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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:09 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
folgendes Problem: Ich will die Zwischenkörper von [mm] \IQ(e^{\bruch{2\pi*i}{3}},\wurzel[3]{2}) [/mm] bestimmen. Habe dazu die Nullstellen des Polynoms [mm] f=X^3-2 [/mm] bestimmt. [mm] X=\wurzel[3]{2}*e^{\bruch{2\pi*i}{3}},\wurzel[3]{2}*e^{\bruch{4\pi*i}{3}},\wurzel[3]{2}. [/mm] Ich weiß, dass die Galoisgruppe isomorph zu [mm] S_{3} [/mm] ist. Wie sieht aber jetzt die Automorphismengruppe [mm] Gal(\IQ(e^{\bruch{2\pi*i}{3}},\wurzel[3]{2}) [/mm] aus ?
Bzw. durch welche Bilder welcher Elemente werden sie charakterisiert ?
Muss ich dazu nur die Nullstellen permutieren?
Würde mich über ein Beispiel freuen.
Dasselbe Problem hab ich mit [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})/\IQ
[/mm]
Wie kann ich allgemein daran gehen? Habe Freitag mündliche Prüfung, wäre daher für eure Hilfe sehr dankbar.
Viele Grüße
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:09 Mi 25.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian
> folgendes Problem: Ich will die Zwischenkörper von
> [mm]\IQ(e^{\bruch{2\pi*i}{3}},\wurzel[3]{2})[/mm] bestimmen. Habe
> dazu die Nullstellen des Polynoms [mm]f=X^3-2[/mm] bestimmt.
> [mm]X=\wurzel[3]{2}*e^{\bruch{2\pi*i}{3}},\wurzel[3]{2}*e^{\bruch{4\pi*i}{3}},\wurzel[3]{2}.[/mm]
> Ich weiß, dass die Galoisgruppe isomorph zu [mm]S_{3}[/mm] ist. Wie
> sieht aber jetzt die Automorphismengruppe
> [mm]Gal(\IQ(e^{\bruch{2\pi*i}{3}},\wurzel[3]{2})[/mm] aus ?
> Bzw. durch welche Bilder welcher Elemente werden sie
> charakterisiert ?
Sie ist durch die Bilder von [mm] $\zeta_3 [/mm] := [mm] e^{\frac{2 \pi i}{3}}$ [/mm] und $z := [mm] \sqrt[3]{2}$ [/mm] charakterisiert.
Ein Automorphismus muss $z$ auf ein Element aus [mm] $\{ z, \zeta_3 z, \zeta_3^2 z \}$ [/mm] abbilden und [mm] $\zeta_3$ [/mm] auf ein Element aus [mm] $\{ \zeta_3, \zeta_3^2 \}$ [/mm] (das sind jeweils die Nullstellen von dem entsprechenden Minimalpolynom ueber [mm] $\IQ$ [/mm] in dem Koerper).
Die Bilder von [mm] $\zeta_3 [/mm] z$, [mm] $\zeta_3^2 [/mm] z$ und [mm] $\zeta_3^2$ [/mm] sind durch die Bilder von $z$ und [mm] $\zeta_3$ [/mm] eindeutig bestimmt.
> Würde mich über ein Beispiel freuen.
> Dasselbe Problem hab ich mit
> [mm]\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})/\IQ[/mm]
Hier kannst du [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] auf ein Element aus [mm] $\{ \sqrt{2}, -\sqrt{2} \}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] auf ein Element aus [mm] $\{ \sqrt{3}, -\sqrt{3} \}$ [/mm] abbilden.
Das alle diese Moeglichkeiten auch wirklich durch Automorphismen realisierbar sind muss man noch zeigen (bzw das folgt daraus dass [mm] $\sqrt{3} \not\in \IQ(\sqrt{2})$ [/mm] ist).
> Wie kann ich allgemein daran gehen? Habe Freitag mündliche
> Prüfung, wäre daher für eure Hilfe sehr dankbar.
Allgemeine Vorgehensweise fuer Galoiserweiterung $L / K$:
1) schreibe $L = [mm] K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ [/mm] mit moeglichst wenigen [mm] $\alpha_i$;
[/mm]
2) bestimme die Konjugierten der [mm] $\alpha_i$, [/mm] also wenn [mm] $f_i$ [/mm] das Minimalpolynom von [mm] $\alpha_i$ [/mm] ueber $K$ ist, dann zerfaellt [mm] $f_i$ [/mm] in Linearfaktoren, etwa [mm] $f_i [/mm] = (x - [mm] \alpha_{i,1}) \cdots [/mm] (x - [mm] \alpha_{i,n_i})$ [/mm] mit [mm] $\alpha_i [/mm] = [mm] \alpha_{i,1}, \dots, \alpha_{i,n_i}$; [/mm] dies sind die Konjugierten von [mm] $\alpha_i$;
[/mm]
3) jeder Automorphismus ist durch das Bild von [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ [/mm] bestimmt, und [mm] $\alpha_i$ [/mm] kann auf ein Element der Menge [mm] $\{ \alpha_{i,1}, \dots, \alpha_{i,n_i} \}$ [/mm] abgebildet werden;
4) das Problem ist nun: welche dieser Kombinationen sind moeglich? Beachte: es gibt $[L : K]$ Automorphismen (da Galoiserweiterung), wenn [mm] $\prod_{i=1}^n n_i [/mm] = [L : K]$ ist dann sind alle moeglich, wenn nicht ist das Produkt echt groesser und man muss aussieben.
Alternativ kann man auch $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] schreiben mit einem einzigen Element [mm] $\alpha$ [/mm] (Satz vom primitiven Element); in dem Fall kann man [mm] $\alpha$ [/mm] auf alle Konjugierten abbilden, und dies sind alle Automorphismen;
etwa hast du bei $K = [mm] \IQ$ [/mm] und $L = [mm] \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ [/mm] dass $L = [mm] K(\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3})$ [/mm] sind, und die Konjugierten von [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] sind [mm] $\sqrt{2} [/mm] - [mm] \sqrt{3}$, $-\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $-\sqrt{2} [/mm] - [mm] \sqrt{3}$. [/mm] Damit sind die Automorphismen schnell bestimmt, fuer die Gruppenstruktur muss man jedoch noch etwas arbeiten: man muss sich ueberlegen, was mit den anderen Nullstellen unter dem Automorphismus passiert.
Wird etwa [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] auf [mm] $\sqrt{2} [/mm] - [mm] \sqrt{3}$ [/mm] abgebildet, so wird [mm] $-\sqrt{2} [/mm] - [mm] \srqt{3} [/mm] = [mm] -(\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3})$ [/mm] auf [mm] $-\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] abgebildet. Aber was passiert mit [mm] $\sqrt{2} [/mm] - [mm] \sqrt{3}$? [/mm] Dazu muss man [mm] $\sqrt{2} [/mm] - [mm] \sqrt{3}$ [/mm] durch [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] ausdruecken, etwa [mm] $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} [/mm] = [mm] -(\sqrt{2} [/mm] - [mm] \sqrt{3})$; [/mm] damit ist [mm] $\sqrt{2} [/mm] - [mm] \sqrt{3} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$, [/mm] wird also auf [mm] $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] -\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] abgebildet.
Das ist etwas muehsamer um zu bestimmen was mit den restlichen Nullstellen passiert, aber dafuer hat man keine Probleme damit nicht `zuviele' Moeglichkeiten zu haben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:08 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
du warst mir echt wieder eine große Hilfe : ).
Vielen Dank !! Dein Beitrag hat mir sehr geholfen !
Kann beruhigt in die Prüfung gehen.
GLG
Christian
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