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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mi 25.01.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | zeigen sie [mm] f(z)=\bruch1z [/mm] ist auf [mm] \IC':=\{z\in\IC | z\ne0\} [/mm] stetig |
(frage zuvor nicht gestellt)
ich hab erst eien folge [mm] x_n \in\IC' [/mm] definiert für die gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=x [/mm] , [mm] x\in\IC'
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch1{x_n}=\bruch1x=f(x)
[/mm]
ist das so richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mi 25.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es handelt sich doch um komplexe Funktionen! Habt ihr da ne Folgenstetigkeit? und auch im reellen musst du zeigen dass das für ALLE Folgen gilt. Und ddu hast dass das so geht ja auch nur hingeschrieben und nicht bewiesen.
Wenn man deinen Beweis ansieht, sieh er so aus: f(x) ist auf [mm] \IR [/mm] definiert.
Behauptung f(x) ist stetig. Beweis , ich nehme eine Folge xn gegen x, dann folgt limf(xn)=f(x) , irgend ne Eigenschaft von f hast du gar nicht benutzt.
Also sieh noch mal die Def. von Stetigkeit für komplexe Fkt. nach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mi 25.01.2006 | | Autor: | AriR |
angenommen wir würden gucken, ob die funktion stetig auf [mm] \IR [/mm] ist also wenn ich in meine frage alle [mm] \IC [/mm] durch [mm] \IR [/mm] ersetzen würde, wäre es dann richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Do 26.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
Nein, ich dachte ich hätte dir gesagt, dass du kein Beweisargument gebracht hast, das man nicht auch so für ne beliebige überall unstetige Funktion so hinschreiben könnte. Wenn du richtig argumentierst, kannst du auch in [mm] \IC [/mm] Folgenstetigkeit verwenden. aber du hast ja deine Funktionsvorschrift gar nicht benutzt! was heisst denn per Definition 1/xn konvergiert gegen 1/x? da muss man doch was beweisen, mit dem berühmten [mm] \varepsilon!
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Do 26.01.2006 | | Autor: | AriR |
wäre es zu viel des guten, wenn ich dich bitten würde, dass hier vieleicht mal vorzurechnen? ich weiß nicht genau, was du meinst mit epsilon...
was genau soll ich denn mit dem [mm] \varepsilon [/mm] kriterium beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:01 Fr 27.01.2006 | | Autor: | AriR |
(frage hier grob schonmal gestellt: http://www.matheforum.net/read?i=123002)
hey leute.. ich verstehe ehrlichgesagt immer noch nicht, was an dem beweis falsch ist.. komisch kommt der mir auch vor. kann mir da bitte nocheinmal einer helfen? ich denke es geht so leicht, weil die funktion für [mm] \bruch1x [/mm] definiert ist, bin mir da aber absolut nicht sicher :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo AriR!
Du führst eben keinen Beweis, sondern schreibst nur die Definitionen hin.
Ich mache es mal vor:
Es sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine gegen $x [mm] \ne [/mm] 0$ konvergente Folge. Weiterhin sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt.
Zu zeigen ist: Es gibt ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $\left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nach Voraussetzung gibt es aber ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass mit
[mm] $\varepsilon_1:= \min \left\{ \frac{|x|}{2}, \frac{\varepsilon}{2|x|^2}\right\}$
[/mm]
gilt:
[mm] $|x_n [/mm] - x| < [mm] \varepsilon_1$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Nun haben wir für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_0$:
[/mm]
[mm] $|x_n| \ge [/mm] ||x| - [mm] |x-x_n|| \ge [/mm] |x| - [mm] \frac{|x|}{2} [/mm] = [mm] \frac{|x|}{2}$
[/mm]
und damit:
[mm] $\left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x} \right|$
[/mm]
$= [mm] \left| \frac{x-x_n}{xx_n} \right|$
[/mm]
$ [mm] \le \frac{2|x-x_n|}{|x|^2}$
[/mm]
$ < [mm] \frac{2 \cdot \frac{\varepsilon}{2|x|^2}}{|x|^2}$
[/mm]
$= [mm] \varepsilon$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Siehst du jetzt, was wir meinten? 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Fr 27.01.2006 | | Autor: | AriR |
aasooo jetzt sehe ich auch meinen fehler.. vielen vielen dank an euch alle
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