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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integral
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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 So 14.09.2008
Autor: mikemodanoxxx

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Hallo,

habe die Aufgabe gerade gerechnet und bekomme 0 raus. Kann das sein??

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{r^{3}cos(\beta) d\r} d\alpha}d\beta} [/mm]

Der Integrand wird beim Transformieren in Kugelkoordinaten zu r. Die Funktionaldeterminante *r ergibt dann den obigen Integranden. Ich integriere zunächst nach r und bekomme:


[mm] \bruch{7}{32}\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{cos(\beta) d\r} d\alpha}d\beta} [/mm]

Jetzt integriere ich von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] über den Cosinus und das wird natürlich 0. Was habe ich falsch gemacht? Oder kommt da tatsächlich 0 heraus?

ciao, Simon.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 14.09.2008
Autor: MathePower

Hallo mikemodanoxxx,

> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Hallo,
>  
> habe die Aufgabe gerade gerechnet und bekomme 0 raus. Kann
> das sein??
>  
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{r^{3}cos(\beta) d\r} d\alpha}d\beta}[/mm]


Der Integrand stimmt, nur die Grenzen müssen anders gewählt werden,
da hier nur der erste Oktant betrachtet wird.


>  
> Der Integrand wird beim Transformieren in Kugelkoordinaten
> zu r. Die Funktionaldeterminante *r ergibt dann den obigen
> Integranden. Ich integriere zunächst nach r und bekomme:
>  
>
> [mm]\bruch{7}{32}\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{cos(\beta) d\r} d\alpha}d\beta}[/mm]
>  
> Jetzt integriere ich von 0 bis [mm]2\pi[/mm] über den Cosinus und
> das wird natürlich 0. Was habe ich falsch gemacht? Oder
> kommt da tatsächlich 0 heraus?


Siehe oben.


>  
> ciao, Simon.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 So 14.09.2008
Autor: mikemodanoxxx

Wie genau müssen die denn aussehen?

Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 So 14.09.2008
Autor: MathePower

Hallo mikemodanoxxx,

> Wie genau müssen die denn aussehen?

Die Grenzen für r hast Du ja schon bestimmt.

Die anderen Grenzen erhältst Du aus den Transformationsgleichungen:

[mm]x=r*\cos\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right)[/mm]

[mm]y=r*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right)[/mm]

[mm]z=r*\sin\left(\beta\right)[/mm]

Beachte hierbei, daß das auch eindeutig umkehrbar ist.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 So 14.09.2008
Autor: mikemodanoxxx

Irgendwie stehe ich grad auf dem Schlauch, ich verstehe gar nicht was ich da jetzt einsetzen muss.

Allerdings habe ich beim Winkel [mm] \beta [/mm] nen Fehler gefunden. Den hätte ich von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2 [/mm] integriert..

Wieso denn erster Oktant? Ich hätte gesagt, dass das eine Hohlkugel mit den Radien 1/2 und 1 ist?!

Bezug
                                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 So 14.09.2008
Autor: MathePower

Hallo mikemodanoxxx,

> Irgendwie stehe ich grad auf dem Schlauch, ich verstehe gar
> nicht was ich da jetzt einsetzen muss.
>  
> Allerdings habe ich beim Winkel [mm]\beta[/mm] nen Fehler gefunden.
> Den hätte ich von [mm]-\pi/2[/mm] bis [mm]+\pi/2[/mm] integriert..

Aus [mm]z=r*\sin\left(\beta\right) \ge 0[/mm] folgt

[mm]\beta \in \left[0,\pi\right][/mm]

Da der Sinus aber nur in [mm]\left[0, \bruch{\pi}{2}\right][/mm] eindeutig umkehrbar ist, folgt

[mm]\beta \in \left[0,\bruch{\pi}{2}\right][/mm]

Für den Winkel [mm]\alpha[/mm] gilt analoges.

Hier ist es aber eindeutiger.


>  
> Wieso denn erster Oktant? Ich hätte gesagt, dass das eine
> Hohlkugel mit den Radien 1/2 und 1 ist?!


Erster Oktant, weil [mm]x \ge 0, \ y \ge 0, \ z \ge 0[/mm].


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 So 14.09.2008
Autor: mikemodanoxxx

edit: erledigt
Bezug
                                                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 So 14.09.2008
Autor: mikemodanoxxx

ach mist ich hab die forderung übersehen. Danke -.-

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