www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Integralumformung
Integralumformung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integralumformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:02 Do 20.07.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Im Forster gibt es einen Beweis über die Binomische Reihe, bei welchem ich etwas nicht verstehe.

Sei [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = (n+1) [mm] \vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt} [/mm] für [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit [mm] \alpha \notin \IN [/mm] und x [mm] \not= [/mm] 0 die Integraldarstellung des Restgliedes.


1) Wieso gilt dann für -1 < x < 0:

[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] = (n+1) * [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right| [/mm] = [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n} \integral_{0}^{|x|}{(|x| - t|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right| [/mm] ?


2) Wieso gilt [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm]

[mm] \le [/mm] C [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] mit C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm] ?

Dies würde ja auf die Ungleichung [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] führen, welche aber keinen Sinn für mich ergibt.


Für eure Hilfe wäre ich dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



        
Bezug
Integralumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Do 20.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo zusammen!
>  
> Im Forster gibt es einen Beweis über die Binomische Reihe,
> bei welchem ich etwas nicht verstehe.
>  
> Sei [mm]R_{n+1}(x)[/mm] = (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt}[/mm]
> für [mm]\alpha \in \IR[/mm] mit [mm]\alpha \notin \IN[/mm] und x [mm]\not=[/mm] 0 die
> Integraldarstellung des Restgliedes.
>  
>
> 1) Wieso gilt dann für -1 < x < 0:
>  
> [mm]|R_{n+1}(x)|[/mm] = (n+1) * [mm]\left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right|[/mm]
> = [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n} \integral_{0}^{|x|}{(|x| - t|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right|[/mm]
> ?

Substituiere t=-u mit dt=-du.

(n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt}[/mm] = (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{-x}{(x+u)^{n}(1-u)^{\alpha - n - 1} (-du)}[/mm]=
- (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{-x}{(x+u)^{n}(1-u)^{\alpha - n - 1} du}[/mm]

(Ich bleibe jetzt beim Buchstaben u statt t.)

Da x negativ ist, ist -x = |x|. Außerdem spielt das Minuszeichen vor dem Integral bei der Betragsbetrachtung keine Rolle.

Es ist [mm] \vektor{\alpha\\n+1} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)...n+1 Faktoren}{1*2*3...*(n+1)}=\bruch{\alpha}{(n+1)}*\bruch{(\alpha-1)(\alpha-2)...n Faktoren}{1*2*3...*n}=\bruch{\alpha}{(n+1)}*\vektor{\alpha-1\\n}. [/mm]

(n+1) vor dem Integral kürzt sich dann noch weg.

Nun zur Klammer [mm] (x+u)^{n}. [/mm] Da x negativ ist, kann man dafür wieder -|x| schreiben und erhält [mm] (-|x|+u)^{n}. [/mm] Da wegen der  Betragsbetrachtung das Vorzeichen eines Faktors keine Rolle spielt, kann man die Klammer auch durch [mm] (|x|-u)^n [/mm] ersetzen. (unabhängig von n gerade oder ungerade)

Da u zwischen 0 und |x| liegt (s.Integrationsgrenzen) und positiv [mm] \le1 [/mm] ist, ist [mm] 1\ge|x|\ge|x|-u\ge0 [/mm] und damit betragsmäßig auch [mm] |x|^n\ge (|x|-u)^n. [/mm]

Das [mm] \le [/mm] -Zeichen zwischen den beiden fogenden Termen muss daher schon früher stehen, beide Terme sind gleich, wie du selber schon bemerkt hast.

>  
>
> 2) Wieso gilt [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}[/mm]
>  
> [mm]\le[/mm] C [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm] mit C:=
> [mm]|\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}[/mm] ?
>  
> Dies würde ja auf die Ungleichung
> [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm]
> führen, welche aber keinen Sinn für mich ergibt.
>  
>
> Für eure Hilfe wäre ich dankbar!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Integralumformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:08 Mo 24.07.2017
Autor: X3nion

Hallo und vielen Dank für die ausführliche Antwort, Punkt 1) ist mir nun völlig klar!

Zu Punkt 2) nochmals:

Im Forster steht die folgende Ungleichung:

[mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} \le [/mm] C [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] mit C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}? [/mm]

Dies ist ja genau dann der Fall, wenn $ [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] $ ist.


Könnt ihr mir das vielleicht noch erläutern?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Integralumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Mi 26.07.2017
Autor: fred97


> Hallo und vielen Dank für die ausführliche Antwort, Punkt
> 1) ist mir nun völlig klar!
>  
> Zu Punkt 2) nochmals:
>  
> Im Forster steht die folgende Ungleichung:
>
> [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} \le[/mm]
> C [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm] mit C:= [mm]|\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}?[/mm]
>  
> Dies ist ja genau dann der Fall, wenn
> [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm]
> ist.
>  
>
> Könnt ihr mir das vielleicht noch erläutern?

Für reelle Zahlen a und b gilt: $|ab|=|a||b|.$

>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Integralumformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Mi 26.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred,

> Für reelle Zahlen a und b gilt: [mm]|ab|=|a||b|.[/mm]

ja Danke, die Gleichheit ist mir bekannt.
Setze ich a = [mm] \vektor{\alpha-1\\n}, [/mm] b = [mm] x^{n} [/mm]
so ergibt sich mit  |ab| = |a||b| :

[mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] = [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x^{n}| [/mm] = [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} [/mm]

Aber wo soll hier die Ungleichung

[mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm]

entstehen? War das ein Tippfehler? Denn der Fall "<" tritt ja eigentlich nie ein.

Viele Grüße,
X3nion


Bezug
                                        
Bezug
Integralumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mi 26.07.2017
Autor: HJKweseleit

Hallo, X3nion,

ich hatte dir in meinem Beitrag schon mitgeteilt, dass du Recht hast: an der Stelle gilt die Gleichheit. Das [mm] \le [/mm] -Zeichen muss schon eine Umformung vorher kommen. Und zwar, weil

  [mm] (|x|-u)^n \le|x|^n [/mm]

ist.

Bezug
                                                
Bezug
Integralumformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 Mi 26.07.2017
Autor: X3nion


> Hallo, X3nion,
>  
> ich hatte dir in meinem Beitrag schon mitgeteilt, dass du
> Recht hast: an der Stelle gilt die Gleichheit. Das [mm]\le[/mm]
> -Zeichen muss schon eine Umformung vorher kommen. Und zwar,
> weil
>  
> [mm](|x|-u)^n \le|x|^n[/mm]
>  
> ist.  


Hallo und Danke für die Aufklärung!

Ja das war ein kleines Missverständnis von meiner Seite aus, ich habe das "Du hast Recht" auf meine Anmerkung im ersten Beitrag bezogen, dass die Ungleichung keinen Sinn ergibt, aber die Tatsache mit der Betragsgleichung |ab| = |a||b| ist mir erst jetzt klar geworden und somit, warum die Ungleichung nicht stimmen kann.


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 53m 7. HJKweseleit
SChem/DGL: Mischung im Behälter
Status vor 3h 10m 5. HJKweseleit
SStatHypo/einseitiger Hypothesentest
Status vor 3h 59m 3. Tabs2000
UAnaRn/Hilfe totales Differential
Status vor 8h 43m 10. leo_213
UAnaR1FolgReih/Grenzwert nte Wurzel
Status vor 19h 13m 1. VosMo
Sonstiges/Bitmustererkenung
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de