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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Do 16.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | Betrachte die Bahn eines Punktes, parametrisiert durch r(t) und [mm] \phi(t).
[/mm]
Geschwindigkeit und Beschleunigung dieses Punktes als Linearkombination von
[mm] \vec{e_r} [/mm] und [mm] \vec{e_{\phi}} [/mm] berechnen. |
Hallo zusammen,
in Aufgabenteil a habe ich 2 Polarkoordinaten bekommen [mm] x=p*cos\phi [/mm] und [mm] y=p*sin\phi. [/mm] Daraus sollte ich die beiden Einheitsvektoren [mm] \vec{e_r} [/mm] und
[mm] \vec{e_{\phi}} [/mm] bilden:
[mm] \vec{e_r}=\frac{\partial}{\partial r}\vektor{r*cos\phi \\ r*sin\phi}=\vektor{1*cos\phi \\ 1*sin\phi}=\vektor{cos\phi \\ sin\phi}
[/mm]
[mm] \vec{e_\phi}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\vektor{r*cos\phi \\ r*sin\phi}=\vektor{-sin\phi \\ cos\phi}
[/mm]
Falls ich bis hier schon Fehler gemacht habe bitte sagen aber nun komme ich zu meiner eigentlichen Frage:
Ich stehe jetzt vor der Aufgabe wie oben beschrieben:
Betrachte die Bahn eines Punktes, parametrisiert durch r(t) und [mm] \phi(t).
[/mm]
Geschwindigkeit und Beschleunigung dieses Punktes als Linearkombination von
[mm] \vec{e_r} [/mm] und [mm] \vec{e_{\phi}} [/mm] berechnen.
Wie gehe ich hier vor? Mich verwirrt die Parametrisierung durch die beiden Funktionen. Die Formel für die Linearkombination lautet:
[mm] \vec{v}=\lambda_1*\vec{e_r}+\lambda_2*\vec{e_{\phi}} [/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] beliebig gewählt werden kann. Also habe ich einfach mal eingesetzt:
[mm] \vec{v}=1*\vektor{cos\phi \\ sin\phi}+2*\vektor{-sin\phi \\ cos\phi}=\vektor{cos\phi-2sin\phi \\ sin\phi-cos\phi}
[/mm]
Hier stehe ich nun und weiß nicht wie es weiter gehen soll. Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.
Bis gleich (hoffentlich =D)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 16.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Hey, ich meinte [mm] x=pcos\phi [/mm] und [mm] y=psin\phi. [/mm] Dieso Info + die Info, dass die Bahn eines Punktes parametrisiert wird durch die Funktionen r(t) und [mm] \phi(t).
[/mm]
Meine Linearkombination hat auch wirklich nicht richtig ausgesehen :/
Wie gehe ich denn hier weiter?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Do 16.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Hey, ich meinte [mm]x=pcos\phi[/mm] und [mm]y=psin\phi.[/mm] Dieso Info + die
> Info, dass die Bahn eines Punktes parametrisiert wird durch
> die Funktionen r(t) und [mm]\phi(t).[/mm]
Wie schon geschrieben, die Bahn eines Punktes in der Ebene ist:
[mm] $\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}=r(t)\begin{pmatrix}\cos(\phi(t))\\\sin(\phi(t))\end{pmatrix}=r(t)\vec{e}_{r}$
[/mm]
mit $r(t)=p$ ist dann:
[mm] $\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}=p\begin{pmatrix}\cos(\phi(t))\\\sin(\phi(t))\end{pmatrix}=p\vec{e}_{r}$
[/mm]
>
> Meine Linearkombination hat auch wirklich nicht richtig
> ausgesehen :/
> Wie gehe ich denn hier weiter?
Berechne die Geschwindigkeit von [mm] $\vec{r}(t)$ [/mm] durch Zeitableitung. Beachte dabei, dass [mm] $\vec{e}_{r}$ [/mm] zeitabhängig ist.
>
> Danke für die Hilfe
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 17.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Ich verstehe leider nicht wie man auf diese Linearkombination kommt und ich habe auch leider kein Auge dafür wie ich das jetzt nach der Zeit ableiten kann.
Über weitere Hilfe bei dieser Aufgabe wäre ich sehr Dankbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 17.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Ich verstehe leider nicht wie man auf diese
> Linearkombination kommt und ich habe auch leider kein Auge
Die bekommst Du quasi automatisch als 'Abfallprodukt' wenn Du die Geschwindigkeit ausrechnest.
> dafür wie ich das jetzt nach der Zeit ableiten kann.
Wo genau liegt Dein Problem? Dass der Einheitsvektor zeitabhängig ist, sollte klar sein und die Geschwindigkeit aus dem Ort [mm] $\vec [/mm] r(t)$ bekommst Du durch eine komponentenweise Ableitung nach der Zeit:
$ [mm] \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}x(t)\\\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}y(t)\end{pmatrix}$
[/mm]
>
> Über weitere Hilfe bei dieser Aufgabe wäre ich sehr
> Dankbar
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 18.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | Betrachte die Bahn eines Punktes parametrisiert durch Funktionen r(t) und [mm] \phi(t). [/mm] Berechne Geschw. und Beschl. dieses Punktes als Linearkombination von [mm] \vec{e_r} [/mm] und [mm] \vec{e_{\phi}}. [/mm] |
[mm] \vec{e_r}=\vektor{cos\phi\\sin\phi}, \vec{e_{\phi}}=\vektor{-sin\phi\\cos\phi}
[/mm]
Also die Linearkombination lautet: $ [mm] \vec{r}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}=r(t)\begin{pmatrix}\cos(\phi(t))\\\sin(\phi(t))\end{pmatrix}=r(t)\vec{e}_{r} [/mm] $
Die Geschwindigkeit erhält man durch die erste Ableitung: $ [mm] \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}x(t)\\\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}y(t)\end{pmatrix} $=\vektor{\frac{d}{dt}cos(\phi (t)) \\ \frac{d}{dt}sin(\phi (t))}=\vektor{\phi '(t) (-sin(\phi(t))) \\ \phi '(t) (cos(\phi(t)))}
[/mm]
Da der Betrag eines Vektor seiner Geschwindigkeit entspricht folgt:
[mm] \vec{v}=\sqrt{(\phi '(t) (-sin(\phi(t))))^2+(\phi '(t) (cos(\phi(t))))^2}
[/mm]
Die Beschleunigung würde ich auf dem selben Wege über die zweite Ableitung machen.
Stimmt es bis zu diesem Punkt?
Danke für die tolle Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Sa 18.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Betrachte die Bahn eines Punktes parametrisiert durch
> Funktionen r(t) und [mm]\phi(t).[/mm] Berechne Geschw. und Beschl.
> dieses Punktes als Linearkombination von [mm]\vec{e_r}[/mm] und
> [mm]\vec{e_{\phi}}.[/mm]
> [mm]\vec{e_r}=\vektor{cos\phi\\sin\phi}, \vec{e_{\phi}}=\vektor{-sin\phi\\cos\phi}[/mm]
>
> Also die Linearkombination lautet:
> [mm]\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}=r(t)\begin{pmatrix}\cos(\phi(t))\\\sin(\phi(t))\end{pmatrix}=r(t)\vec{e}_{r}[/mm]
>
> Die Geschwindigkeit erhält man durch die erste Ableitung:
> [mm]\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}x(t)\\\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}y(t)\end{pmatrix}[/mm][mm] =\vektor{\frac{d}{dt}cos(\phi (t)) \\ \frac{d}{dt}sin(\phi (t))}=\vektor{\phi '(t) (-sin(\phi(t))) \\ \phi '(t) (cos(\phi(t)))}[/mm]
Wie kommst Du darauf? Laut Aufgabenstellung gilt [mm] $x=p\cos\phi$ [/mm] und nicht [mm] $x=\cos\phi$
[/mm]
>
> Da der Betrag eines Vektor seiner Geschwindigkeit
> entspricht folgt:
Das ist absolut falsch! Die Ableitung des Ortes nach der Zeit entspricht der Geschwindigkeit. So wie Du es oben berechnet hast - nur von der falschen Funktion.
>
> [mm]\vec{v}=\sqrt{(\phi '(t) (-sin(\phi(t))))^2+(\phi '(t) (cos(\phi(t))))^2}[/mm]
Du vergleichst hier einen Vektor mit einem Skalar, das macht keinen Sinn!
>
> Die Beschleunigung würde ich auf dem selben Wege über die
> zweite Ableitung machen.
>
> Stimmt es bis zu diesem Punkt?
>
> Danke für die tolle Hilfe!
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 So 19.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Wenn ich wüsste wie es richtig geht würde ich es machen und mir die peinlichkeit hier ersparen! Also falls mir jemand zeigen könnte wie die korrekte Ableitung aussieht wäre ich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 So 19.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Wenn ich wüsste wie es richtig geht würde ich es machen
> und mir die peinlichkeit hier ersparen! Also falls mir
> jemand zeigen könnte wie die korrekte Ableitung aussieht
> wäre ich sehr dankbar!
Wie gesagt, die Berechnung der Geschwindigkeit [mm] $\vec v=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\vec [/mm] r$ hast Du in Deinem Beitrag von 13:53 Uhr richtig gemacht - nur von der falschen Funktion. Setze für x und y die richtigen Funktionen ein (aus Deinem ersten Beitrag), dann klappt das auch.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 19.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Und weiter geht die Schmach:
[mm] \vec{r}(t)=\vektor{p*cos(\phi (t))\\ p*sin(\phi (t))}
[/mm]
[mm] \frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\phi*\vektor{-p*sin(\phi (t))\\ p*cos(\phi (t))}
[/mm]
Stimmt das so? Ich brauch mal ein paar Erfolgserlebnisse :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 19.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Und weiter geht die Schmach:
>
> [mm]\vec{r}(t)=\vektor{p*cos(\phi (t))\\ p*sin(\phi (t))}[/mm]
>
> [mm]\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\phi*\vektor{-p*sin(\phi (t))\\ p*cos(\phi (t))}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mir ist schleierhaft, wieso Du die Kettenregel gestern um 13:53 Uhr richtig anwenden konntest und jetzt nicht mehr...
Die erste Zeitableitung (=Geschwindigkeit) sieht so aus:
[mm]\vec v(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\dot{\phi}(t)*\vektor{-p*\sin(\phi (t))\\ p*\cos(\phi (t))}[/mm]
Wenn Du jetzt noch p aus dem Vektor ausklammerst, kannst Du das Ergebnis ja mal mit den zuvor berechneten Einheitsvektoren vergleichen und schaun, ob Dir da was auffällt.
>
> Stimmt das so? Ich brauch mal ein paar Erfolgserlebnisse :D
Was Du brauchst ist ein wenig Konzentration beim Lösen der Aufgaben.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 19.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Ich muss sowas immer erst einmal anhand einer Beispielaufgabe gelöst sehen, bevor ich die Definition richtig verstehen kann. Ich hoffe das ändert sich mit der Erfahrung, da ich noch ziemlich unsicher bin.
Das das jetzt das Endergebnis der Geschwindigkeit in dieser Aufgabe sein soll, muss man ja auch erst mal wirklich verstehen!
Die Ähnlichkeit zu [mm] \vec{e_\phi} [/mm] ist mir aufgefallen, kann dies jedoch nicht wirklich interpretieren.
Um die Beschleunigung zu berechnen, muss ich jedenfalls die Funktion der Geschwindigkeit erneut ableiten oder?
Vielen Dank für deine ganze Hilfe, ich weiß wie lächerlich einem sowas vorkommen muss wenn man das Thema wirklich beherrscht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 19.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Ich muss sowas immer erst einmal anhand einer
> Beispielaufgabe gelöst sehen, bevor ich die Definition
> richtig verstehen kann. Ich hoffe das ändert sich mit der
> Erfahrung, da ich noch ziemlich unsicher bin.
>
> Das das jetzt das Endergebnis der Geschwindigkeit in dieser
> Aufgabe sein soll, muss man ja auch erst mal wirklich
> verstehen!
>
> Die Ähnlichkeit zu [mm]\vec{e_\phi}[/mm] ist mir aufgefallen, kann
> dies jedoch nicht wirklich interpretieren.
Richtig. Laut Aufgabenstellung solltest Du die Geschwindigkeit als Linearkombination der Einheitsvektoren darstellen. Das kannst Du jetzt tun:
[mm] $\vec v(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=p\dot{\phi}(t)\vec{e}_\phi$
[/mm]
Bei [mm] $\vec [/mm] r(t)$ handelt es sich um eine Kreisbewegung - ist Dir das klar? [mm] $\vec [/mm] v(t)$ zeigt also immer in tantentiale Richtung und ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit [mm] $\dot\phi(t)$. [/mm] Viel mehr gibt es da nicht zu interpretieren.
>
> Um die Beschleunigung zu berechnen, muss ich jedenfalls die
> Funktion der Geschwindigkeit erneut ableiten oder?
Genau, denn die Beschleunigung ist als die zweite Zeitableitung des Ortes bzw. als erste Ableitung der Geschwindigkeit definiert.
>
> Vielen Dank für deine ganze Hilfe, ich weiß wie
> lächerlich einem sowas vorkommen muss wenn man das Thema
> wirklich beherrscht.
Nein, tut es nicht. Mir wurde das Wissen nicht in die Wiege gelegt, ich habe das auch mal irgendwann gelernt und ähnliche Fragen wie Du gestellt. Also keine Sorge, ist alles im grünen Bereich 
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 19.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Da bin ich ja einigermaßen beruhigt. =)
Jetzt stellt sich mir aber direkt die nächste Frage:
Wie leite ich das nach t ab? Ich weiß nicht wo ich welche Ableitungsregel anwenden soll.
Das ist eine verkettete Funktion wo ich mit der Produktregel und der Kettenregel arbeiten muss, also das denke ich zu mindest. Aber wie ziehe ich das auseinander?
$ [mm] \vec v(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=p\dot{\phi}(t)\vec{e}_\phi [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 So 19.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Da bin ich ja einigermaßen beruhigt. =)
>
> Jetzt stellt sich mir aber direkt die nächste Frage:
> Wie leite ich das nach t ab? Ich weiß nicht wo ich welche
> Ableitungsregel anwenden soll.
> Das ist eine verkettete Funktion wo ich mit der
> Produktregel und der Kettenregel arbeiten muss, also das
> denke ich zu mindest. Aber wie ziehe ich das auseinander?
Ja, das stimmt.
>
> [mm]\vec v(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=p\dot{\phi}(t)\vec{e}_\phi[/mm]
>
>
Es handelt sich um ein Produkt von [mm] $\dot\phi(t)$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_\phi(t)$, [/mm] da ist also die Produktregel gefragt. Der Faktor p ist konstant und bleibt bei der Ableitung erhalten. Beachte, dass es sich bei [mm] $\vec{e}_\phi(t)$ [/mm] um eine Verkettung von Funktionen handelt, dabei ist also zusätzlich die Kettenregel anzuwenden.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 19.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Hoffe das es stimmt:
[mm] \vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}(t)=\phi''(t)*p\vektor{-sin(\phi(t))\\cos(\phi(t))}+\phi'(t)*p\vektor{-cos(\phi(t))\\-sin(\phi(t))}
[/mm]
Das ist mein Endergebnis für die Beschleunigung. Ist es korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 19.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Hoffe das es stimmt:
>
> [mm]\vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}(t)=\phi''(t)*p\vektor{-sin(\phi(t))\\cos(\phi(t))}+\phi'(t)*p\vektor{-cos(\phi(t))\\-sin(\phi(t))}[/mm]
>
> Das ist mein Endergebnis für die Beschleunigung. Ist es
> korrekt?
Nein, Du hast beim zweiten Summand die Kettenregel vergessen.
>
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>
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 19.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
$ [mm] \vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}(t)=\phi''(t)\cdot{}p\vektor{-sin(\phi(t))\\cos(\phi(t))}+\phi'^2(t)\cdot{}p\vektor{-cos(\phi(t))\\-sin(\phi(t))} [/mm] $
ich hoffe jetzt passt es.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 19.04.2015 | | Autor: | notinX |
>
> [mm]\vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}(t)=\phi''(t)\cdot{}p\vektor{-sin(\phi(t))\\cos(\phi(t))}+\phi'^2(t)\cdot{}p\vektor{-cos(\phi(t))\\-sin(\phi(t))}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ich hoffe jetzt passt es.
>
Ja, tut es.
Gruß,
notinX
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