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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass G={z [mm] \in \IC [/mm] : [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] z^{n} [/mm] = 1} und [mm] \IQ [/mm] / [mm] \IZ [/mm] isomorph sind. |
Ich habe mir schon überlegt, dass ich einen Gruppenhomomorphismus von [mm] \IQ [/mm] nach G basteln sollte mit Kern [mm] \IZ. [/mm] Dann hätte ich nach dem Isomorphiesatz das gewünschte.
Nur ist mir nicht klar, wie der aussehen soll, was vermutlich daran liegt, dass ich mir unter G noch nicht so viel vorstellen kann...
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Zeigen Sie, dass G={z [mm]\in \IC[/mm] : [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]z^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = 1} und [mm]\IQ[/mm] / [mm]\IZ[/mm] isomorph sind.
> Ich habe mir schon überlegt, dass ich einen
> Gruppenhomomorphismus von [mm]\IQ[/mm] nach G basteln sollte mit
> Kern [mm]\IZ.[/mm] Dann hätte ich nach dem Isomorphiesatz das
> gewünschte.
> Nur ist mir nicht klar, wie der aussehen soll, was
> vermutlich daran liegt, dass ich mir unter G noch nicht so
> viel vorstellen kann...
>
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar
Für [mm]z\in G [/mm] schreibe zunächst [mm]z=e^{i\phi}[/mm]. Es existiert dann ein n mit [mm] n\phi=2\pi k[/mm] für ein [mm]k\in \IZ[/mm].
Kommst du jetzt auf einen geeigneten Homomorphismus?
Grüße,
Berieux
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Ich habe also G = [mm] \{e^{i 2 \pi \bruch{1}{z}} : z \in \IZ \}
[/mm]
Und dann bilde ich [mm] \bruch{a}{b} [/mm] (gekürzt) auf [mm] e^{i 2 \pi \bruch{1}{b}} [/mm] ab.
Da alle ganzen Zahlen Nenner 1 habe, ist [mm] \IZ [/mm] der Kern.
Stimmt das so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mi 14.09.2011 | | Autor: | hippias |
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
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> Ich habe also G = [mm]\{e^{i 2 \pi \bruch{1}{z}} : z \in \IZ \}[/mm]
>
Das stimmt nicht ganz: Esist z.B. auch [mm] $e^{i 2 \pi \bruch{2}{3}}\in [/mm] G$.
> Und dann bilde ich [mm]\bruch{a}{b}[/mm] (gekürzt) auf [mm]e^{i 2 \pi \bruch{1}{b}}[/mm]
> ab.
> Da alle ganzen Zahlen Nenner 1 habe, ist [mm]\IZ[/mm] der Kern.
>
> Stimmt das so?
Das wird so wohl etwas daneben gehen: Nach Berieux's Erlaeuterung sollte man wohl besser [mm] $\bruch{a}{b}\mapsto e^{i 2 \pi \bruch{a}{b}}$ [/mm] definieren -kuerzen ist hier irrelevant. Du zeigst dann: 1. die Abbildung ist ein Homomorphismus und 2. sie ist surjektiv und 3. ihr Kern ist [mm] $=\IZ$ [/mm] (in beliebiger Reihenfolge)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
>
> Ich habe also G = [mm]\{e^{i 2 \pi \bruch{1}{z}} : z \in \IZ \}[/mm]
>
Nein, es ist [mm]G = \{e^{i 2 \pi q} : q \in \IQ \}[/mm]
> Und dann bilde ich [mm]\bruch{a}{b}[/mm] (gekürzt) auf [mm]e^{i 2 \pi \bruch{1}{b}}[/mm]
> ab.
Das ist nichtmal ein Gruppenhomomorphismus. Die gesuchte Abbildung ist einfach [mm]q\mapsto exp(i2\pi q)[/mm].
> Da alle ganzen Zahlen Nenner 1 habe, ist [mm]\IZ[/mm] der Kern.
>
> Stimmt das so?
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Ok, vielen Dank. Da hab ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen...
Der Rest ist klar. Vielen Dank an euch beide!
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