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	www.matheraum.de Wahrscheinlichkeitstheorie (Bauer) Aufgabenblatt 1 Abgabe: Mo 09.04.2007 14:00	02.04.2007
Dieser Übungszettel enthält die Aufgaben aus Kapitel I, § 2. Laplace-Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1
Ein Würfel wird n-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau beim n-ten Wurf zum k-ten Mal eine Vier ( $1\le k\le n$ )?
Aufgabe 2
Drei Urnen enthalten gut durchmischt schwarze, weiße und rote, sonst aber gleichartige Kugeln. Es enthalte : 2 schwarze, 3 weiße, 5 rote Kugeln; : 4 schwarze, 2 weiße, 4 rote Kugeln; : 2 schwarze, 5 weiße, 3 rote Kugeln. (a) Aus der Urne wird ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste und zweite Kugel schwarz und die dritte Kugel weiß ist? (b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit (bzw. bzw. ) mit welcher nach vorausgehender zufälliger Wahl einer der Urnen eine schwarze (bzw. weiße bzw. rote) Kugel gezogen wird. Warum ist ? (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man nach vorausgehender zufälliger Wahl einer der Urnen der Reihe nach 4 schwarze Kugeln ohne Zurücklegen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese 4 schwarzen Kugeln der Urne entstammen?
Aufgabe 3
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 10 zufällig ausgewählte Personen ihre Geburtstage in verschiedenen Monaten haben?
Aufgabe 4
Eine Urne enthält gut durchmischt gleichartige Kugeln in r verschiedenen Farben, nämlich Kugeln der Farbe , $i=1,\ldots,r$ . Der Urne entnehme man in einem Zug n Kugeln, wobei $1\le n\le k_1+\ldots+k_r$ ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man genau Kugeln der Farbe , $i=1,\ldots,r$ ? Dabei sei $n_i\ge 0$ für alle i und $n_1+\ldots+n_r=n$ .
Aufgabe 5
Eine Urne enthält gut durchmischt $s\ge 1$ schwarze und $w\ge 1$ weiße Kugeln. Es wird ohne Zurücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, um in z Zügen mindestens $k\le s$ schwarze Kugeln zu erhalten ( $z=1,\ldots,s+w$ )?
Aufgabe 6
(Pólyasches Urnen-Modell) Eine Urne enthält gut durchmischt $s\ge 1$ schwarze und $w\ge 1$ weiße Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und wieder zurückgelegt; ferner werden t weitere Kugeln der Farbe der gezogenen Kugel in die Urne gelegt. Nach neuer Durchmischung wird wieder eine Kugel gezogen und obiges Verfahren mit gleicher Zahl t wiederholt. Man zeige: Die Wahrscheinlichkeit in $n=1,2,\ldots$ Zügen k schwarze und n-k weiße Kugeln zu ziehen ist ${n\choose k}\bruch{s(s+t)\cdot{}\ldots\cdot{}(s+(k-1)t)\cdot{}w(w+t)\cdot{}\ldots\cdot{}(w+(n-k-1)t)}{N(N+t)\cdot{}\ldots\cdot{}(N+(n-1)t)}$ wenn dabei $k=0,1,\ldots,n$ ist und N:=s+w gesetzt wird. Ist die unter 1 (b) beschriebene Situation hiervon ein Spezialfall? Nachtrag: In 1(b) wurde folgendes Modell vorgestellt: In einer Urne befinden sich gut durchmischt n gleichartige Kugeln in den Farben Schwarz und Weiß, etwa s schwarze und w weiße (s+w=n). Man zieht willkürlich $m\le n$ Kugeln und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau $k\le s$ schwarze Kugeln sind. Jede gezogene Kugel wird sofort wieder in die Urne zurückgelegt; nach erneutem Durchmischen des Urneninhaltes wird die nächste Kugel gezogen. [...] Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ${m\choose k} p^k(1-p)^{m-k}$ mit $p=\bruch{s}{n}$