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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL der Form: u''=f(u)
DGL der Form: u''=f(u) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL der Form: u''=f(u): Lösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 Fr 12.02.2010
Autor: Katrin89

Aufgabe
Ich habe hier:
[mm] x''(t)=-a/(a_0*l)*x(t) [/mm]

Hallo, wie löse ich solch eine DGL? Ich habe gar keine Ahnung. Substitutionen wie z'=p, z''=p*p' gehen hier ja nicht, da ich kein z' habe. ...

        
Bezug
DGL der Form: u''=f(u): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Fr 12.02.2010
Autor: felixf

Hallo!

> Ich habe hier:
> [mm]x''(t)=-a/(a_0*l)*x(t)[/mm]
>  Hallo, wie löse ich solch eine DGL? Ich habe gar keine
> Ahnung. Substitutionen wie z'=p, z''=p*p' gehen hier ja
> nicht, da ich kein z' habe. ...

Du hast hier eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: setze [mm] $\lambda [/mm] := [mm] \frac{a}{a_0 \ell}$, [/mm] dann gilt $x''(t) + 0 [mm] \cdot [/mm] x'(t) + [mm] \lambda \cdot [/mm] x(t) = 0$. Nimm das charakteristische Polynom, loese es, und gib damit Fundamentalloesungen der Differentialgleichung an.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
DGL der Form: u''=f(u): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Fr 12.02.2010
Autor: Katrin89

Hallo Felix, super, danke für die Antwort.  
EIne Frage noch:
Was hätte ich denn gemacht, wenn die Koeff. nicht linear gewesen wäre, z.B. eine DGL x''=xu?

Bezug
                        
Bezug
DGL der Form: u''=f(u): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Fr 12.02.2010
Autor: felixf

Hallo!

> EIne Frage noch:
> Was hätte ich denn gemacht, wenn die Koeff. nicht linear
> gewesen wäre, z.B. eine DGL x''=xu?

Versuch doch mal Trennung der Variablen. Das, zusammen mit Variation der Konstanten, ist eine der Standardmethoden zum Loesen von Differentialgleichungen. (Und halt Substitution, in Tabellen suchen, Raten, ...)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
DGL der Form: u''=f(u): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Fr 12.02.2010
Autor: Katrin89

Danke für deine Antwort.
Mir geht es speziell um diesen Fall. Es ist ja eine DGL 2. Ordnung, also fälllt TdV ja weg, oder?
ein anderes Bsp. wäre: x''+a*sinx=0
da ist zwar a konstant, aber nicht in der Form wie oben.


Bezug
                                        
Bezug
DGL der Form: u''=f(u): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Fr 12.02.2010
Autor: leduart

Hallo
die Dgl kannst du praktisch nur numerisch lösen, d.h. es gibt kein Verfahren, eine Lösung mit den dir bekannten fkt zu finden.
du kannst das in ein System verwandeln
y1=x
y2=x'
y1'=y2
y2'=sin(y1)
jetzt kannst du das Phasendiagramm zeichnen und die Lösungen ungefähr einzeichnen.
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
DGL der Form: u''=f(u): Aufgabe erledigt. Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 Fr 12.02.2010
Autor: Katrin89

Danke für deine Antwort.

Bezug
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