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Banach-Alaoglu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Mi 18.05.2011
Autor: physicus

Liebes Forum,

Ich bin daran den Beweis von Banach-Alaoglu zu studieren, der da lautet:

Sei $\ X $ ein normierter Raum, dann ist

[mm] B_X^\*:=\{\Lambda \in X^\* ; \parallel{\Lambda}\parallel_{X^\*} \le 1\} [/mm]
kompakt bezüglich der schwachen* Topologie auf $\ [mm] X^\* [/mm] $ (Dualraum).

Der Beweis geht nun ja etwa wie folgt:

Man definiert sich folgende Mengen:

[mm] D_x := \{z \in \IR ; |z| \le |x|\}[/mm] und
[mm] D := \produkt_{x \in X}D_x[/mm]


Nach Tychonoff ist das ja kompakt, da Produkt von kompakten Mengen. Die Idee ist nun, dass man einen Homöomorphismus findet, der die Einheitskugel in eine abgeschlossene Teilmenge von $\ D $ abbildet. Dann ist man fertig. Dazu konstruiert man:

[mm] \phi_x : B_X^\* \to D_x[/mm] mittels [mm] \phi_x{(f)} :=f(x) [/mm] und

[mm] \phi : B_X^\* \to D[/mm] mittels [mm] \phi{(f)} :=\produkt_{x \in X}\phi_x [/mm]

also $\ [mm] \phi(f)=(f(x))_{x \in X}$. [/mm]

Das $\ [mm] \phi [/mm] $ injektiv ist, ist klar. Hier stellt sich meine erste Frage:

Wieso ist $\ [mm] \phi [/mm] $ stetig? Dazu müsste man ja ein Netz nehmen, $\ [mm] {(f_\alpha)}$ [/mm] welches in $\ [mm] B_X^\*$ [/mm] gegen ein $\ f $ konvergiert. Dann müsste ich zeigen, dass $\ [mm] \phi(f_\alpha)$ [/mm] gegen $\ [mm] \phi(f) [/mm] $ konvergiert. Irgendwie bekommen ich das nicht hin. Und wieso gilt die Stetigkeit für die Umkehrabbildung $\ [mm] \phi^{-1}: \phi(B_X^\*) \to B_X^\* [/mm] $?

Wenn das geklärt ist, muss man noch zeigen, dass das Bild von der Einheitskugel abgeschlossen ist in der Produkttopologie. Hier nimmt man sich ja auch wieder ein Netz $\ [mm] (\phi(f_\alpha)) \in \phi(B_X^\*) [/mm] $ welches gegen ein $\ [mm] d=(d_x)_{x \in X} \in [/mm] D $ konvergiert. Dazu definiert man:

[mm] f:X \to \IR [/mm] mit [mm] f(x):=d_x [/mm].

Nun zu meinen letzten Fragen, wieso gilt?

1. [mm] lim_\alpha \phi(f_\alpha(x)) = d_x \forall x \in X [/mm]

Trifft dies zu weil: $\ [mm] lim_\alpha \phi(f_\alpha(x)) [/mm] = [mm] \phi(lim_\alpha f_\alpha(x)) [/mm] = [mm] d_x =\phi(f) [/mm]  $ wobei bei der ersten Gleichung verwendet wurde, dass $\ [mm] \phi [/mm] $ stetig ist.
2. Wieso ist $\ f $ ein lineares funktional in $\ [mm] B_X^\* [/mm] $? Weshalb es ein Funktional von $\  [mm] B_X^\* [/mm] $ ist klar. Im wesentlichen wieso ist $\ [mm] d_{\alpha x + \beta y} [/mm] = [mm] \alpha* d_x [/mm] + [mm] \beta*d_y \forall \alpha,\beta \in \IR,x,y \in [/mm] X $

Es sind einige Fragen, dennoch hoffe, dass mir jemand etwas weiterhelfen kann. Ich danke für die Klärung meiner Fragen!

Gruss

physicus

        
Bezug
Banach-Alaoglu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Sa 28.05.2011
Autor: marc1601


> Liebes Forum,
>  
> Ich bin daran den Beweis von Banach-Alaoglu zu studieren,
> der da lautet:
>  
> Sei [mm]\ X[/mm] ein normierter Raum, dann ist
>
> [mm]B_X^\*:=\{\Lambda \in X^\* ; \parallel{\Lambda}\parallel_{X^\*} \le 1\}[/mm]
> kompakt bezüglich der schwachen* Topologie auf [mm]\ X^\*[/mm]
> (Dualraum).
>  
> Der Beweis geht nun ja etwa wie folgt:
>  
> Man definiert sich folgende Mengen:
>  
> [mm]D_x := \{z \in \IR ; |z| \le |x|\}[/mm] und
>  [mm]D := \produkt_{x \in X}D_x[/mm]
>
>
> Nach Tychonoff ist das ja kompakt, da Produkt von kompakten
> Mengen. Die Idee ist nun, dass man einen Homöomorphismus
> findet, der die Einheitskugel in eine abgeschlossene
> Teilmenge von [mm]\ D[/mm] abbildet. Dann ist man fertig. Dazu
> konstruiert man:
>  
> [mm]\phi_x : B_X^\* \to D_x[/mm] mittels [mm]\phi_x{(f)} :=f(x) [/mm] und
>
> [mm]\phi : B_X^\* \to D[/mm] mittels [mm]\phi{(f)} :=\produkt_{x \in X}\phi_x[/mm]
>
> also [mm]\ \phi(f)=(f(x))_{x \in X}[/mm].
>  
> Das [mm]\ \phi[/mm] injektiv ist, ist klar. Hier stellt sich meine
> erste Frage:
>  
> Wieso ist [mm]\ \phi[/mm] stetig? Dazu müsste man ja ein Netz
> nehmen, [mm]\ {(f_\alpha)}[/mm] welches in [mm]\ B_X^\*[/mm] gegen ein [mm]\ f[/mm]
> konvergiert. Dann müsste ich zeigen, dass [mm]\ \phi(f_\alpha)[/mm]
> gegen [mm]\ \phi(f)[/mm] konvergiert. Irgendwie bekommen ich das
> nicht hin. Und wieso gilt die Stetigkeit für die
> Umkehrabbildung [mm]\ \phi^{-1}: \phi(B_X^\*) \to B_X^\* [/mm]?

Wenn [mm] $f_\alpha$ [/mm] ein Netz in [mm] $B_X^\*$ [/mm] ist und $f [mm] \in B_X^\*$, [/mm] so konvergiert [mm] $f_\alpha$ [/mm] genau dann [mm] schwach-$\ast$ [/mm] gegen $f$, wenn [mm] $f_\alpha [/mm] (x) [mm] \to [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$. Dies gilt genau dann, wenn [mm] $\phi_x(f_\alpha) \to \phi_x(f)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] E$. In der Produkttopologie von $D$ konvergiert ein Netz aber genau dann, wenn es komponentenweise konvergiert, d.h. wir haben hier wirklich [mm] $\phi(f_\alpha) \to \phi(f)$ [/mm] in $D$. Damit folgt die Stetigkeit von [mm] $\phi$. [/mm] Dass dann [mm] $\phi\colon B_X^\* \to \phi(B_X^\*)$ [/mm] ein Homöomorphismus ist, bekommt man dann aus einem bekannten Satz, dass nämlich stetige Bijektionen von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum schon ein Homöomorphismus definieren.




> Wenn das geklärt ist, muss man noch zeigen, dass das Bild
> von der Einheitskugel abgeschlossen ist in der
> Produkttopologie. Hier nimmt man sich ja auch wieder ein
> Netz [mm]\ (\phi(f_\alpha)) \in \phi(B_X^\*)[/mm] welches gegen ein
> [mm]\ d=(d_x)_{x \in X} \in D[/mm] konvergiert. Dazu definiert man:
>  
> [mm]f:X \to \IR[/mm] mit [mm]f(x):=d_x [/mm].
>  
> Nun zu meinen letzten Fragen, wieso gilt?
>  
> 1. [mm]lim_\alpha \phi(f_\alpha(x)) = d_x \forall x \in X[/mm]
>
> Trifft dies zu weil: [mm]\ lim_\alpha \phi(f_\alpha(x)) = \phi(lim_\alpha f_\alpha(x)) = d_x =\phi(f) [/mm]
> wobei bei der ersten Gleichung verwendet wurde, dass [mm]\ \phi[/mm]
> stetig ist.

So genau weiß ich nicht, was Du hier meinst. [mm] $f_\alpha(x)$ [/mm] ist ja ein Skalar, d.h. [mm] $\phi$ [/mm] darauf anzuwenden macht erstmal keinen Sinn. Du gehst ja davon aus, dass [mm] $\phi(f_\alpha)=(\phi_x(f_\alpha))_{x \in X}$ [/mm] gegen [mm] $d=(d_x)_{x\in X}$ [/mm] konvergiert und willst zeigen, dass $d [mm] \in \phi(B_X^\*)$ [/mm]
liegt. Genau wie oben bedeutet diese Konvergenz dann insbeondere, dass sie auch komponentenweise gilt, d.h. [mm] $f_\alpha(x) [/mm] = [mm] \phi_x(f_\alpha) \to d_x$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$.

> 2. Wieso ist [mm]\ f[/mm] ein lineares funktional in [mm]\ B_X^\* [/mm]?
> Weshalb es ein Funktional von [mm]\ B_X^\*[/mm] ist klar. Im
> wesentlichen wieso ist [mm]\ d_{\alpha x + \beta y} = \alpha* d_x + \beta*d_y \forall \alpha,\beta \in \IR,x,y \in X[/mm]

Hierbei nutzt man im Wesentlichen aus, dass die [mm] $f_\alpha$ [/mm] in [mm] $B_X^\*$ [/mm] liegen, also linear sind. Beispielsweise gilt $f(x+y) = [mm] d_{x+y} [/mm] = [mm] \lim_\alpha f_\alpha [/mm] (x+y) = [mm] \lim_\alpha f_\alpha [/mm] (x) + [mm] \lim_\alpha f_\alpha(y) [/mm] = [mm] d_x [/mm] + [mm] d_y [/mm] = f(x) + f(y)$. Genauso zeigt man auch [mm] $f(\mu [/mm] x) = [mm] \mu [/mm] f(x)$.

>  
> Es sind einige Fragen, dennoch hoffe, dass mir jemand etwas
> weiterhelfen kann. Ich danke für die Klärung meiner
> Fragen!
>  
> Gruss
>  
> physicus


Hoffe, das hat etwas geholfen, Gruß,
Marc


Bezug
                
Bezug
Banach-Alaoglu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 Di 31.05.2011
Autor: physicus

Hallo Marc,

Danke für deine Antworten. Ich habe dazu noch ein paar Fragen, vielleicht kannst du diese ja auch beantworten :)
  

> Wenn [mm]f_\alpha[/mm] ein Netz in [mm]B_X^\*[/mm] ist und [mm]f \in B_X^\*[/mm], so
> konvergiert [mm]f_\alpha[/mm] genau dann schwach-[mm]\ast[/mm] gegen [mm]f[/mm], wenn
> [mm]f_\alpha (x) \to f(x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]. Dies gilt genau
> dann, wenn [mm]\phi_x(f_\alpha) \to \phi_x(f)[/mm] für alle [mm]x \in E[/mm].
> In der Produkttopologie von [mm]D[/mm] konvergiert ein Netz aber
> genau dann, wenn es komponentenweise konvergiert, d.h. wir
> haben hier wirklich [mm]\phi(f_\alpha) \to \phi(f)[/mm] in [mm]D[/mm]. Damit
> folgt die Stetigkeit von [mm]\phi[/mm]. Dass dann [mm]\phi\colon B_X^\* \to \phi(B_X^\*)[/mm]
> ein Homöomorphismus ist, bekommt man dann aus einem
> bekannten Satz, dass nämlich stetige Bijektionen von einem
> kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum schon ein
> Homöomorphismus definieren.
>  

Ja aber das geht hier nicht! Ich will ja gerade zeigen, dass [mm] B_X^\* [/mm] kompakt ist. Dies darf ich also nicht verwenden. Man muss doch explizit zeigen, dass [mm] \phi^{-1} [/mm] auch stetig ist. Leider kriege ich dies nicht hin.

>
>  
>
> So genau weiß ich nicht, was Du hier meinst. [mm]f_\alpha(x)[/mm]
> ist ja ein Skalar, d.h. [mm]\phi[/mm] darauf anzuwenden macht
> erstmal keinen Sinn. Du gehst ja davon aus, dass
> [mm]\phi(f_\alpha)=(\phi_x(f_\alpha))_{x \in X}[/mm] gegen
> [mm]d=(d_x)_{x\in X}[/mm] konvergiert und willst zeigen, dass [mm]d \in \phi(B_X^\*)[/mm]
>  

Ja das war Schwachsinn, sorry!

> liegt. Genau wie oben bedeutet diese Konvergenz dann
> insbeondere, dass sie auch komponentenweise gilt, d.h.
> [mm]f_\alpha(x) = \phi_x(f_\alpha) \to d_x[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm].
>  
> Hierbei nutzt man im Wesentlichen aus, dass die [mm]f_\alpha[/mm] in
> [mm]B_X^\*[/mm] liegen, also linear sind. Beispielsweise gilt [mm]f(x+y) = d_{x+y} = \lim_\alpha f_\alpha (x+y) = \lim_\alpha f_\alpha (x) + \lim_\alpha f_\alpha(y) = d_x + d_y = f(x) + f(y)[/mm].
> Genauso zeigt man auch [mm]f(\mu x) = \mu f(x)[/mm].

Super, damit ist das geklärt.

>
>
> Hoffe, das hat etwas geholfen, Gruß,
>  Marc
>  

Nochmals Danke für deine Antwort. Alles bis auf die Stetigkeit von [mm] \phi^{-1} [/mm] ist jetzt klar.

Gruss

physicus

Bezug
                        
Bezug
Banach-Alaoglu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Di 31.05.2011
Autor: marc1601


> Hallo Marc,
>  
> Danke für deine Antworten. Ich habe dazu noch ein paar
> Fragen, vielleicht kannst du diese ja auch beantworten :)
>    
> > Wenn [mm]f_\alpha[/mm] ein Netz in [mm]B_X^\*[/mm] ist und [mm]f \in B_X^\*[/mm], so
> > konvergiert [mm]f_\alpha[/mm] genau dann schwach-[mm]\ast[/mm] gegen [mm]f[/mm], wenn
> > [mm]f_\alpha (x) \to f(x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]. Dies gilt genau
> > dann, wenn [mm]\phi_x(f_\alpha) \to \phi_x(f)[/mm] für alle [mm]x \in E[/mm].
> > In der Produkttopologie von [mm]D[/mm] konvergiert ein Netz aber
> > genau dann, wenn es komponentenweise konvergiert, d.h. wir
> > haben hier wirklich [mm]\phi(f_\alpha) \to \phi(f)[/mm] in [mm]D[/mm]. Damit
> > folgt die Stetigkeit von [mm]\phi[/mm]. Dass dann [mm]\phi\colon B_X^\* \to \phi(B_X^\*)[/mm]
> > ein Homöomorphismus ist, bekommt man dann aus einem
> > bekannten Satz, dass nämlich stetige Bijektionen von einem
> > kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum schon ein
> > Homöomorphismus definieren.
>  >  
> Ja aber das geht hier nicht! Ich will ja gerade zeigen,
> dass [mm]B_X^\*[/mm] kompakt ist. Dies darf ich also nicht
> verwenden. Man muss doch explizit zeigen, dass [mm]\phi^{-1}[/mm]
> auch stetig ist. Leider kriege ich dies nicht hin.
>  >

> >  

Du hast natürlich recht. Da haut das nicht hin. Aber es ist viel leichter. Es steht da ja eine "genau dann, wenn"-Aussage, also [mm] $f_\alpha$ [/mm] konvergiert gegen $f$ in [mm] $B_X^\*$ [/mm] bzgl. der [mm] schwach-$\ast$-Topologie, [/mm] genau dann, wenn [mm] $\phi(f_\alpha) \to \phi(f)$ [/mm] in der Produkttopologie konvergiert. Durch Rückwärtslesen erhält man die Stetigkeit von [mm] $\phi^{-1}$. [/mm]

> >
> > So genau weiß ich nicht, was Du hier meinst. [mm]f_\alpha(x)[/mm]
> > ist ja ein Skalar, d.h. [mm]\phi[/mm] darauf anzuwenden macht
> > erstmal keinen Sinn. Du gehst ja davon aus, dass
> > [mm]\phi(f_\alpha)=(\phi_x(f_\alpha))_{x \in X}[/mm] gegen
> > [mm]d=(d_x)_{x\in X}[/mm] konvergiert und willst zeigen, dass [mm]d \in \phi(B_X^\*)[/mm]
>  
> >  

> Ja das war Schwachsinn, sorry!
>  
> > liegt. Genau wie oben bedeutet diese Konvergenz dann
> > insbeondere, dass sie auch komponentenweise gilt, d.h.
> > [mm]f_\alpha(x) = \phi_x(f_\alpha) \to d_x[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm].
>  
> >  

> > Hierbei nutzt man im Wesentlichen aus, dass die [mm]f_\alpha[/mm] in
> > [mm]B_X^\*[/mm] liegen, also linear sind. Beispielsweise gilt [mm]f(x+y) = d_{x+y} = \lim_\alpha f_\alpha (x+y) = \lim_\alpha f_\alpha (x) + \lim_\alpha f_\alpha(y) = d_x + d_y = f(x) + f(y)[/mm].
> > Genauso zeigt man auch [mm]f(\mu x) = \mu f(x)[/mm].
>  
> Super, damit ist das geklärt.
>  >

> >
> > Hoffe, das hat etwas geholfen, Gruß,
>  >  Marc
>  >  
> Nochmals Danke für deine Antwort. Alles bis auf die
> Stetigkeit von [mm]\phi^{-1}[/mm] ist jetzt klar.
>
> Gruss
>  
> physicus


Beste Grüße,
Marc

Bezug
                                
Bezug
Banach-Alaoglu: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Mi 01.06.2011
Autor: physicus

Super, danke dir Marc!

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