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| Aufgabe | Seien [mm] f:]a,b[\times ]c,d[\rightarrow \mathbb{R}
[/mm]
[mm] \alpha ,\beta [/mm] :]a,b[ [mm] \rightarrow [/mm] ]c,d[ drei [mm] C^1 [/mm] Funktionen. Beweisen Sie, dass die Funktion
[mm] ]a,b[ \ni x \mapsto F(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,t) dt [/mm]
[mm] C^1 [/mm] ist und berechnen Sie ihre Ableitung F'. |
Ich braeuchte jemanden der Lust hat mit mir diese Aufgabe zu loesen. Keine Ahnung wo ich ueberhaupt ansetzen soll. Folgendes hab ich mir dazu ueberlegt.
- Eine Funktion ist [mm] C^1 [/mm] wenn alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind.
- Die Ableitung muesste so aussehen:
[mm] F'(x) = \beta'(x)f(x,\beta(x))-\alpha'(x)f(x,\alpha(x)) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\frac{d}{dx}f(x,t)dt [/mm]
keine Ahnung aber wie ich dass zeigen soll.
Gruesse Alfred
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Do 24.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier wird dir niemand deine Aufgabe lösen, es gibt nur Anleitung zur Selbshilfe.
stell dir vor, du hast eine Stammfunktion F(x,t) des Integrals. setz die Grenzen ein und differenziere, wenn auch das zu abstrakt ist mach es erst mal konkret f(x,t)=x*sin(t) oder [mm] x^2+e^t [/mm] oder dergl.
eigentlich ist es nur die Kettenregel, die du brauchst und was die Ableitung von [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] ist
wenn du die fertige Formel aus wiki hast steht dort auch eine Herleitung.
Gruss leduart
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Besten Dank fuer deine Antwort.
Ich meinte auch nicht, dass es jemand vorloesen soll. Verstehen will ich es ja selber. Die Formel habe ich aus dem Gelben Rechenbuch von Peter Furlan. Danke fuer den Hinweis bzgl. wikipedia. Ich werde es mir anschauen und mich allenfalls bei Fragen wieder melden.
Gruss Alfred :)
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okay ich hab folgendes gemacht:
[mm] \frac{d}{dx} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,t)dt= [/mm]
[mm]\frac{d}{dx} \int_{\alpha}^{\beta} f(x,t)dt+ \frac{d}{dx} \int_{\alpha}^{\beta(x)} f(t)dt +\frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta} f(t)dt=
[/mm]
[mm]
\frac{d}{dx}\int_{\alpha}^{\beta}f(x,t) dt + \frac{d}{d\beta}(\int_{\alpha}^{\beta} f(t)dt) \frac{d\beta}{dx}+ \frac{d}{d\alpha} (\int_{\alpha}^{\beta} f(t)dt) \frac{d\alpha}{dx} =
[/mm]
[mm]
\frac{d}{dx}\int_{\alpha}^{\beta}f(x,t) dt + \frac{d}{d\beta}(F(\beta)-F(\alpha)) + \frac{d}{d\alpha}(F(\beta)-F(\alpha)) =[/mm]
[mm]
\frac{d}{dx}\int_{\alpha}^{\beta}f(x,t) dt +f(\beta)-f(\alpha)
[/mm]
dabei ist mir aber noch immer folgendes unklar:
Was genau ist bspw. [mm] \frac{d\beta}{dx} [/mm] ? Vielleicht die Ableitung von beta nach x abgeleitet? und wieso ist es ploetzlich weg?
Was mache ich mit
[mm] \frac{d}{dx}\int_{\alpha}^{\beta}f(x,t) [/mm] dt?
Es waere schoen wenn wir hier zusammen ein einfaches Rechenbeispiel machen koennten. Was fuer funktionen koennte ich bspw. fuer alpha(x) bzw. beta(x) waehlen?
Gruss Alfred
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 24.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm [mm] \alpha(x)=x^2 \beta(x)=e^x
[/mm]
f(x,t)=x*sin(t)
deine Frage was [mm] d\beta(x)/dx [/mm] ist finde ich eigenartig, d/dx bezeichnet doch immer die Ableitung nach v.
deine letzte Zeile ist falsch. da fehlen die Ableitungen von [mm] \alpha(x), \beta(x)
[/mm]
statt stur von wiki abzuschreiben mach es rstmal mit dem obigen Bsp
wo die die Stammfunktion kennst, dann allgemein für eine Stammfunktion von f
also F(x,t)
dazu muss bekannt sein;
[mm] d/dx(\integral_{a}^{b}{f(x,y) dy}=\integral_{a}^{b}{d/dx(f(x,y) dy}
[/mm]
wenn du an Riemannsummen denkst ist das nichts anderes als wie du Summen differenzierst.
Gruß leduart
Gruß leduart
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Leider habe ich neben dem Studium noch ziemlich viel zu tun. Daher hat die Antwort nun etwas gedauert, aber ich glaube ich habs geschafft.
[mm] F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{x^2}^{exp(x)} x\cdot sin(t)dt= \frac{d}{dx}(-x\cdot cos(exp(x))+x\cdot cos(x^2)) [/mm]
und wenn man das "aus-xt" ergibt dasselbe, wie wenn ich gemaess formel (also einsetzen)
[mm]
F'(x) = \int_{x^2}^{exp(x)} \frac{\partial}{\partial x} (x\cdot sin(t) ) dt = \int_{x^2}^{exp(x)} sin(t)dt+x\cdot sin(x^2)\cdot 2x - x\cdot sin(exp(x))\cdot exp(x) =
-cos(t)\ | _ {x^2} ^ {exp(x)} + x\cdot sin(x^2)\cdot 2x - x\cdot sin(exp(x))\cdot exp(x)
[/mm]
Um die Aufgabe nun zu loesen, kann ich dasselbe auch mit abstrakten Ausdruecken machen, oder?
Gruss
Alfred Gaebeli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 01.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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