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Forum "Differentialgleichungen" - Minimierungsproblem
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Minimierungsproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Di 07.11.2017
Autor: sanadros

Aufgabe
Sei A \in \IR^{n \times n} symmetrisch und positiv definit und b \in \IR^{n}.
(a) Leiten Sie die Optimalitätsbedingungen für das Minimierungsproblem her:

J(u) = \frac{1}{2}u^{T}Au - u^{T}b \to min_{u \in \IR^{n}}

(b) Zeigen Sie, dass das Minimierungsproblem eine eindeutige Lösung besitzt.
Frage: Wie sieht das Optimalitätssystem aus, wenn A nicht symmetrisch ist?

Ich hoffe das ich hier richtig bin denn die Veranstaltung heisst Numerik PDGLN aber eigentlich ist das ja ein Optimierungsproblem

Zur Frage: Ich habe keine Ahnung wie man da vorgeht. Ich habe in der Mitschrift geschaut ob da irgend wo ein Ansatzt wäre den ich verwenden könnte. Auch habe ich versucht die Stichworte zu googlen aber auf beiden Wegen habe ich nichts verwertbares herrausgefunden. Daher hoffe ich, dass ihr mir helfen könntet.

        
Bezug
Minimierungsproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Di 07.11.2017
Autor: leduart

Hallo
ich mach sowas immer erst mal für [mm] \IR^2 [/mm]
dann sieht man wie es läuft. man hat quadratische Funktionen in  in den Variablen, wenn man die partiellen Ableitungen bildet ein einfaches GS wieder mit sym. Matrix, das eine eindeutige Lösung hat.
also einfach die Gleichungen als summen hinschreiben und die partiellen Ableitungen, nach den [mm] u_i= [/mm] setzen.
Gruß ledum


Bezug
        
Bezug
Minimierungsproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Di 07.11.2017
Autor: sanadros

OK ich sehe trotzdem nicht wie ich auf eine Lösung kommen sollte. Denn in meinenen Ingneursskripts aus vergagenen Matheveranstalungen gibt es leider keine Optimalitätsbedingung und dann habe ich halt mal gegoogelt und kam auf eine Definiton von der Uni Göttingen (https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2142). Aber irgend wie sieht dass Göttinger Ding für mich anders aus als das was ich habe.

Bezug
                
Bezug
Minimierungsproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Fr 10.11.2017
Autor: meili

Hallo sanadros,

mit Satz 13.2 und 13.3 aus dem von dir zitierten Göttinger Skript funktioniert es.
Diese Sätze sind nichts anderes als Bedingungen für ein lokales Minimum
bei einer mehrfach differenzierbaren Funktion von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] was
die angegebene Funktion J(u) ja ist.
Vergl. []Extremwert mehrdimensionaler Fall

Also J(u) 2-mal partiell differenzieren und Hessematrix bilden.
Die Hessematrix, die man so erhält, ist wieder A.
A ist nach Definition, symetrisch und positiv definit.

Das Minimum hängt, natürlich von den Werten von A und b ab.
Aber man erhält eindeutig einen Punkt, und der ist die Stelle, an der sich das Minimum befindet.

Gruß
meili

Bezug
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