Grundlegendes zum totalen Diff < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie dass die Funktion $f:$ [mm] \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3;~ \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}
x^2 + y\\
xy - yz\\
x-y
\end{pmatrix} [/mm] (total) differenzierbar ist. |
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade ein paar Aufgaben (mit Lösungen..) nach und versuche die einzelnen Schritte nachzuvollziehen. Bei dieser Aufgabe wurde ein für mich wichtiger Teil ausgelassen (, da vermutlich zu offensichtlich).
Jedenfalls wurden zunächst die Komponentenfunktionen [mm] $f_1, f_2, f_3$ [/mm] betrachtet und damit $f(x+h, y+k, z+l) = f(x,y,z) +$ [mm] \begin{pmatrix}
2x&&1&&0\\
y&&x-z&&-y\\
1&&-1&&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} h\\ k\\ l \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} h^2\\ hk -kl\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] gebildet und außerdem
$A:=$ [mm] \begin{pmatrix}
2x&&1&&0\\
y&&x-z&&-y\\
1&&-1&&0
\end{pmatrix} [/mm] gesetzt.
Damit die Funktion nun (total) differenzierbar sein kann muss
[mm] $\lim\limits_{(h,k,l) \rightarrow (0,0,0)}{ \frac{f(x+h,y+k,z+l) -f(x,y,z) - A\cdot (h,k,l)^T}{||(h,k,l)^T||} } [/mm] = 0$ gelten. Ab hier wird nicht weiter auf diesen Grenzwert eingegangen.
Ich habe zunächst den Bruch vereinfacht und kam auf
[mm] $\frac{f(x+h,y+k,z+l) -f(x,y,z) - A\cdot (h,k,l)^T}{||(h,k,l)^T||} [/mm] = [mm] \frac{1}{||(h,k,l)^T||} ~\cdot$ \begin{pmatrix} h^2\\ hk -kl\\ 0 \end{pmatrix}.
[/mm]
Aber wie mache ich jetzt weiter? Also wie kann ich den Grenzwert berechnen?
Über eure Hilfe würde ich mich (wie so oft) sehr freuen! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie dass die Funktion [mm]f:[/mm] [mm]\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3;~ \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}
x^2 + y\\
xy - yz\\
x-y
\end{pmatrix}[/mm]
> (total) differenzierbar ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich arbeite gerade ein paar Aufgaben (mit Lösungen..) nach
> und versuche die einzelnen Schritte nachzuvollziehen. Bei
> dieser Aufgabe wurde ein für mich wichtiger Teil
> ausgelassen (, da vermutlich zu offensichtlich).
>
> Jedenfalls wurden zunächst die Komponentenfunktionen [mm]f_1, f_2, f_3[/mm]
> betrachtet und damit [mm]f(x+h, y+k, z+l) = f(x,y,z) +[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
2x&&1&&0\\
y&&x-z&&-y\\
1&&-1&&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} h\\ k\\ l \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{pmatrix} h^2\\ hk -kl\\ 0 \end{pmatrix}[/mm] gebildet
> und außerdem
> [mm]A:=[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
2x&&1&&0\\
y&&x-z&&-y\\
1&&-1&&0
\end{pmatrix}[/mm]
> gesetzt.
>
> Damit die Funktion nun (total) differenzierbar sein kann
> muss
> [mm]\lim\limits_{(h,k,l) \rightarrow (0,0,0)}{ \frac{f(x+h,y+k,z+l) -f(x,y,z) - A\cdot (h,k,l)^T}{||(h,k,l)^T||} } = 0[/mm]
> gelten. Ab hier wird nicht weiter auf diesen Grenzwert
> eingegangen.
>
> Ich habe zunächst den Bruch vereinfacht und kam auf
> [mm]\frac{f(x+h,y+k,z+l) -f(x,y,z) - A\cdot (h,k,l)^T}{||(h,k,l)^T||} = \frac{1}{||(h,k,l)^T||} ~\cdot[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} h^2\\ hk -kl\\ 0 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter? Also wie kann ich den
> Grenzwert berechnen?
Schauen wir uns den Vektor
$ [mm] \frac{1}{||(h,k,l)^T||} ~\cdo\begin{pmatrix} h^2\\ hk -kl\\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
mal koordinatenweise an:
1. Koordinate: [mm] \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||}. [/mm]
Klar ist:
$0 [mm] \le \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||}.$
[/mm]
Zeige: [mm] $\bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \le [/mm] |h|$
2. Koordinate: [mm] \bruch{hk-kl}{||(h,k,l)^T||}.
[/mm]
Es ist:
$| [mm] \bruch{hk-kl}{||(h,k,l)^T||}| \le \bruch{|h|*|k|+|k|*|l|}{||(h,k,l)^T||}$
[/mm]
Zeige: [mm] $\bruch{|h|*|k|+|k|*|l|}{||(h,k,l)^T||} \le [/mm] |h|+|l|$
3. Koordinate ist klar, denn die ist =0.
FRED
>
> Über eure Hilfe würde ich mich (wie so oft) sehr freuen!
> :)
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Hallo Fred,
erstmal vielen Dank für deine Antwort! :)
> Schauen wir uns den Vektor
>
> [mm]\frac{1}{||(h,k,l)^T||} ~\cdo\begin{pmatrix} h^2\\ hk -kl\\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> mal koordinatenweise an:
>
> 1. Koordinate: [mm]\bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||}.[/mm]
>
> Klar ist:
>
> [mm]0 \le \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||}.[/mm]
>
> Zeige: [mm]\bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \le |h|[/mm]
>
So etwa: [mm]0 \le \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} = \bruch{h^2}{\wurzel{h^2 + k^2 + l^2}} \le = \bruch{h^2}{\wurzel{h^2}} = |h|[/mm]? Wenn $h [mm] \rightarrow [/mm] 0$, dann ist die 1. Koordinate auch $0$, aber was ist mit $k$ und $l$? Wenn ich $h$ konstant setze, kann dann doch garnicht der selbe Grenzwert für die 1. Koordinate rauskommen oder macht man das generell anders?
>
> 2. Koordinate: [mm]\bruch{hk-kl}{||(h,k,l)^T||}.[/mm]
>
> Es ist:
>
> [mm]| \bruch{hk-kl}{||(h,k,l)^T||}| \le \bruch{|h|*|k|+|k|*|l|}{||(h,k,l)^T||}[/mm]
>
> Zeige: [mm]\bruch{|h|*|k|+|k|*|l|}{||(h,k,l)^T||} \le |h|+|l|[/mm]
>
Das würde ich so begründen: Da [mm]|k| \leq ||(h,k,l)^T|| = \wurzel{h^2+k^2+l^2}[/mm] gilt [mm]\bruch{|h|*|k|+|k|*|l|}{||(h,k,l)^T||} = \bruch{|k| \cdot (|h|+|l|)}{||(h,k,l)^T||} \leq (|h|+|l|)[/mm]
>
> 3. Koordinate ist klar, denn die ist =0.
>
> FRED
Ich glaube dass es mir schwer fällt zu verstehen wie Grenzwerte für mehr als eine Variable berechnet werden (sollten), wäre großartig wenn du mir das an diesem speziellen Beispiel erklären könntest :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> erstmal vielen Dank für deine Antwort! :)
>
> > Schauen wir uns den Vektor
> >
> > [mm]\frac{1}{||(h,k,l)^T||} ~\cdo\begin{pmatrix} h^2\\ hk -kl\\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > mal koordinatenweise an:
> >
> > 1. Koordinate: [mm]\bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||}.[/mm]
> >
> > Klar ist:
> >
> > [mm]0 \le \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||}.[/mm]
> >
> > Zeige: [mm]\bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \le |h|[/mm]
> >
> So etwa: [mm]0 \le \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} = \bruch{h^2}{\wurzel{h^2 + k^2 + l^2}} \le = \bruch{h^2}{\wurzel{h^2}} = |h|[/mm]?
> Wenn [mm]h \rightarrow 0[/mm], dann ist die 1. Koordinate auch [mm]0[/mm],
> aber was ist mit [mm]k[/mm] und [mm]l[/mm]? Wenn ich [mm]h[/mm] konstant setze, kann
> dann doch garnicht der selbe Grenzwert für die 1.
> Koordinate rauskommen oder macht man das generell anders?
Hm .....
Wir haben: (*) [mm]0 \le \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \le |h|[/mm]
Wenn nun (h,k,l) [mm] \to [/mm] (0,0,0) geht, so geht insbesonder h [mm] \to [/mm] 0, also, wegen (*):
[mm] \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \to [/mm] 0 für (h,k,l) [mm] \to [/mm] (0,0,0)
> >
> > 2. Koordinate: [mm]\bruch{hk-kl}{||(h,k,l)^T||}.[/mm]
> >
> > Es ist:
> >
> > [mm]| \bruch{hk-kl}{||(h,k,l)^T||}| \le \bruch{|h|*|k|+|k|*|l|}{||(h,k,l)^T||}[/mm]
>
> >
> > Zeige: [mm]\bruch{|h|*|k|+|k|*|l|}{||(h,k,l)^T||} \le |h|+|l|[/mm]
>
> >
> Das würde ich so begründen: Da [mm]|k| \leq ||(h,k,l)^T|| = \wurzel{h^2+k^2+l^2}[/mm]
> gilt [mm]\bruch{|h|*|k|+|k|*|l|}{||(h,k,l)^T||} = \bruch{|k| \cdot (|h|+|l|)}{||(h,k,l)^T||} \leq (|h|+|l|)[/mm]
Richtig.
> >
> > 3. Koordinate ist klar, denn die ist =0.
> >
> > FRED
>
> Ich glaube dass es mir schwer fällt zu verstehen wie
> Grenzwerte für mehr als eine Variable berechnet werden
> (sollten), wäre großartig wenn du mir das an diesem
> speziellen Beispiel erklären könntest :)
Reicht meine Erklärung für die 1. Koordinate ?
FRED
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> Hm .....
>
> Wir haben: (*) [mm]0 \le \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \le |h|[/mm]
>
> Wenn nun (h,k,l) [mm]\to[/mm] (0,0,0) geht, so geht insbesonder h
> [mm]\to[/mm] 0, also, wegen (*):
>
> [mm]\bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \to[/mm] 0 für (h,k,l) [mm]\to[/mm] (0,0,0)
>
>
> Reicht meine Erklärung für die 1. Koordinate ?
>
> FRED
>
Hallo Fred,
wenn ich dich richtig verstanden habe, dann muss ich "alle variablen aufeinmal" betrachten? Ich bin etwas verunsichert, weil ich mal ein Beispiel gesehen habe, in dem der Grenzwert nur existiert hat, wenn beide "Teilgrenzwerte" den selben Wert ergeben.
Also würde (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0) [mm] x^y [/mm] nicht existieren, da (x) [mm]\to[/mm] (0) [mm] x^c [/mm] = 0 aber (y) [mm]\to[/mm] (0) [mm] c^y [/mm] = 1 für eine Konstante c. Oder ist das ein ganz anderer Fall?
Das war der Grund warum ich bei der ersten Koordinate alle drei Grenzwerte (h,k,l -> 0) seperat prüfen und vergleichen wollte.. die aber dann für k und l in einer Konstanten |h_const| und nur für h selbst gegen 0 gehen würden und da |h_const| im allg. ungleich 0 dachte ich => Grentwert existiert nicht.. was aber nach deiner Erklärung jetzt natürlich nicht sein kann. Ich meine, für (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0) [mm] x^y [/mm] kann ich doch auch sagen, dass (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0) [mm] x^y [/mm] = 1 gelten muss, wenn x und y "gleich schnell" gegen 0 gehen, da (x) [mm]\to[/mm] (0) [mm] x^x [/mm] = 1, offensichtlich habe ich etwas grundlegendes nicht verstanden, bitte um Aufklärung :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hm .....
> >
> > Wir haben: (*) [mm]0 \le \bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \le |h|[/mm]
>
> >
> > Wenn nun (h,k,l) [mm]\to[/mm] (0,0,0) geht, so geht insbesonder h
> > [mm]\to[/mm] 0, also, wegen (*):
> >
> > [mm]\bruch{h^2}{||(h,k,l)^T||} \to[/mm] 0 für (h,k,l) [mm]\to[/mm] (0,0,0)
> >
> >
> > Reicht meine Erklärung für die 1. Koordinate ?
> >
> > FRED
> >
>
> Hallo Fred,
>
> wenn ich dich richtig verstanden habe, dann muss ich "alle
> variablen aufeinmal" betrachten?
Ja, wenn man zeigen will, dass der Grenzwert existiert.
> Ich bin etwas
> verunsichert, weil ich mal ein Beispiel gesehen habe, in
> dem der Grenzwert nur existiert hat, wenn beide
> "Teilgrenzwerte" den selben Wert ergeben.
>
> Also würde (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0) [mm]x^y[/mm] nicht existieren, da (x)
> [mm]\to[/mm] (0) [mm]x^c[/mm] = 0 aber (y) [mm]\to[/mm] (0) [mm]c^y[/mm] = 1 für eine
> Konstante c. Oder ist das ein ganz anderer Fall?
>
> Das war der Grund warum ich bei der ersten Koordinate alle
> drei Grenzwerte (h,k,l -> 0) seperat prüfen und
> vergleichen wollte.. die aber dann für k und l in einer
> Konstanten |h_const| und nur für h selbst gegen 0 gehen
> würden und da |h_const| im allg. ungleich 0 dachte ich =>
> Grentwert existiert nicht.. was aber nach deiner Erklärung
> jetzt natürlich nicht sein kann. Ich meine, für (x,y)
> [mm]\to[/mm] (0,0) [mm]x^y[/mm] kann ich doch auch sagen, dass (x,y) [mm]\to[/mm]
> (0,0) [mm]x^y[/mm] = 1 gelten muss, wenn x und y "gleich schnell"
> gegen 0 gehen, da (x) [mm]\to[/mm] (0) [mm]x^x[/mm] = 1, offensichtlich habe
> ich etwas grundlegendes nicht verstanden, bitte um
> Aufklärung :/
ist [mm] f(x,y)=x^y [/mm] (x>0), so existier der Grenzwert
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] nicht ! Denn:
[mm] f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty, [/mm]
aber
[mm] f(\bruch{1}{n^n}, \bruch{1}{n}) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty, [/mm]
FRED
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