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Forum "Extremwertprobleme" - Drehkegel_Einschreiben
Drehkegel_Einschreiben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Drehkegel_Einschreiben: Exstremwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Mi 20.01.2016
Autor: matheguru3

Aufgabe
Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von maximaler Oberfläche

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe es geschafft die Gleichung aufzustellen mit Nebenbedingung:
O = r²*pi +r*pi*s  (s..Mantellinie)

s² = (rk + h)² +r²  Gl1  (rk...radius kugel)
h = sqrt(rk²-r²)      Gl2 in eins einsetzen

> s =sqrt((rk+sqrt(rk²+r²)²)+r²)

O = r²*pi +r*pi*sqrt((rk+sqrt(rk²+r²)²)+r²)
------------------------------------------------------
So jetzt müsste man noch einmal nach r ableiten , die dann 0 setzen und dann auf r umformen ....hört sich einfach an... ich schaff es aber einfach nicht
Gibt es Lösungs ansätze


        
Bezug
Drehkegel_Einschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Do 21.01.2016
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen
> eingeschriebenen Drehkegel von maximaler Oberfläche
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe es geschafft die Gleichung aufzustellen mit
> Nebenbedingung:
> O = r²*pi +r*pi*s (s..Mantellinie)

Das ist soweit ok.

>

> s² = (rk + h)² +r² Gl1 (rk...radius kugel)

Diese gefällt mir ehrlich gesagt nicht, wie kommst du darauf?

> h = sqrt(rk²-r²) Gl2 in eins einsetzen

Wie kommst du denn darauf?


>

> > s =sqrt((rk+sqrt(rk²+r²)²)+r²)

>

> O = r²*pi +r*pi*sqrt((rk+sqrt(rk²+r²)²)+r²)
> ------------------------------------------------------
> So jetzt müsste man noch einmal nach r ableiten , die
> dann 0 setzen und dann auf r umformen ....hört sich
> einfach an... ich schaff es aber einfach nicht
> Gibt es Lösungs ansätze

>

Du hast doch folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Es gilt, im Dreieck AES
[mm] h^{2}+r_{k}^{2}=s^{2} [/mm]

Und es gilt gilt im Dreieck AME:
[mm] \overline{ME}^{2}=r^{2}+r_{k}^{2} [/mm]

Außerdem gilt:
[mm] h=\overline{ME}+r [/mm]

Damit wird aus
[mm] \overline{ME}^{2}=r^{2}+r_{k}^{2} [/mm]
dann
[mm] (h+r)^{2}=r^{2}+r_{k}^{2} [/mm]

Und das kannst du umformen:
[mm] (h+r)^{2}=r^{2}+r_{k}^{2} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow h^{2}+2rh+r^{2}=r^{2}+r_{k}^{2} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow h^{2}+2rh=r_{k}^{2} [/mm]

Das kannst du nun in [mm] h^{2}+r_{k}^{2}=s^{2} [/mm] einsetzen und bekommst:
[mm] h^{2}+h^{2}+2rh=s^{2} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow 2h^{2}+2rh=s^{2} [/mm]

Damit kannst du nun s in der Oberfläche ersetzen:
Aus
[mm] $O=\pi\cdot r_{k}^{2}+2\cdot \pi\cdot r_{k}\cdot [/mm] s $
folgt also:
[mm] $O=\pi\cdot r_{k}^{2}+2\cdot \pi\cdot r_{k}\cdot\sqrt{2h^{2}+2rh} [/mm] $

Leider sehe id da noch keine Möglichkeit, eine zweite Bedingung zwischen [mm] r_{k} [/mm] und h herzustellen.

Marius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Drehkegel_Einschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Do 21.01.2016
Autor: weduwe

mit den Bezeichnungen im Bilderl kommt man für [mm]x=sin\alpha[/mm] auf:
[mm]f(x)=x+x^2-x^3-x^4[/mm]

was für f´(x) auf eine Gleichung 3. Grades führt, von der man 1 Lösung leicht erraten kann.

ich erhalte damit als Lösung [mm]x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}[/mm]

und damit kann man Radius, Höhe und Seitenlinie des gesuchten Kegels bestimmen.

ob´s stimmt, steht in den Sternen oder im Lösungsheft :-)

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Drehkegel_Einschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Do 21.01.2016
Autor: Fulla

Hallo weduwe,

könntest du deinen Ansatz bitte ein wenig erläutern?
Ich nehme mal an, dass du mit x den Abstand von B und M bezeichnest...
Hast du R=1 gesetzt? Und mir fehlt da irgendwie ein [mm] $\pi$... [/mm]

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                        
Bezug
Drehkegel_Einschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:40 Do 21.01.2016
Autor: weduwe

R fehlt nicht, da es als konstanter Faktor genauso wie [mm] \pi [/mm] "wegfällt", bzw. für die Berechnung des Extremums belanglos ist.

x habe ich bereits oben definiert als [mm]x=sin\alpha[/mm]

ok ?

Bezug
                                
Bezug
Drehkegel_Einschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Fr 22.01.2016
Autor: Fulla


> R fehlt nicht, da es als konstanter Faktor genauso wie [mm]\pi[/mm]
> "wegfällt", bzw. für die Berechnung des Extremums
> belanglos ist.
> x habe ich bereits oben definiert als [mm]x=sin\alpha[/mm]

>

> ok ?

Ja, jetzt ja. Ich hab gestern nur oberflächlich über die Aufgabe drübergeschaut und konnte nicht alles durch den Winkel ausdrücken.
Jetzt komme ich auf dasselbe Polynom (mit Vorfaktor [mm] $4\pi R^2$, [/mm] was erstaunlicherweise genau der Oberfläche der Kugel entspricht).

Lieben Gruß,
Fulla

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