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Sigrid Sprock Marc O. Sandlus	www.matheraum.de Vorbereitung auf das Zentralabitur in Mathematik in NRW Aufgabenblatt 5 Abgabe: Fr 10.07.2009 15:00	22.11.2006
Aufgabe 26
Straßenbahn Nach Angaben der Initiative Pro-Bahn-Mitteldeutschland beträgt der Anteil der Schwarzfahrer im Nahverkehr 3 - 4 %. Informationen der Magdeburger Verkehrsbetriebe zufolge wurden im vergangenen Jahr ca. 62 Millionen Personen befördert, die Anzahl der ertappten Schwarzfahrer betrug so konnte man in der Tageszeitung Volksstimme lesen 32000. (a) Vergleichen Sie diese Zahlenwerte miteinander und kommentieren Sie das Ergebnis. (b) Zwei Kontrolleure steigen an der Haltestelle Nicolaiplatz in eine Bahn der Linie 10 in Richtung Zentrum und kontrollieren alle 42 Fahrgäste. An der Haltestelle Alter Markt steigen sie in eineBahn der Linie 6 Richtung Diesdorf um, in der sie weitere 56 Fahrgäste überprüfen. 1. Berechnen Sie ausgehend von einem Schwarzfahreranteil von ca. 4% am gesamten Fahrgastaufkommen die Wahrscheinlichkeit, dass die Kontrolleure bei diesen beiden Kontrollen mindestens 2 Schwarzfahrer ertappen. 2. Untersuchen Sie, mit wie vielen Schwarzfahrern bei diesen beiden Kontrollen zu rechnen ist. 3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 42 Fahrgästen der Linie 10 kein Schwarzfahrer ist. 4. Ermitteln Sie rechnerisch, wie viele Personen überprüft werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% mindestens einen Schwarzfahrer zu erwischen. (c) Die Anzahl der Schwarzfahrer hält sich nur in Grenzen, wenn jeder Fahrgast mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p kontrolliert wird. Ist dieser Wert p zu klein, wird die Anzahl der Schwarzfahrer dramatisch ansteigen, ist der Wert zu hoch, gehen z. B. Einnahmen durch das erhöhte Beförderungsentgelt in Höhe von 40 verloren. Im Folgenden betrachten wir einen Fahrgast, der ca. 52 Fahrten im Monat unternimmt und gehen dabei von folgenden Annahmen aus: Der durchschnittliche Fahrpreis beträgt pro Fahrgast und Fahrt 1,20 . Der Schwarzfahreranteil am gesamten Fahrgastaufkommen beträgt ca. 4%. Ein Schwarzfahrer wird ehrlich, wenn er bei seinen 52 Fahrten mindestens zweimal kontrolliert wird. Ein ehrlicher Fahrgast wird zum Schwarzfahrer, wenn er bei seinen 52 Fahrten überhaupt nicht kontrolliert wird. 1. Begründen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Schwarzfahrer ehrlich wird, durch den Term $1 - (1-p)^{52} 52p(1-p)^{51}$ beschreiben lässt. 2. Begründen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein ehrlicher Fahrgast zum Schwarzfahrer wird, durch den Term $(1-p)^{52}$ beschreiben lässt. 3. Ermitteln Sie mit Hilfe eines zweistufigen Baumdiagramms einen Funktionsterm in Abhängigkeit von p für die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Fahrgast am Ende des Monats Schwarzfahrer ist. [zur Kontrolle: $P_1 = (1-p)^{52} + 2,08p(1-p)^{51}$ ] 4. Bestimmen Sie einen Funktionsterm für die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Fahrgast am Ende des Monats ehrlicher Zahler ist. 5. Stellen Sie die beiden Funktionsterme mit dem ClassPad grafisch dar und beschreiben Sie jeweils den Verlauf des Grafen. 6. Ermitteln Sie, für welches p die Einnahmen pro Fahrgast maximal werden. 7. Untersuchen Sie, wie sich eine Verdoppelung des erhöhten Beförderungsentgelts auswirkt.