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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Fr 08.01.2016 | | Autor: | mariem |
Hallo,
ich versuche folgende Aufgabe zu lösen:
Describe four different geodesics on the hyperboloid of one sheet [mm] x^2+y^2-z^2=1 [/mm] passing through the point (1, 0, 0).
Ich habe im Buch folgende Definition gefunden:
We have that a curve [mm] \gamma [/mm] on a surface S is called a geodesic if [mm] \ddot\gamma(t) [/mm] is zero or perpendicular to the tangent plane of the surface at the point [mm] \gamma [/mm] (t), i.e., parallel to its unit normal, for all values of the parameter t.
Equivalently, [mm] \gamma [/mm] is a geodesic if and only if its tangent vector [mm] \dot\gamma [/mm] is parallel along [mm] \gamma. [/mm]
Könnt ihr mir ein Tipp geben wie man die Geodäte finden kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Sa 09.01.2016 | | Autor: | hippias |
Könntest Du einmal ein Beispiel für irgendeine Kurve in $S$ durch den Punkt $(1,0,0)$ angegeben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 09.01.2016 | | Autor: | mariem |
Wenn man x=1 nimmt bekommt man [mm] y=\pm [/mm] z. Also bekommt man die Linien [mm] y=\pm [/mm] z auf der Ebene x=1, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 09.01.2016 | | Autor: | hippias |
Wie also lautet die Gleichung der entsprechenden Kurve? Erfüllt sie die Bedingung der Geodäte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 09.01.2016 | | Autor: | mariem |
> Wie also lautet die Gleichung der entsprechenden Kurve?
Sind es die Kurven [mm] \gamma(t)=(1,t,t) [/mm] und [mm] \gamma(t)=(1,t,-t) [/mm] ?
> Erfüllt sie die Bedingung der Geodäte?
Wir haben dass
[mm] \gamma'(t)=(0,1,1) \Rightarrow \gamma''(t)=(0,0,0) [/mm]
und
[mm] \gamma'(t)=(0,1,-1) \Rightarrow \gamma''(t)=(0,0,0) [/mm]
Also beide erfüllen die Bedingung der Geodäte, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Sa 09.01.2016 | | Autor: | hippias |
> > Wie also lautet die Gleichung der entsprechenden Kurve?
>
> Sind es die Kurven [mm]\gamma(t)=(1,t,t)[/mm] und [mm]\gamma(t)=(1,t,-t)[/mm]
> ?
Sage Du es mir: Ist die $x$-Koordinate der Punkte auf der Kurve $=1$? Gilt für die $y$- und $z$-Koordinaten der Punkte auf der Kurve die Relation $y= z$ bzw. $y=-z$?
>
>
> > Erfüllt sie die Bedingung der Geodäte?
>
> Wir haben dass
> [mm]\gamma'(t)=(0,1,1) \Rightarrow \gamma''(t)=(0,0,0)[/mm]
> und
> [mm]\gamma'(t)=(0,1,-1) \Rightarrow \gamma''(t)=(0,0,0)[/mm]
>
> Also beide erfüllen die Bedingung der Geodäte, richtig?
Sieh doch bitte selber in der Definition nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 09.01.2016 | | Autor: | mariem |
> > > Wie also lautet die Gleichung der entsprechenden Kurve?
> >
> > Sind es die Kurven [mm]\gamma(t)=(1,t,t)[/mm] und [mm]\gamma(t)=(1,t,-t)[/mm]
> > ?
> Sage Du es mir: Ist die [mm]x[/mm]-Koordinate der Punkte auf der
> Kurve [mm]=1[/mm]? Gilt für die [mm]y[/mm]- und [mm]z[/mm]-Koordinaten der Punkte auf
> der Kurve die Relation [mm]y= z[/mm] bzw. [mm]y=-z[/mm]?
Ich meine dass es so ist.
> > > Erfüllt sie die Bedingung der Geodäte?
> >
> > Wir haben dass
> > [mm]\gamma'(t)=(0,1,1) \Rightarrow \gamma''(t)=(0,0,0)[/mm]
> > und
> > [mm]\gamma'(t)=(0,1,-1) \Rightarrow \gamma''(t)=(0,0,0)[/mm]
> >
> > Also beide erfüllen die Bedingung der Geodäte, richtig?
> Sieh doch bitte selber in der Definition nach.
Der Definition nach muss das [mm] \ddot\gamma [/mm] der Null-Vektor sein, also ist es richtig.
Also haben wir 2 von 4 Geodäte gefunden. Wie findet man die restlichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 So 10.01.2016 | | Autor: | hippias |
Gut: die erste Methode ein Problem zu lösen ist, einfach ein paar offensichtliche Beispiel auszuprobieren; das dauert normalerweise nur ein paar Minuten.
Die restlichen Beispiele findest Du ganz ähnlich: Mache einen Ansatz für die Geodäte, beachte, dass die Kurve innerhalb in der Fläche verläuft und berücksichtigst dann noch eine der Bedingungen, die die Geodäte erfüllen muss. Damit erhälst Du eine Differentialgleichung. Zwei ihrer trivialen Lösungen hast Du mit den beiden Geraden schon gefunden.
So würde ich weitermachen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Sa 09.01.2016 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
der Fairness wegen solltest du aber schon angeben, dass du auch an anderer Stelle diese Frage gestellt hast.
Vielleicht solltest du dies noch einmal nachholen...
Liebe Grüße
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