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Rekursion: Lineare inhomogene Rekursion
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:56 Do 08.02.2018
Autor: sancho1980

Zitat:

"Die allgemeine Lösung der Rekursion mit c ∈ R

[mm] a_n [/mm] = c [mm] a_{n−1} [/mm] + [mm] g_n [/mm]

hat die Form

[mm] a_n [/mm] = k [mm] c^n [/mm] + [mm] i_n [/mm] , k ∈ R,

wobei [mm] i_n [/mm] irgendeine spezielle Lösung der gegebenen Rekursion ist."

Die darauffolgende Erklärung, warum das so ist, verstehe ich soweit. Jetzt geht's weiter:

Eine spezielle Lösung [mm] i_n [/mm] der gegebenen inhomogenen Rekursion lässt sich oft erraten
oder durch einen geschickten Ansatz ermitteln. Ist [mm] g_n [/mm] = [mm] g_{1,n} [/mm] + [mm] g_{2,n} [/mm] , so kann für
jeden Anteil [mm] g_{j,n} [/mm] eine zugehörige spezielle Lösung [mm] i_{j,n} [/mm] ermittelt werden, und damit
gilt dann [mm] i_n [/mm] = [mm] i_{1,n} [/mm] + [mm] i_{2,n} [/mm] . Hat der inhomogene Anteil die Form [mm] g_n [/mm] = [mm] p(n)b^n [/mm] mit
einem Polynom p(n), so kann man [mm] i_n [/mm] = [mm] q(n)b^n [/mm] ansetzen; dabei hat das Polynom q(n)
gleichen Grad wie p(n), falls b [mm] \not= [/mm] c, und um eins höheren Grad, falls b = c. Beispiel:
Eine spezielle Lösung von [mm] a_n [/mm] = c  [mm] a_{n - 1} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] + 3 (hier ist p(n) = [mm] n^2 [/mm] + 3 und b = 1) kann mit dem Ansatz [mm] i_n [/mm] = [mm] q_2 n^2 [/mm] + [mm] q_1 [/mm] n + [mm] q_0 [/mm] , falls c [mm] \not= [/mm] 1, bzw. [mm] i_n [/mm] = [mm] q_3 n^3 [/mm] + [mm] q_2 n^2 [/mm] + [mm] q_1 [/mm] n + [mm] q_0 [/mm] , falls c = 1, gefunden werden."

Kann mir bitte mal einer erklären, was es mit dem Grad der Polynome auf sich hat? Wieso kann ich bei b [mm] \not= [/mm] c schlussfolgern, dass der Grad von q(n) gleich dem Grad von p(n), und warum ist er um genau 1 höher, wenn b = c?

Gruß und Danke

        
Bezug
Rekursion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Sa 10.02.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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