Basis eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:10 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR[x]_3:=\{ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d \in \IR\} [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3.
Die Menge [mm] V:=\{p \in \IR[x]_3 : p(1)=0\} [/mm] der Polynome mit einer Nullstelle bei [mm] x_0:=1 [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] \IR[x]_3.
[/mm]
Geben Sie eine Basis von V an. Welche Dimension hat V? |
Guten Morgen,
Kann mir bitte jemand sagen, wie man eine Basis vom Polynom-Vektorräume ermitteln kann?
Die Bedingung ist ja p(1)=0 , d. h. d+c+b+a=0.
Wie gehe ich hier vor?
Vielen Dank vorab für jede Hilfe
Viele Grüße
Asg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:16 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\IR[x]_3:=\{ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d \in \IR\}[/mm] der
> Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3.
> Die Menge [mm]V:=\{p \in \IR[x]_3 : p(1)=0\}[/mm] der Polynome mit
> einer Nullstelle bei [mm]x_0:=1[/mm] ist ein Untervektorraum von
> [mm]\IR[x]_3.[/mm]
>
> Geben Sie eine Basis von V an. Welche Dimension hat V?
> Guten Morgen,
>
Moin, moin,
> Kann mir bitte jemand sagen, wie man eine Basis vom
> Polynom-Vektorräume ermitteln kann?
>
> Die Bedingung ist ja p(1)=0 , d. h. d+c+b+a=0.
>
> Wie gehe ich hier vor?
Klar dürfte sein, dass $V [mm] \ne \IR[x]_3$ [/mm] ist. Damit ist dim V [mm] \le [/mm] 3.
Kandidaten in V sind z.B.:
(*) [mm] x^3-1, x^2-1 [/mm] und x-1.
Was hättest Du, wenn die Polynome in (*) linear unabhängig wären ?
FRED
>
> Vielen Dank vorab für jede Hilfe
>
> Viele Grüße
>
> Asg
>
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> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:30 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
> > Es sei [mm]\IR[x]_3:=\{ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d \in \IR\}[/mm] der
> > Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3.
> > Die Menge [mm]V:=\{p \in \IR[x]_3 : p(1)=0\}[/mm] der Polynome
> mit
> > einer Nullstelle bei [mm]x_0:=1[/mm] ist ein Untervektorraum von
> > [mm]\IR[x]_3.[/mm]
> >
> > Geben Sie eine Basis von V an. Welche Dimension hat V?
> > Guten Morgen,
> >
>
> Moin, moin,
>
Einen schönen guten Morgen :)
>
> > Kann mir bitte jemand sagen, wie man eine Basis vom
> > Polynom-Vektorräume ermitteln kann?
> >
> > Die Bedingung ist ja p(1)=0 , d. h. d+c+b+a=0.
> >
> > Wie gehe ich hier vor?
>
> Klar dürfte sein, dass [mm]V \ne \IR[x]_3[/mm] ist. Damit ist dim V
> [mm]\le[/mm] 3.
>
> Kandidaten in V sind z.B.:
>
> (*) [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
>
> Was hättest Du, wenn die Polynome in (*) linear
> unabhängig wären ?
>
Wenn die Polynome linear unabhängig sind, dann stellen sie eine Basis vom V dar. Uns soweit ich es sehe, sind sie auch linear unabhängig.
Außerdem haben sie an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] eine Nullstelle, das heißt eine Basis ist [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
Richtig?
> FRED
> >
> > Vielen Dank vorab für jede Hilfe
> >
> > Viele Grüße
> >
> > Asg
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Es sei [mm]\IR[x]_3:=\{ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d \in \IR\}[/mm] der
> > > Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3.
> > > Die Menge [mm]V:=\{p \in \IR[x]_3 : p(1)=0\}[/mm] der
> Polynome
> > mit
> > > einer Nullstelle bei [mm]x_0:=1[/mm] ist ein Untervektorraum von
> > > [mm]\IR[x]_3.[/mm]
> > >
> > > Geben Sie eine Basis von V an. Welche Dimension hat V?
> > > Guten Morgen,
> > >
> >
> > Moin, moin,
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> Einen schönen guten Morgen :)
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> >
> > > Kann mir bitte jemand sagen, wie man eine Basis vom
> > > Polynom-Vektorräume ermitteln kann?
> > >
> > > Die Bedingung ist ja p(1)=0 , d. h. d+c+b+a=0.
> > >
> > > Wie gehe ich hier vor?
> >
> > Klar dürfte sein, dass [mm]V \ne \IR[x]_3[/mm] ist. Damit ist dim V
> > [mm]\le[/mm] 3.
> >
> > Kandidaten in V sind z.B.:
> >
> > (*) [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
> >
> > Was hättest Du, wenn die Polynome in (*) linear
> > unabhängig wären ?
> >
> Wenn die Polynome linear unabhängig sind, dann stellen sie
> eine Basis vom V dar. Uns soweit ich es sehe, sind sie auch
> linear unabhängig.
>
> Außerdem haben sie an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] eine Nullstelle,
> das heißt eine Basis ist [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
>
> Richtig?
Ja. Zeige noch, dass diese Polynome linear unabhängig sind.
FRED
>
> > FRED
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> > > Vielen Dank vorab für jede Hilfe
> > >
> > > Viele Grüße
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> > > Asg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:03 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
> > > > Es sei [mm]\IR[x]_3:=\{ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d \in \IR\}[/mm] der
> > > > Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3.
> > > > Die Menge [mm]V:=\{p \in \IR[x]_3 : p(1)=0\}[/mm] der
> > Polynome
> > > mit
> > > > einer Nullstelle bei [mm]x_0:=1[/mm] ist ein Untervektorraum von
> > > > [mm]\IR[x]_3.[/mm]
> > > >
> > > > Geben Sie eine Basis von V an. Welche Dimension hat V?
> > > > Guten Morgen,
> > > >
> > >
> > > Moin, moin,
> > >
> >
> > Einen schönen guten Morgen :)
> >
> > >
> > > > Kann mir bitte jemand sagen, wie man eine Basis vom
> > > > Polynom-Vektorräume ermitteln kann?
> > > >
> > > > Die Bedingung ist ja p(1)=0 , d. h. d+c+b+a=0.
> > > >
> > > > Wie gehe ich hier vor?
> > >
> > > Klar dürfte sein, dass [mm]V \ne \IR[x]_3[/mm] ist. Damit ist dim V
> > > [mm]\le[/mm] 3.
> > >
> > > Kandidaten in V sind z.B.:
> > >
> > > (*) [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
> > >
> > > Was hättest Du, wenn die Polynome in (*) linear
> > > unabhängig wären ?
> > >
> > Wenn die Polynome linear unabhängig sind, dann stellen sie
> > eine Basis vom V dar. Uns soweit ich es sehe, sind sie auch
> > linear unabhängig.
> >
> > Außerdem haben sie an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] eine Nullstelle,
> > das heißt eine Basis ist [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
> >
> > Richtig?
>
> Ja. Zeige noch, dass diese Polynome linear unabhängig
> sind.
>
Ich bin mir nicht sicher, ob es erlaubt ist, mit Vektoren zu arbeiten, statt mit Polynomen, aber ich habe es für Vektoren gemacht, weil Vektoren mir vertrauter sind als Polynomen:
[mm] x^3-1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\-1}; x^2-1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\-1}; x-1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\-1}
[/mm]
[mm] \lambda_1 \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\-1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\-1} [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\-1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda_1 \cdot [/mm] 1=0
[mm] \lambda_2 \cdot [/mm] 1=0
[mm] \lambda_3 \cdot [/mm] 1=0
[mm] \Rightarrow [/mm] die einzige Lösung des GLs ist wenn alle [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] die Polynome sind linear unabhängig.
Ist es so ok, oder sollte ich doch die Polynome selbst verwenden?
Die Dimension von V wäre dann 3. Die Dimension ist ja immer die Anzahl der Elemente der Basis.
Richtig?
> FRED
> >
> > > FRED
> > > >
> > > > Vielen Dank vorab für jede Hilfe
> > > >
> > > > Viele Grüße
> > > >
> > > > Asg
> > > >
> > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > Internetseiten gestellt.
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Es sei [mm]\IR[x]_3:=\{ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d \in \IR\}[/mm] der
> > > > > Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3.
> > > > > Die Menge [mm]V:=\{p \in \IR[x]_3 : p(1)=0\}[/mm] der
> > > Polynome
> > > > mit
> > > > > einer Nullstelle bei [mm]x_0:=1[/mm] ist ein Untervektorraum von
> > > > > [mm]\IR[x]_3.[/mm]
> > > > >
> > > > > Geben Sie eine Basis von V an. Welche Dimension hat V?
> > > > > Guten Morgen,
> > > > >
> > > >
> > > > Moin, moin,
> > > >
> > >
> > > Einen schönen guten Morgen :)
> > >
> > > >
> > > > > Kann mir bitte jemand sagen, wie man eine Basis vom
> > > > > Polynom-Vektorräume ermitteln kann?
> > > > >
> > > > > Die Bedingung ist ja p(1)=0 , d. h. d+c+b+a=0.
> > > > >
> > > > > Wie gehe ich hier vor?
> > > >
> > > > Klar dürfte sein, dass [mm]V \ne \IR[x]_3[/mm] ist. Damit ist dim V
> > > > [mm]\le[/mm] 3.
> > > >
> > > > Kandidaten in V sind z.B.:
> > > >
> > > > (*) [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
> > > >
> > > > Was hättest Du, wenn die Polynome in (*) linear
> > > > unabhängig wären ?
> > > >
> > > Wenn die Polynome linear unabhängig sind, dann stellen sie
> > > eine Basis vom V dar. Uns soweit ich es sehe, sind sie auch
> > > linear unabhängig.
> > >
> > > Außerdem haben sie an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] eine Nullstelle,
> > > das heißt eine Basis ist [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
> > >
> > > Richtig?
> >
> > Ja. Zeige noch, dass diese Polynome linear unabhängig
> > sind.
> >
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob es erlaubt ist, mit Vektoren
> zu arbeiten, statt mit Polynomen, aber ich habe es für
> Vektoren gemacht, weil Vektoren mir vertrauter sind als
> Polynomen:
>
> [mm]x^3-1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\-1}; x^2-1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\-1}; x-1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\-1}[/mm]
Na ja, mit "=" wäre ich vorsichtig. Oben hast Du die Koordinatendarstellungen der 3 Polynome bezüglich der Basis [mm] \{1,x,x^2,x^3\} [/mm] von [mm] \IR[x]_3 [/mm] stehen.
>
> [mm]\lambda_1 \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\-1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\-1}[/mm]
> + [mm]\lambda_3 \cdot \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\-1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\lambda_1 \cdot[/mm] 1=0
> [mm]\lambda_2 \cdot[/mm] 1=0
> [mm]\lambda_3 \cdot[/mm] 1=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] die einzige Lösung des GLs ist wenn alle
> [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] die
> Polynome sind linear unabhängig.
>
> Ist es so ok,
Ja.
> oder sollte ich doch die Polynome selbst
> verwenden?
Das kannst Du auch machen:
seien a,b,c [mm] \in \IR [/mm] und
[mm] a(x^3-1)+b(x^2-1)+c(x-1)=0.
[/mm]
Es folgt:
[mm] 0=ax^3+bx^2+cx-(a+b+c)=0.
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert:
a=b=c=0.
FRED
>
> Die Dimension von V wäre dann 3. Die Dimension ist ja
> immer die Anzahl der Elemente der Basis.
>
> Richtig?
>
> > FRED
> > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > Vielen Dank vorab für jede Hilfe
> > > > >
> > > > > Viele Grüße
> > > > >
> > > > > Asg
> > > > >
> > > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
> > > > > > Es sei [mm]\IR[x]_3:=\{ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d \in \IR\}[/mm] der
> > > > > > Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3.
> > > > > > Die Menge [mm]V:=\{p \in \IR[x]_3 : p(1)=0\}[/mm]
> der
> > > > Polynome
> > > > > mit
> > > > > > einer Nullstelle bei [mm]x_0:=1[/mm] ist ein Untervektorraum von
> > > > > > [mm]\IR[x]_3.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Geben Sie eine Basis von V an. Welche Dimension hat V?
> > > > > > Guten Morgen,
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Moin, moin,
> > > > >
> > > >
> > > > Einen schönen guten Morgen :)
> > > >
> > > > >
> > > > > > Kann mir bitte jemand sagen, wie man eine Basis vom
> > > > > > Polynom-Vektorräume ermitteln kann?
> > > > > >
> > > > > > Die Bedingung ist ja p(1)=0 , d. h. d+c+b+a=0.
> > > > > >
> > > > > > Wie gehe ich hier vor?
> > > > >
> > > > > Klar dürfte sein, dass [mm]V \ne \IR[x]_3[/mm] ist. Damit ist dim V
> > > > > [mm]\le[/mm] 3.
> > > > >
> > > > > Kandidaten in V sind z.B.:
> > > > >
> > > > > (*) [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
> > > > >
> > > > > Was hättest Du, wenn die Polynome in (*) linear
> > > > > unabhängig wären ?
> > > > >
> > > > Wenn die Polynome linear unabhängig sind, dann stellen sie
> > > > eine Basis vom V dar. Uns soweit ich es sehe, sind sie auch
> > > > linear unabhängig.
> > > >
> > > > Außerdem haben sie an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] eine Nullstelle,
> > > > das heißt eine Basis ist [mm]x^3-1, x^2-1[/mm] und x-1.
> > > >
> > > > Richtig?
> > >
> > > Ja. Zeige noch, dass diese Polynome linear unabhängig
> > > sind.
> > >
> >
> > Ich bin mir nicht sicher, ob es erlaubt ist, mit Vektoren
> > zu arbeiten, statt mit Polynomen, aber ich habe es für
> > Vektoren gemacht, weil Vektoren mir vertrauter sind als
> > Polynomen:
> >
> > [mm]x^3-1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\-1}; x^2-1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\-1}; x-1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\-1}[/mm]
>
> Na ja, mit "=" wäre ich vorsichtig. Oben hast Du die
> Koordinatendarstellungen der 3 Polynome bezüglich der
> Basis [mm]\{1,x,x^2,x^3\}[/mm] von [mm]\IR[x]_3[/mm] stehen.
>
Ja, ich war mir auch nicht sicher bzw. habe ich etwas gemogelt, weil mir nichts besseres einfiel.
Aber könnte ich statt "=" [mm] \hat{=} [/mm] verwenden oder ist es kompliziert, den Fehler gerade zu biegen?
>
> >
> > [mm]\lambda_1 \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\-1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\-1}[/mm]
> > + [mm]\lambda_3 \cdot \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\-1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]\lambda_1 \cdot[/mm] 1=0
> > [mm]\lambda_2 \cdot[/mm] 1=0
> > [mm]\lambda_3 \cdot[/mm] 1=0
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] die einzige Lösung des GLs ist wenn alle
> > [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] die
> > Polynome sind linear unabhängig.
> >
> > Ist es so ok,
>
> Ja.
>
>
> > oder sollte ich doch die Polynome selbst
> > verwenden?
>
> Das kannst Du auch machen:
>
> seien a,b,c [mm]\in \IR[/mm] und
>
> [mm]a(x^3-1)+b(x^2-1)+c(x-1)=0.[/mm]
>
> Es folgt:
>
> [mm]0=ax^3+bx^2+cx-(a+b+c)=0.[/mm]
>
Ach ja, stimmt - hier verwendet man die Bedingung p(1)=0
> Koeffizientenvergleich liefert:
>
> a=b=c=0.
>
Jetzt kappiere ich es auch :)
Vielen vielen Dank.
> FRED
> >
> > Die Dimension von V wäre dann 3. Die Dimension ist ja
> > immer die Anzahl der Elemente der Basis.
> >
> > Richtig?
> >
> > > FRED
> > > >
> > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > > Vielen Dank vorab für jede Hilfe
> > > > > >
> > > > > > Viele Grüße
> > > > > >
> > > > > > Asg
> > > > > >
> > > > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > > > Internetseiten gestellt.
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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moin,
du hast zwar schon deine Basis, aber kannst du das Problem jetzt auch lösen, wenn es etwas anders gestellt ist; etwa $p(0)=0$?
Freds Vorgehen ist hier in diesem Fall das schnellste, ja:
Wir raten drei linear unabhängige Elemente. Finden wir drei Elemente mit verschiedenem Grad, so sind diese sehr gute Kandidaten dafür linear unabhängig zu sein. Ein kleines Argument, warum eine Basis nicht mehr als drei Elemente haben kann und fertig.
Allerdings verlangt dieses Vorgehen nach sehr viel Geschick, Erfahrung und teils Glück. Und für den Fall, dass man irgendwann nicht mit raten zur Lösung kommt oder einem in einer Stresssituation (Prüfung/Klausur?) keine genialen Elemente einfallen wollen, solltest du dir dringend nochmal klar machen, wie man solche und ähnliche Aufgaben ganz allgemein löst.
Hierzu hast du schon einen wichtigen Schritt gemacht:
$d+c+b+a=0$.
Hierbei dürfen $a,b,c,d$ alle reellen Zahlen annehmen, solange diese Gleichung erfüllt ist.
Das heißt unseren Vektorraum $V$ können wir auffassen als den Kern der Matrix
$(1 1 1 1)$, indem wir die Standardbasis des Vektorraums der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ verwenden, sprich wir interpretieren
$1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
$x = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $x^2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $x^3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Lösen wir das Gleichungssystem, so sehen wir, dass eine Basis des Kerns etwa gegeben ist durch
[mm] $\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}$, [/mm] was wenn wir das wieder als Polynome schreiben genau die Basis ergibt, die du bereit hast (was für ein Zufall^^).
Ich weiß, du hast bereits eine Lösung für die Aufgabe, aber vor allem im Hinblick auf weitere Aufgaben und ggf. ein Klausur würde ich dir dringend empfehlen, dir auch nochmal in Ruhe anzugucken, was ich geschrieben habe. Denn sehr viele Probleme kann man - indem man eine geeignete Basis fixiert und die Vektorräume so mit dem [mm] $\IR^n$ [/mm] für ein $n$ identifiziert - in lineare Gleichungssysteme übersetzen.
Es ist im Einzelfall schneller ein Ergebnis zu raten und zu begründen, wenn man das denn kann, aber man sollte für den Notfall einen Plan in der Hinterhand haben, der zwar etwas länger dauert aber dafür systematisch und sicher zum Ziel führt.
Davon abgesehen unterbinden manche Professoren solches Gerate in Klausur oder Hausaufgabe, indem sie einfach vor die Aufgabe als Teil a) setzen: Schreibe das Problem als lineares Gleichungssystem. :)
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
Hallo,
dankeschön für die ausführliche Erklärung und die Unterstützung.
Du hast völlig recht, ich muss mir das Thema nochmals genauer anschauen und vor allem etwas üben, denn sonst könnte ich bei kleine Änderung, die Aufgabe nicht mehr lösen.
Viele Grüße
Asg
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