Lagrangefunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Maximieren Sie [mm] f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}*lnx_{i} [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i}^2=c.
[/mm]
Stellen Sie die Lagrangefunktion auf und berechnen Sie die Bedingung erster Ordnung für die Lösung des Optimierungsproblems! |
Hallo zusammen,
Ich habe bis jetzt mal folgende Lagrangefunktion aufgestellt:
[mm] L(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}*lnx_{i}-\Lambda*(\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2)-c)
[/mm]
Nun muss ich Die Lagrangefunktion L nach [mm] x_{1},x_{2},...,x_{n} [/mm] ableiten, stimmt das?
Wenn ja, wie stelle ich das an? Und wie kann man eine Summe ableiten, da stoße ich leider an meine Grenzen!
Vielen Dank euch!
|
|
| |
|
Hi,
> Maximieren Sie
> [mm]f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}*lnx_{i}[/mm]
> unter der Nebenbedingung [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2=c.[/mm]
>
> Stellen Sie die Lagrangefunktion auf und berechnen Sie die
> Bedingung erster Ordnung für die Lösung des
> Optimierungsproblems!
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe bis jetzt mal folgende Lagrangefunktion
> aufgestellt:
>
> [mm]L(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}*lnx_{i}-\Lambda*(\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2)-c)[/mm]
>
> Nun muss ich Die Lagrangefunktion L nach
> [mm]x_{1},x_{2},...,x_{n}[/mm] ableiten, stimmt das?
> Wenn ja, wie stelle ich das an?
Stell dir mal vor es ist n=3. Dann hättest du doch sowas wie:
[mm] L(x_1,x_2,x_3)=\alpha_1\ln(x_1)+\alpha_2\ln(x_2)+\alpha_3\ln(x_3)-\Lambda*(x_1^2+x_2^2+x_3^2-c)
[/mm]
Wie wäre da also die Ableitung? Das bekommst du sicherlich hin (die meisten Summanden hängen ja nicht einmal von anderen Variablen ab).
Nun weißt du nicht exakt dein n. Also mache es allgemein. Aber die Struktur ist recht einfacher Natur.
> Und wie kann man eine
> Summe ableiten, da stoße ich leider an meine Grenzen!
>
> Vielen Dank euch!
|
|
|
| |
|
Hallo! Vielen Dank!
also wenn ich nach [mm] x_{1} [/mm] ableite, erhalte ich:
[mm] L(x_{1})=\bruch{\alpha_{1}}{x_{1}}-2*\Lambda*x_{1}
[/mm]
Dementsprechend nach [mm] x_{2}:
[/mm]
[mm] L(x_{2})=\bruch{\alpha_{2}}{x_{2}}-2*\Lambda*x_{2}
[/mm]
und nach [mm] x_{3}:
[/mm]
[mm] L(x_{3})=\bruch{\alpha_{3}}{x_{3}}-2*\Lambda*x_{3}
[/mm]
Also kann ich daraus schließen, dass nach [mm] x_{n} [/mm] folgendes rauskommt:
[mm] L(x_{n})=\bruch{\alpha_{n}}{x_{n}}-2*\Lambda*x_{n} [/mm] , stimmt das?
Aber wie gehe ich nun weiter vor? Setze ich [mm] L'(x_{1})=0 [/mm] und [mm] L'(x_{2})=0 [/mm] bis [mm] L'(x_{n})=0 [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i}^2-c=0?
[/mm]
Und wie würde ich die Nebenbedingung mit n lösen?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 Fr 10.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo! Vielen Dank!
>
> also wenn ich nach [mm]x_{1}[/mm] ableite, erhalte ich:
>
> [mm]L(x_{1})=\bruch{\alpha_{1}}{x_{1}}-2*\Lambda*x_{1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dementsprechend nach [mm]x_{2}:[/mm]
>
> [mm]L(x_{2})=\bruch{\alpha_{2}}{x_{2}}-2*\Lambda*x_{2}[/mm]
> und nach [mm]x_{3}:[/mm]
> [mm]L(x_{3})=\bruch{\alpha_{3}}{x_{3}}-2*\Lambda*x_{3}[/mm]
>
> Also kann ich daraus schließen, dass nach [mm]x_{n}[/mm] folgendes
> rauskommt:
>
> [mm]L(x_{n})=\bruch{\alpha_{n}}{x_{n}}-2*\Lambda*x_{n}[/mm] , stimmt
> das?
>
> Aber wie gehe ich nun weiter vor? Setze ich [mm]L'(x_{1})=0[/mm] und
> [mm]L'(x_{2})=0[/mm] bis [mm]L'(x_{n})=0[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2-c=0?[/mm]
> Und wie würde ich die Nebenbedingung mit n lösen?
Die [mm] $L'(x_1) [/mm] = 0$ bis [mm] $L'(x_n) [/mm] = 0$ lassen sich jeweils nach [mm] $x_1^2, \ldots, x_k^2, \dots, x_n^2$ [/mm] auflösen.
Danach in der Nebenbedingung [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2-c=0[/mm] einsetzen, und diese dann nach [mm] $\Lambda$ [/mm] auflösen.
Das Ergebnis für [mm] $\Lambda$ [/mm] wieder jeweils in die [mm] $x_k^2 [/mm] = [mm] \dots$ [/mm] einsetzen.
So bekommst du [mm] $x_1, \ldots, x_k, \ldots, x_n$, [/mm] natürlich in Abhängigkeit von [mm] $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ [/mm] und c.
>
> Vielen Dank!
>
>
>
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
Also vielen Dank für die Antworten!
Ich hab [mm] L'(x_{1})=0 [/mm] gesetzt und für [mm] x_{1}^2=\bruch{\alpha_{1}}{2*\lambda} [/mm] erhalten.
So auch für [mm] x_{2}^2, x_{3}^2 [/mm] und für [mm] x_{n}^2=\bruch{\alpha_{n}}{2*\lambda}
[/mm]
Kann mir nun jemand erklären, wie ich die [mm] x_{1}^2, x_{2}^2,..., x_{n}^2 [/mm] in die Nebenbedingung einsetze und das löse?
Setze ich dann [mm] x_{n}^2 [/mm] ein? Habe ich dann [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{\alpha_{n}}{2*\lambda}_{i})-c=0? [/mm] Und wie löse ich sowas auf?
Vielen Lieben Dank!
|
|
|
| |
|
> Also vielen Dank für die Antworten!
>
> Ich hab [mm]L'(x_{1})=0[/mm] gesetzt und für
> [mm]x_{1}^2=\bruch{\alpha_{1}}{2*\lambda}[/mm] erhalten.
>
> So auch für [mm]x_{2}^2, x_{3}^2[/mm] und für
> [mm]x_{n}^2=\bruch{\alpha_{n}}{2*\lambda}[/mm]
>
> Kann mir nun jemand erklären, wie ich die [mm]x_{1}^2, x_{2}^2,..., x_{n}^2[/mm]
> in die Nebenbedingung einsetze und das löse?
>
> Setze ich dann [mm]x_{n}^2[/mm] ein? Habe ich dann
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{\alpha_{n}}{2*\lambda}_{i})-c=0?[/mm]
> Und wie löse ich sowas auf?
Hallo,
es heißt wohl eher [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{\alpha_{n}}{2*\lambda})-c=0?[/mm] [/mm] .
Multipliziere mit [mm] 2*\lambda, [/mm] so kannst Du nach [mm] \lambda [/mm] auflösen.
Mit dem gehst Du dann in die [mm] x_i.
[/mm]
LG Angela
>
> Vielen Lieben Dank!
|
|
|
| |
|
Okay, vielen Dank!
Wenn ich nach [mm] \Lambda [/mm] aufgelöst habe, habe ich [mm] \Lambda=\bruch{\alpha_{n}*(\alpha_{n}+1)}{4*c}, [/mm] ist das richtig?
Und [mm] x_{i}^2=\bruch{2*c}{\alpha_{i}+1} [/mm] und somit dann [mm] x_{1}=\wurzel{\bruch{2*c}{\alpha_{1}+1}}, [/mm] ..., [mm] x_{n}=\wurzel{\bruch{2*c}{\alpha_{n}+1}}.
[/mm]
Habe ich das richtig gemacht?
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
Hallo Idefix_2013,
> Okay, vielen Dank!
>
> Wenn ich nach [mm]\Lambda[/mm] aufgelöst habe, habe ich
> [mm]\Lambda=\bruch{\alpha_{n}*(\alpha_{n}+1)}{4*c},[/mm] ist das
> richtig?
>
Nein, das ist nicht richtig.
> Und [mm]x_{i}^2=\bruch{2*c}{\alpha_{i}+1}[/mm] und somit dann
> [mm]x_{1}=\wurzel{\bruch{2*c}{\alpha_{1}+1}},[/mm] ...,
> [mm]x_{n}=\wurzel{\bruch{2*c}{\alpha_{n}+1}}.[/mm]
>
> Habe ich das richtig gemacht?
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
> Liebe Grüße!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Okay, das tut mir Leid, mit Summen bin ich mir nicht so sicher, was das Rechnen angeht.
[mm] \Lambda=\summe_{i=1}^{n}(\bruch{\alpha_{n}}{2*c})
[/mm]
Sieht das besser aus?
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
Hallo Idefix_2013,
> Okay, das tut mir Leid, mit Summen bin ich mir nicht so
> sicher, was das Rechnen angeht.
>
> [mm]\Lambda=\summe_{i=1}^{n}(\bruch{\alpha_{n}}{2*c})[/mm]
>
> Sieht das besser aus?
>
Ja.
> Liebe Grüße!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Sa 11.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Okay, das tut mir Leid, mit Summen bin ich mir nicht so
> sicher, was das Rechnen angeht.
>
> [mm]\Lambda=\summe_{i=1}^{n}(\bruch{\alpha_{n}}{2*c})[/mm]
Was noch nicht stimmt, ist der Index von [mm] $\alpha$.
[/mm]
Es muss heißen:
[mm]\Lambda=\summe_{i=1}^{n}(\bruch{\alpha_{i}}{2*c})[/mm]
Das kommt von [mm] $x_i^2 [/mm] = [mm] \bruch{\alpha_i}{2\Lambda}$.
[/mm]
Dann eingesetzt:
[mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{\alpha_{i}}{2*\Lambda}) - c = 0[/mm]
>
>
>
> Sieht das besser aus?
>
> Liebe Grüße!
Gruß
meili
|
|
|
|
