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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Sa 01.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich bin gerade am Thema mit dem Nabla Operator und allem was dazu gehört...
Auf jeden Fall hab ich auf Wiki zum Thema Divergenz eine Art "Zerlegungs Theorem", welches als Beispiel die Beziehung zwischen Potential und E-Feld zeigt, gefunden, dass mir jedoch intuitiv nicht ganz klar ist.
[mm] \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r}) [/mm] = - Nabla [mm] Potential(\overrightarrow{r})
[/mm]
Das ist mir klar. Jetzt soll aber auch sein:
[mm] Potential(\overrightarrow{r}) [/mm] = [mm] \integral_{\IR^{3}}^{}{d^{(3)}*r'*\bruch{div \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r'})}{4*\pi*|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r'}|}}
[/mm]
Mein Wunsch: Eine Erläuterung. Mir ist das Integral über [mm] \IR^{3} [/mm] nicht klar und überhaupt ist es unklar.
Danke.
Gruss
PS: Schade, dass es weder einen Nabla Operator noch ein Potential Zeichen gibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 01.05.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Das Zeichen [mm] $\nabla$ [/mm] für den Nabla-Operator erhälst du mit \nabla. Und fürs Potential schreib doch einfach [mm] $\phi$...?! [/mm] Die meisten [mm]\LaTeX[/mm]-Kommandos gehen auch hier im Mathe-Modus.
Nun zu deinem eigentlichen Problem. Aus [mm] $E=-\nabla\phi$ [/mm] folgt [mm] $\Delta\phi=-\operatorname{div}E=:f$. [/mm] Es gibt nun einen "magischen Satz" (nicht trivial!), der sagt dass eine Lösung dieser Gleichung durch
[mm]\phi(x)=\int_{\IR^3} G(x,y)\cdot f(y)\ dy[/mm]
gegeben ist, wobei $G(x,y)$ die sog. Greensche Funktion des Laplace-Operators [mm] $\Delta$ [/mm] ist. Genauer ist
[mm]G(x,y)=-\frac{1}{4\pi\|x-y\|}.[/mm]
Damit ergibt sich die gesuchte Beziehung
[mm]\phi(x)=\int_{\IR^3}\frac{(\operatorname{div}E)(y)}{4\pi\|x-y\|}\ dy.[/mm]
Viele Grüße,
Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:34 Sa 01.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
"Schreib doch einfach "phi"?" - Also ich sehe auch kein "phi"!^^ Ich weiss nicht wo du das her hast, ich hab alle Zeichen abgesucht.
Danke. Ich hab jetzt mal ein bisschen Theorie zur Greenschen Funktion des Laplace Operators überflogen, ich sehe ein, dass es nicht so trivial ist. Ich muss noch genau darüber nachdenken.
Aber wollte doch noch gerne was fragen:
Wie kann man sich das Integral über [mm] \IR^{3} [/mm] der Divergenz veranschaulicht vorstellen?
Die Divergenz ist ein Skalar, was angibt, ob eine Quelle oder Senke drin ist, bzw. ob mehr Fluss hinein oder "hinausströmt". Das ist mir soweis klar.
Wenn man jetzt also alle Divergenzen durch den Abstand zum Potential aufsummiert(=integriert) dann kriegt man das Potential?
Kann man das so sagen? Ich möchte die Formeln IMMER gerne so verstehen, dass ich sagen kann, aha das macht Sinn.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mo 03.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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