Inverse sa Operators ist sa < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei A ein stetiger selbstadjungierter Operator in einem Hilbertraum H und sei das Bild D von A dicht. Ist dann die Inverse [mm] $A^{-1}: [/mm] D [mm] \to [/mm] H$ selbstadjungiert? |
B ist dann injektiv, wegen $ker(B) [mm] \perp [/mm] ran(B)$ und da das Bild dicht ist, ist die Inverse dicht definiert. Die Symmetrie kann man einfach nachrechnen, aber hat jemand einen Tipp, wie ich noch zeigen kann, dass die Definitionsbereiche übereinstimmen?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Do 12.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei A ein stetiger selbstadjungierter Operator in einem
> Hilbertraum H und sei das Bild D von A dicht. Ist dann die
> Inverse [mm]A^{-1}: D \to H[/mm] selbstadjungiert?
>
> B ist dann injektiv, wegen [mm]ker(B) \perp ran(B)[/mm]
Bei Dir ist wohl B=A
> und da das
> Bild dicht ist, ist die Inverse dicht definiert. Die
> Symmetrie kann man einfach nachrechnen, aber hat jemand
> einen Tipp, wie ich noch zeigen kann, dass die
> Definitionsbereiche übereinstimmen?
Welche meinst Du denn ?? Ist D der Bildraum von A, so ist [mm] A^{-1} [/mm] auf D definiert !
FRED
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> Vielen Dank im Voraus!
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Genau, [mm] $A^{-1}$ [/mm] ist auf D definiert. Der Definitionsbereich des adjungierten Operators, also [mm] $D((A^{-1})^{\ast})$ [/mm] muss ja mit mit D übereinstimmen, damit [mm] $A^{-1} = (A^{-1})^{\ast}$. [/mm]
Ich habe bis jetzt:
[mm] $\langle (A^{-1})^{\ast}A^{\ast} [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle (A^{\ast} [/mm] x, [mm] A^{-1}y \rangle = \langle [/mm] x, [mm] AA^{-1} y \rangle$,
[/mm]
was für $x [mm] \in [/mm] H$ und $y [mm] \in [/mm] D$ gilt und zeigt, dass $D [mm] \subset D((A^{-1})^{\ast})$. [/mm]
Aber die andere Inklusion, bekomme ich gerade nicht hin! Oder habe ich oben schon einen Fehler gemacht/was übersehen?
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Ich habe das Problem gelöst. Danke an alle die darüber nachgedacht haben!
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