstehe das zumindest so, da ich davon ausgehe, dass mit echter Bruch eine positive Zahl gemeint ist, und es steht ja explizit Summe in der Aufgabenstellung).

Man sieht dann schnell, dass es für diese Gleichung genau ein Lösungspaar (a,b) gibt.

Jetzt kommt es darauf an, wie die Aufgbenstellung zu verstehen ist: sollen für a,b>1 noch sämtliche mögliche Unterteilungen in kleinere Summanden angegeben werden? Falls ja, dann wäre der Rest Kombinatorik.

Ich glaube das aber nicht, denn es würde im Zusammenhang mit der Zahlentheorie keinerlei Sinn ergeben. Wenn ich mit meiner Einschätzung richtig liege, so bist du mit der Lösung der obigen diophantischen Gleichung fertig.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
rat. Zahl = Summe von Brüchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:43 Mo 18.06.2018
Autor: mathelernender

Hi Diophant,

die Aufgabe ist Deinem Namen nach wie geschaffen für Dich...:-)

Das wäre ja viel einfacher als erwartet. Ich löse das mal.

Vielen Dank dafür!

Bezug
                        
Bezug
rat. Zahl = Summe von Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Mo 18.06.2018
Autor: mathelernender

Hi,

ich möchte gern eine weitere Frage stellen:

Ich präsentiere kurz meine Lösung:

mit 7a + 3b = 16 folgt mit dem ggt(3,7) = 1 und der Gleichung 7a + 3b = ggt(3,7) = 1, dass a = 1 und b = -2.

Multupliziere ich das nun mit 16, folgt a = 16, b = -32.

Du sagst, es existiert genau eine postive Lösung:

Weitere Lösungen wären ja generell:

[mm] a_k [/mm] = 16 - 3k und [mm] b_k [/mm] = -32 + 7k, wobei k Element der ganzen Zahlen ist.

Für k = 5 sind a und b positiv, d.h. nur a = 1 und b = 3 sind das einzige Lösungspaar für die Aufgabe, korrekt?


Bezug
                                
Bezug
rat. Zahl = Summe von Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Mo 18.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

>

> ich möchte gern eine weitere Frage stellen:

>

> Ich präsentiere kurz meine Lösung:

>

> mit 7a + 3b = 16 folgt mit dem ggt(3,7) = 1 und der
> Gleichung 7a + 3b = ggt(3,7) = 1, dass a = 1 und b = -2.

Wie kommst du denn darauf? Für a=1 muss doch offensichtlich b=3 sein.

> Multupliziere ich das nun mit 16, folgt a = 16, b = -32.

> Du sagst, es existiert genau eine postive Lösung:

>

> Weitere Lösungen wären ja generell:

>

> [mm]a_k[/mm] = 16 - 3k und [mm]b_k[/mm] = -32 + 7k, wobei k Element der
> ganzen Zahlen ist.

>

> Für k = 5 sind a und b positiv, d.h. nur a = 1 und b = 3
> sind das einzige Lösungspaar für die Aufgabe, korrekt?

Ja. Irgendwas hast du mit den Variablen durcheinandergebracht, und meiner Meinung nach muss man hier nicht so kompliziert vorgehen, sondern löst die Gleichung direkt durch Probieren.


Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
rat. Zahl = Summe von Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Mo 18.06.2018
Autor: mathelernender


> Hallo,
>  
> >
>  > ich möchte gern eine weitere Frage stellen:

>  >
>  > Ich präsentiere kurz meine Lösung:

>  >
>  > mit 7a + 3b = 16 folgt mit dem ggt(3,7) = 1 und der

>  > Gleichung 7a + 3b = ggt(3,7) = 1, dass a = 1 und b =

> -2.
>  
> Wie kommst du denn darauf? Für a=1 muss doch
> offensichtlich b=3 sein.

Ich habe nicht 7a + 3b = 16 gelöst, sondern 7a + 3b = ggt(7,3) .
Der ggT(7,3) ist 1. Es folgt die Lösbarkeit der Gleichung 7a + 3b = 16, weil ggT(7,3) ein Teiler von 16 ist, denn 1 | 16.

Für 7a + 3b = 16 passen deine Werte a=1 und b=3 selbstverständlich. Diese Gleichung habe ich aber nicht gelöst. (Die Werte habe ich ja am Ende auch raus wie Du weiter unten siehst)

>  
> > Multupliziere ich das nun mit 16, folgt a = 16, b = -32.
>  
> > Du sagst, es existiert genau eine postive Lösung:
>  >
>  > Weitere Lösungen wären ja generell:

>  >
>  > [mm]a_k[/mm] = 16 - 3k und [mm]b_k[/mm] = -32 + 7k, wobei k Element der

>  > ganzen Zahlen ist.

>  >
>  > Für k = 5 sind a und b positiv, d.h. nur a = 1 und b =

> 3
>  > sind das einzige Lösungspaar für die Aufgabe,

> korrekt?
>  
> Ja. Irgendwas hast du mit den Variablen
> durcheinandergebracht, und meiner Meinung nach muss man
> hier nicht so kompliziert vorgehen, sondern löst die
> Gleichung direkt durch Probieren.
>  
>
> Gruß, Diophant

Ich denke eigentlich, dass ich weiterhin die Aufgabe richtig gelöst habe, weil:

Sei a = 1, b = 3.

Es gilt offentischtlich:

[mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{3}{7} [/mm] = [mm] \bruch{16}{21} [/mm]


Bezug
                                                
Bezug
rat. Zahl = Summe von Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Mo 18.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> > > ich möchte gern eine weitere Frage stellen:
> > >
> > > Ich präsentiere kurz meine Lösung:
> > >
> > > mit 7a + 3b = 16 folgt mit dem ggt(3,7) = 1 und der
> > > Gleichung 7a + 3b = ggt(3,7) = 1, dass a = 1 und b =
> > -2.
> >
> > Wie kommst du denn darauf? Für a=1 muss doch
> > offensichtlich b=3 sein.

>

> Ich habe nicht 7a + 3b = 16 gelöst, sondern 7a + 3b =
> ggt(7,3) .
> Der ggT(7,3) ist 1. Es folgt die Lösbarkeit der Gleichung
> 7a + 3b = 16, weil ggT(7,3) ein Teiler von 16 ist, denn 1 |
> 16.

Das ist mir alles klar. Aber du musst dann schon andere Variablen benutzen, damit man das vernünftig naachvollziehen kann.

>

> Ich denke eigentlich, dass ich weiterhin die Aufgabe
> richtig gelöst habe, weil:

>

> Sei a = 1, b = 3.

>

> Es gilt offentischtlich:

>

> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{3}{7}[/mm] = [mm]\bruch{16}{21}[/mm]

>

Ja. Das hatte ich dir ja auch chon bestätigt. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
rat. Zahl = Summe von Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:14 Di 19.06.2018
Autor: HJKweseleit

Zunächst: Brüche sind positive rationale Zahlen (i.a. ohne die Zahl 0). Echte Brüche sind solche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist.

Somit brauchst du für [mm] \bruch{a}{3}+\bruch{b}{7}=\bruch{16}{21} [/mm]
nur mit a=1 und a=2 durchzuprobieren, und schon bist du fertig.

Eine allgemeine Lösung für beliebige ganzzahlige Zähler und Nenner 3 und 7  kannst du noch leichter finden als durch deine Rechnung:

[mm] \bruch{a}{3}+\bruch{b}{7}=\bruch{16}{21} [/mm]  |*21

7a + 3b = 16

b = [mm] \bruch{16-7a}{3}= \bruch{15-6a}{3}+ \bruch{1-a}{3}=5-2a+\bruch{1-a}{3} [/mm]

a und b sind genau dann [mm] \in \IZ, [/mm] wenn 1-a bzw a-1 durch 3 teilbar ist, also wenn a=3k+1 ist.

Damit ergibt sich dann b= [mm] \bruch{16-7a}{3}=\bruch{16-21k-7}{3}=3-7k. [/mm]

Alle Lösungen heißen dann [mm] a_k=3k+1 [/mm] und [mm] b_k=3-7k. [/mm]

[mm] Beweis:\bruch{3k+1}{3}+\bruch{3-7k}{7}=k+\bruch{1}{3}+\bruch{3}{7}-k =\bruch{7}{21} +\bruch{9}{21}=\bruch{16}{21} [/mm]




Bezug
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