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| Aufgabe | | Sei [mm] G \in \IR^n [/mm] ein beschränktes Gebiet, [mm] 1 \le p < \infty [/mm], [mm] u \in H^{1,p}(G) [/mm] und [mm] f \in C^1(\IR) [/mm] mit [mm] f' \in L^{\infty}(\IR) [/mm]. Dann ist [mm] f \circ u \in H^{1,p}(G) [/mm] und es gilt [mm] D(f \circ u)=f'(u)Du. [/mm] |
Hallo!
Ich bin total überfordert mit der Aufgabe, brauche also vermutlich mehr als einen kleinen Stoß in die richtige Richtung -.-
Für die erste Aussage dachte ich, dass man zeigen muss, dass [mm] u, grad(u) \in L^p(G) [/mm] (aus der Definition), aber ehrlich gesagt weiß ich nicht genau, wie ich zeigen soll, dass eine Funktion p-mal integrierbar ist!
Ich habe irgendwo gesehen, dass um zu zeigen, dass eine Funktion [mm] \in L^2(G) [/mm] ist, gezeigt wurde, dass die [mm] L^2(G)-Norm [/mm] der Funktion beschränkt war. Aber zum einen weiß ich nicht warum und zum anderen kann man ja mit einem Quadrat und einer gegebenen Funktion schön rumrechnen und umstellen und so, hier stelle ich mir das etwas schwieriger vor.
Für die zweite Aussage habe ich wie gesagt keine Ahnung.
Ist jemand so nett und hilft mir?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
zeige zunächst, dass die Verkettung in [mm] $L^p$ [/mm] liegt, beobachte dafür [mm] $|f(t)|\le |f(0)|+\|f'\|_\infty|t| \quad \forall [/mm] t$.
Damit ist auch klar, dass [mm] $(f'\circ [/mm] u) Du$ in [mm] $L^p$ [/mm] liegt. Zu zeigen ist die schwache Diffbarkeit von $f [mm] \circ [/mm] u$. Dafür zeigt man [mm] $\int_G [/mm] f'(u) Du [mm] \phi dx=-\int_G f(u)D\phi [/mm] dx$
Dann würde ich u durch eine Folge von glatten Funktionen approximieren (das geht nach Meyers-Serrin), für diese Funktionen ist die Kettenregel nämlich wohlbekannt. Die eigentliche Aufgabe ist dann die Aussage per Grenzübergang zu übertragen.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank für deine Hilfe! Das hat den Zusammenhang klarer gemacht! 
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