Lineare Unabhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 1:
"Zeigen Sie, dass je drei der vier Vektoren a,b,c,d linear unabhängig sind. Stellen Sie jeden Vektor als Linearkombination der anderen drei Vektoren dar."
Was mir klar ist:
Ich weiss wie ich Vektoren auf lineare Unabhängigkeit testen kann und weiss auch wie ich eine Linearkombination erstelle.
Was mir unklar ist:
Die Aufgabenstellung verstehe ich nicht ganz. Mir ist nicht klar, ob ich zuerst alle Vektoren auf lineare Abhängigkeit testen soll und DANN erst die Linearkombination erstellen soll, oder ob ich das in einem Schritt erledigen kann.
Meine Überlegung:
- Zuerst testen ob je drei der vier Vektoren linear unabhängig sind:
1. r* a + s* b + t* c = 0 (anschließend Gauß-Verfahren)
2. r* a + t* c + k* d = 0 (anschließend Gauß-Verfahren)
3. r* a + s* b + k* d = 0 (anschließend Gauß-Verfahren)
mittels dieser 3 Gleichungen müsste ich doch nun testen können ob je drei der vier Vektoren linear unabhängig sind.
oder?
- Nun würde ich noch jeden Vektor als Linearkombination der Drei anderen Vektoren darstellen:
1. s*b + t*c + k*d = a
2. r*a + t*c + k*d = b
3. r*a + s*b + k*d = c
4. r*a + s*b + t*c = d
Sind meine Überlegungen richtig? Oder gibt es eine Möglichkeit das Testen von je drei der vier Vektoren auf lineare Abhängigkeit und die Darstellung von jedem der vier Vektoren als Linearkombination in einem Schritt zu bewältigen?
Würde mich sehr über eine Antwort freuen.
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Aufgabe 2:
"Für Welche Werte von a sind die Vektoren linear Abhängig?"
Vektor a= 2 Vektor b= -1 Vektor c= a
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Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Überlegung bisher war:
Ich setzte der Reihe nach alle Zahlen von 0-9 ein
und teste dann der Reihe nach die drei Vektoren auf
lineare Abhängigkeit.
Allerdings erscheint mir das irgendwie "plump" und daher wollte ich wissen ob es eine schnellere und effizientere Möglichkeit gibt oder liege ich richtig?
Ich bitte Sie, sich mit diesen Fragen auseinanderzusetzen
und würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Gruß Alexander
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> Aufgabe 1:
> "Zeigen Sie, dass je drei der vier Vektoren a,b,c,d linear
> unabhängig sind. Stellen Sie jeden Vektor als
> Linearkombination der anderen drei Vektoren dar."
Hallo,
könnte es sein, daß Du Informationen unterschlägst?
Irgendetwas müßte doch über a,b,c,d noch mitgeteilt werden. Wo finde ich a,b,c,d ???
Auch Aufgabe 2 kann ich SO nicht verstehen.
Mit etwas Fantasie sehe ich dort drei Vektoren des [mm] \IR^3, [/mm] welche [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] heißen.
Aber unter
> "Für Welche Werte von a sind die Vektoren linear
> Abhängig?"
kann ich mir nichts vorstellen.
Wie heißt die Aufgabe genau???
Gruß v. Angela
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Hi, skybreather,
> Aufgabe 1:
> "Zeigen Sie, dass je drei der vier Vektoren a,b,c,d linear
> unabhängig sind. Stellen Sie jeden Vektor als
> Linearkombination der anderen drei Vektoren dar."
> - Nun würde ich noch jeden Vektor als Linearkombination der
> Drei anderen Vektoren darstellen:
>
> 1. s*b + t*c + k*d = a
> 2. r*a + t*c + k*d = b
> 3. r*a + s*b + k*d = c
> 4. r*a + s*b + t*c = d
>
> Sind meine Überlegungen richtig? Oder gibt es eine
> Möglichkeit das Testen von je drei der vier Vektoren auf
> lineare Abhängigkeit und die Darstellung von jedem der vier
> Vektoren als Linearkombination in einem Schritt zu
> bewältigen?
Richtig!
Wenn Du bewiesen hast, dass der jeweilige Vektor EINDEUTIG (!) durch die 3 anderen dargestellt werden kann, dann sind die drei automatisch linear unabhängig!
>
> Aufgabe 2:
>
> "Für Welche Werte von a sind die Vektoren linear
> Abhängig?"
>
> Vektor a= 2 Vektor b= -1 Vektor c= a
> 3 3 3
> 1 6 2
>
>
> Meine Überlegung bisher war:
> Ich setzte der Reihe nach alle Zahlen von 0-9 ein
> und teste dann der Reihe nach die drei Vektoren auf
> lineare Abhängigkeit.
Na hör' mal! Es könnte für a auch was ganz anderes rauskommen als eine ganze Zahl zwischen 0 und 9, z.B. -3 oder auch 4,5, etc.
Wie willst Du das alles durchtesten?!
Du machst mit den Vektoren - so wie sie sind - das Gauß-Verfahren.
Und in der resultierenden Dreiecksmatrix wird unten rechts das a in einem Term auftauchen, z.B. 5a - 7.
Wenn nun die letzte Zeile der Gauß-Matrix eine Nullzeile ist, dann sind die Vektoren linear abhängig, also genau dann, wenn in meinem Beispiel 5a - 7 = 0 ist, also für a=1,4.
In allen anderen Fällen, also für a [mm] \not= [/mm] 1,4, wären die Vektoren linear UNabhängig.
mfG!
Zwerglein
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Danke Zwerglein...das war echt mal ein Denkfehler von mir  .
Noch ne Frage wegen dem Gauß Schema.
Muss ich die Vektoren so anordnen:
r*a + s* b = t*c
und dann auch so ins Gauß-Schema schreiben
oder folgendermaßen:
r*a + s*b + t*c = 0
?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Do 02.11.2006 | | Autor: | Petite |
Du kannst beide Methoden verwenden um die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit zu beweisen.
Nimmst du:
r*a+s*b=t*c
bekommst du falls die Vektoren voneinander linear abhängig eindeutige Werte für r,s und t heraus,
wenn die Vektoren unabhängig sind, dann sind r,s und t nicht eindeutig.
Nimmst du:
r*a+s*b+t*c=0
erkennst du, dass die Vektoren linear unabhängig sind, wenn nur 0 für r,s,t in Frage kommen. Hast du zwei Lösungen, so ist das die 0-Lösung und eine weitere und die Vektoren sind linear abhängig.
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Hi Leute,
die Aufgabe mit dem "a" verstehe ich immer noch nicht.
nochmal kurz die Aufgabenstellung:
"Für Welche Werte von a sind die Vektoren linear
Abhängig?"
Vektor a= 2 Vektor b= -1 Vektor c= a
3 3 3
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Zwerglein hat mir ja schon erklärt, dass ich die Vektoren
in eine Gauß-Matrix bringen soll...aber ich bekomms irgendwie nicht hin. Wie die Funktionsgleichung denn aussehn bevor ich sie ins Gauß-Schema übertrage?
so hab ich es versucht:
r * vektor a + s* vektor b = vektor c (der mit dem a)
Wenn ich so verfahre würde meine Gauß-Tabelle folgendermaßen aussehn:
r s
2 -1 a
3 3 3
5 6 2
2 -1 a
0 -9 (3a-6)
5 6 2
2 -1 a
0 -9 (3a-6)
0 -17 (5a-4)
2 -1 a
0 -9 (3a-6)
0 0 (6a-66)
Berechnung von a:
6a - 66 = 0
a = 11
Koeffizienten Berechnen:
r= 4
s= -3
Stimmen meine Berechnungen oder liege ich total falsch?
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> "Für Welche Werte von a sind die Vektoren linear
> Abhängig?"
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> Vektor a= 2 Vektor b= -1 Vektor c= a
> 3 3 3
> 1 6 2
>
>
> Zwerglein hat mir ja schon erklärt, dass ich die Vektoren
> in eine Gauß-Matrix bringen soll...aber ich bekomms
> irgendwie nicht hin. Wie die Funktionsgleichung denn
> aussehn bevor ich sie ins Gauß-Schema übertrage?
>
> so hab ich es versucht:
>
> r * vektor a + s* vektor b = vektor c (der mit dem a)
>
> Wenn ich so verfahre würde meine Gauß-Tabelle
> folgendermaßen aussehn:
>
>
> r s
>
> 2 -1 a
> 3 3 3
> 5 6 2
>
> 2 -1 a
> 0 -9 (3a-6)
> 5 6 2
>
> 2 -1 a
> 0 -9 (3a-6)
> 0 -17 (5a-4)
>
> 2 -1 a
> 0 -9 (3a-6)
> 0 0 (6a-66)
>
>
> Berechnung von a:
>
> 6a - 66 = 0
> a = 11
>
> Koeffizienten Berechnen:
>
> r= 4
> s= -3
>
>
> Stimmen meine Berechnungen oder liege ich total falsch?
Hallo,
Du hast es richtig gemacht.
> 0 0 (6a-66)
Aus dieser Zeile hast du a berechnet, indem Du gesagt hast, daß 6a-66 = 0 sein muß. Warum? Weil die Zeile Dir sagt: 0r+0s=6a-66. Wäre 6a-66 ungleich 0, hätte das GS ja gar keine Lösung, d.h. es gäbe keine r,s mit
> r * vektor a + s* vektor b = vektor c (der mit dem a)
Aus den oberen Zeilen hast Du anschließend r und s berechnet,
ob die Lösung stimmt, erfährst Du durch Einsetzen.
Gruß v. Angela
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@Angela
Ich verstehe nicht ganz was du mir jetzt damit sagen wolltest...Ist mein Vorgehen jetzt richtig oder falsch?
Also für a habe ich den wert 11 herausbekommen und wenn ich
in dei Gleichung die errechneten Werte für r, s und a einsetze geht die Gleichung auch auf. Heisst das nun, dass ich es richtig gemacht habe?
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> @Angela
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> Ich verstehe nicht ganz was du mir jetzt damit sagen
> wolltest...Ist mein Vorgehen jetzt richtig oder falsch?
> Also für a habe ich den wert 11 herausbekommen und wenn
> ich
> in dei Gleichung die errechneten Werte für r, s und a
> einsetze geht die Gleichung auch auf. Heisst das nun, dass
> ich es richtig gemacht habe?
Es ist wie ich bereits schrieb: Du hast es richtig gemacht!
Ich habe lediglich Rückschau gehalten über dein Tun und darüber, warum es sinnvoll war, gipfelnd mit einem Tip, wie du Dich selbst kontrollieren kannst.
Gruß v. Angela
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