Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Beispiel-surjektiv

Wie führe ich einen Beweis?

d) Gruppe 5. Beispiele f) Injektivität, Bilder und Urbilder

5. Beispiele

e) Surjektivität

Aufgabe:

Seien X,Y und Z Mengen. Seien und beide surjektiv. Zeigen Sie, dass dann auch surjektiv ist.

Vorbereitung des Beweises:

Voraussetzungen:

" surjektiv" bedeutet:

    .

" surjektiv" bedeutet:

    .

Behauptung:

" surjektiv" bedeutet:

    .

Darin bedeutet nach Definition der Verkettung von Abbildungen gerade .

Rahmen des Beweises:

Zu zeigen ist also eine "für alle"-Aussage. Punkt f) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir betrachten ein beliebig vorgegebenes Element und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung die Aussage

     .

Zu zeigen ist also nun eine "es existiert"-Aussage. Punkt g) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir müssen ein Beispiel-Element finden, für das gilt.

Somit ergibt sich folgender Beweisrahmen:

Zu zeigen ist, dass surjektiv ist, d.h. dass für alle ein mit existiert.
Sei also .
Zu zeigen ist, dass ein existiert mit .
...
Hauptteil
(Finden eines Beispiel-Elementes .)
(Nachweis von für dieses Beispiel-Element.)
...
Somit ist die Existenz eines mit nachgewiesen.
Da beliebig war, folgt, dass für alle ein existiert mit .
Also ist tatsächlich surjektiv.

Hauptteil des Beweises:

Die Voraussetzungen sind "für alle"-Aussagen. In 4. Wie benutze ich...? erfahren wir unter Punkt f), wie wir sie ins Spiel bringe können: Wir benötigen ein Element , um auf die Existenz eines mit schließen zu können bzw. ein , um auf die Existenz eines mit schließen zu können. Ein haben wir nicht, aber ein haben wir in der Situation des Hauptteils. Wenden wir also die Voraussetzung, dass surjektiv ist, auf dieses an: Wir erhalten die Aussage

    .

Unter Punkt g) in 4. Wie benutze ich...? erfahren wir, wie wir diese neue Aussage nutzen können: Wir können nun unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass wir ein mit gegeben haben, weiter argumentieren. Und das passt gut: Denn genau ein brauchten wir ja, um die Surjektivität von ins Spiel bringen zu können. Wenden wir also die Surjektivität von auf unser an: Wir erhalten die Aussage

    .

Wir können also nun unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass wir ein mit gegeben haben, weiter argumentieren. Insbesondere haben wir ein Beispiel-Element gefunden.

Bleibt noch nachzuweisen, dass dieses Element die Aussage erfüllt. Dazu hilft uns die Definition von , die Eigenschaft und die Eigenschaft :

Es gilt .

Fertiger Beweis:

Zu zeigen ist, dass surjektiv ist, d.h. dass für alle ein mit existiert.
Sei also .
Zu zeigen ist, dass ein existiert mit .

Wegen der Surjektivität von existiert ein mit .
Wegen der Surjektivität von existiert ein mit .
Es gilt .

Somit ist die Existenz eines mit nachgewiesen.
Da beliebig war, folgt, dass für alle ein existiert mit .
Also ist tatsächlich surjektiv.