rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jansen88 |
| Aufgabe | Berachten sie die rekursiv definierte Folge:
[mm] x_{1}=1,
[/mm]
[mm] x_{n+1}=\bruch{1}{1+x_{n}}
[/mm]
für [mm] n\ge1
[/mm]
Beweisen Sie mit Hilfe des Cauchy'schen Konvergenzkriteriums ihre Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert.
Hinweis: Mit vollständiger Induktion (zeigen!) gilt für alle n und k:
[mm] |x_{n+k}-x_{k}|\le(\bruch{4}{9})^{n-1}|x_{k+1}-x_{1}| [/mm] |
Hallo :)
Ich habe für die Folge für die ersten n angeschaut und meine Vermutung ist, dass sie eine alternierende Folge gegen den Grenzwert 0,6 ist.
Nun soll ich das aber mit dem Cauchy'schen Konvergenzkriteriums beweisen:
Eine Folge [mm] (x_n) [/mm] ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Ich denke, dass ich diese Aussage dann in beide Richtungen bewiesen muss oder?
1.) Eine Folge [mm] (x_{n}) [/mm] heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists n_{0}\in\IN \forall n,m\gen_{0}: |x_{n}-x_{m}|<\varepsilon
[/mm]
Es sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=c [/mm] :
[mm] |x_{n}-c|<\bruch{\vareepsilon}{2}
[/mm]
[mm] |x_{m}-c|<\bruch{\vareepsilon}{2}
[/mm]
Aus der Dreiecksungleichung folgt:
[mm] |x_{n}-x_{m}|\ge|x_{m}-c|-|x_{n}-c|<\bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}<\varepsilon
[/mm]
Geht das so?
Oder lieg ich völlig falsch?
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jansen,
so wie ich die Aufgabe verstehe, sollst du nicht das Konvergenzkriterium beweisen. Sowas habt ihr bestimmt in der Vorlesung gemacht!
Du sollst mit diesem Kriterium Konvergenz zeigen. Wenn du dir mal den Hinweis anschaust, dann siehst du vllt wie das gehen soll. Du sollst ersteinmal über Induktion den Hinweis belegen. Wenn du dann diese Abschätzung weiterführst, sieht du was ich meine.
Den Grenzwert errechnet man (nachdem man konvergenz gezeigt hat!) indem man benutzt, dass sowohl [mm] $x_{n+1}$ [/mm] als auch [mm] $x_n$ [/mm] gegen den gleichen Grenzwert $x$ geht.
lg Kai
Ps.: Der Grenzwert sollte [mm] $\bruch{\wurzel{5}-1}{2}$ [/mm] sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 So 06.12.2009 | | Autor: | Jansen88 |
[mm] |x_{n+k}-x_{k}|\le(\bruch{4}{9})^{n-1}|x_{k+1}-x_{1}| [/mm]
Okay, dann muss ich per Indkution beweisen, dass dies für alle n und k gilt:
[mm] |x_{n+1+k+1}-x_{k+1}|\le(\bruch{4}{9})^{n}|x_{k+2}-x_{1}| [/mm]
[mm] \bruch{|x_{n+k+2-x_{k+1}}|}{|x_{k+2}-x_{1}| }\le(\bruch{4}{9})^{n}
[/mm]
Wie löse ich das weiter auf? Irgendwie komme ich nicht weiter!
Lg
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> [mm]|x_{n+k}-x_{k}|\le(\bruch{4}{9})^{n-1}|x_{k+1}-x_{1}|[/mm]
>
> Okay, dann muss ich per Indkution beweisen, dass dies für
> alle n und k gilt:
>
> [mm]|x_{n+1+k+1}-x_{k+1}|\le(\bruch{4}{9})^{n}|x_{k+2}-x_{1}|[/mm]
>
> [mm]\bruch{|x_{n+k+2-x_{k+1}}|}{|x_{k+2}-x_{1}| }\le(\bruch{4}{9})^{n}[/mm]
Wie bist du denn dahin gekommen, in der Induktion?
Wenn du über den Hinweis konvergenz gezeigt hast, dann musst du in der ursprünglichen Rekursionsvorschrift meinen Hinweis anwenden!
>
> Wie löse ich das weiter auf? Irgendwie komme ich nicht
> weiter!
>
> Lg
>
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 So 06.12.2009 | | Autor: | Jansen88 |
Ich war erst dabei den Hinweis selbst zu zeigen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 So 06.12.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
mittlerweile wurde ein Tippfehler in der Aufgabenstellung bzw. dem Hinweis korrigiert (Aufgabenblatt einfach nochmal runterladen):
[mm]|x_{n+k}-x_{\red{n}}|\le(\bruch{4}{9})^{n-1}|x_{k+1}-x_{1}|[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 So 06.12.2009 | | Autor: | Jansen88 |
Ich komm trotzdem nicht weiter, kannst du mir weiterhelfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 06.12.2009 | | Autor: | Jansen88 |
[mm] x_{n+1}=\bruch{1}{1+x_{n}} [/mm] und [mm] x_{1}=1
[/mm]
dann ist doch [mm] |x_{n+k+1}-x_{n+1}|=|\bruch{1}{1+x_{n+k}}-\bruch{1}{1+x_{n}}|=|\bruch{1+x_{n}-1-x_{n+k}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}|=
[/mm]
[mm] |\bruch{x_{n}-x_{n+k}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{x_{n+k}-x_{n}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}|→ [/mm] a
nun [mm] |x_{n+k}-x_{n}|=|\bruch{1}{1+x_{n+k-1}}-\bruch{1}{1+x_{n-1}}|=|\bruch{x_{n+k-1}-x_{n-1}}{(1+x_{n+k-1})(1+x_{n-1})}| [/mm] dies in a einsetzen :
[mm] |x_{n+k+1}-x_{n+1}|=|\bruch{x_{n+k}-x_{n}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}|=|\bruch{x_{n+k-1}-x_{n-1}}{(1+x_{n+k-1})(1+x_{n-1})((1+x_{n+k})(1+x_{n}))}|
[/mm]
[mm] |\bruch{x_{k+1}-x_{1}}{(1+x_{n+k-1})(1+x_{n-1})((1+x_{n+k})(1+x_{n}))}
[/mm]
Ist das richtig?
Wie kommt denn die [mm] \bruch({4}{9})^{n} [/mm] ins Spiel?
Wäre schön, wenn mir jemand helfen kann, da ich das bis morgen verstanden haben muss.
Liebe Grüße
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Die [mm] $\bruch{4}{9}$ [/mm] kommen durch die Induktion ins Spiel. Wie man da drauf kommt ist schwer zu sagen. Dafür sind ja die Hinweise da.
Es steht doch extra da, du sollst das über Indultion zeigen! Also indunktionsanfang, und Schritt!
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo Jansen88,
> [mm]x_{n+1}=\bruch{1}{1+x_{n}}[/mm] und [mm]x_{1}=1[/mm]
>
> dann ist doch
> [mm]|x_{n+k+1}-x_{n+1}|=|\bruch{1}{1+x_{n+k}}-\bruch{1}{1+x_{n}}|=|\bruch{1+x_{n}-1-x_{n+k}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}|=[/mm]
> [mm]|\bruch{x_{n}-x_{n+k}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}|[/mm]
> [mm]=|\bruch{x_{n+k}-x_{n}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}|→[/mm] a
Das sieht sehr gut aus, denn hier erkennt man im Zähler doch einen Term, der in der Induktionsvoraussetzung (IV) vorkommt: [mm] $|x_{n+k}-x_{n}|$. [/mm] Dieser Term lässt sich deswegen mit der IV abschätzen.
> nun
> [mm]|x_{n+k}-x_{n}|=|\bruch{1}{1+x_{n+k-1}}-\bruch{1}{1+x_{n-1}}|=|\bruch{x_{n+k-1}-x_{n-1}}{(1+x_{n+k-1})(1+x_{n-1})}|[/mm]
> dies in a einsetzen :
>
> [mm]|x_{n+k+1}-x_{n+1}|=|\bruch{x_{n+k}-x_{n}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}|=|\bruch{x_{n+k-1}-x_{n-1}}{(1+x_{n+k-1})(1+x_{n-1})((1+x_{n+k})(1+x_{n}))}|[/mm]
>
> [mm]|\bruch{x_{k+1}-x_{1}}{(1+x_{n+k-1})(1+x_{n-1})((1+x_{n+k})(1+x_{n}))}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Das mag richtig sein, aber du bist über's Ziel hinausgeschossen. Das Ziel war, die IV in dem Term zu entdecken, das war schon oben der Fall.
> Wie kommt denn die [mm]\bruch({4}{9})^{n}[/mm] ins Spiel?
Die kommt dadurch ins Spiel, dass man sich überlegt, dass [mm] $\frac{1}{2}\le x_n\le [/mm] 1$ gilt für alle n (das muss noch gezeigt werden, folgt auch ganz leicht per Induktion). Für den Nenner oben ergibt sich dann nämlich:
[mm] $\frac1{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}\le \frac1{(1+1/2)(1+1/2)}=\frac49$, [/mm] da ja sowohl [mm] $x_{n+k}\ge [/mm] 1/2$ als auch [mm] $x_{n}\ge [/mm] 1/2$.
Viele Grüße,
Marc
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