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Sätze allgemeingültig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Do 25.04.2013
Autor: Lu-

Aufgabe
Sei [mm] \sigma [/mm] = [mm] \{ +, R,S,P \} [/mm] , wobei + ein zweistelliges Funktionssymbol ist, R und S nullstellige Relationssymbole sind und P ein einstelliges Relationssymbol.
Sind die [mm] \sigma- [/mm]  Sätze logisch allgemeingültig?

[mm] \phi_1: [/mm]
[mm] \neg \wedge [/mm] R [mm] \neg \exists x_0 [/mm] P [mm] x_0 [/mm]

[mm] \phi_2: [/mm]
[mm] \neg \wedge [/mm] R [mm] \neg \neg \wedge [/mm] S [mm] \neg [/mm] R

Hallo
In semiformaler Sprache (so dass auch personen die aufgabe verstehen können ohne first order sprache)

[mm] \phi_1: [/mm]
R -> [mm] \exists x_o P(x_0) [/mm]

[mm] \phi_2: [/mm]
R -> (S->R)

Ich würde sagen [mm] \phi_2 [/mm] ist allgemeingültig. Wenn R erfüllt ist dann ist doch egal ob S erfüllt ist oder nicht es folgt R ist erfüllt ;)

[mm] \phi_1 [/mm] denke ich ist nicht allgemeingültig.
Grundmenge : Nicht positive Reelle Zahlen
P.. [mm] \IR_+ [/mm] (was wahr ist wenn x>0, falsch wenn [mm] x\le [/mm] 0  )
R.. Aussage
Auch wenn die Aussage wahr ist folgt dass es kein x gibt in der grundmenge für die, die Relation erfüllt ist.

Was sagt ihr?
LG
        
Bezug
Sätze allgemeingültig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:24 Fr 26.04.2013
Autor: tobit09

Hallo Lu-,


> [mm]\phi_1:[/mm]
>  [mm]\neg \wedge[/mm] R [mm]\neg \exists x_0[/mm] P [mm]x_0[/mm]
>  
> [mm]\phi_2:[/mm]
>  [mm]\neg \wedge[/mm] R [mm]\neg \neg \wedge[/mm] S [mm]\neg[/mm] R

>  In semiformaler Sprache (so dass auch personen die aufgabe
> verstehen können ohne first order sprache)
>  
> [mm]\phi_1:[/mm]
>  R -> [mm]\exists x_o P(x_0)[/mm]

>  
> [mm]\phi_2:[/mm]
>  R -> (S->R)

[ok]

  
> Ich würde sagen [mm]\phi_2[/mm] ist allgemeingültig.
> Wenn R
> erfüllt ist dann ist doch egal ob S erfüllt ist oder
> nicht es folgt R ist erfüllt ;)

[ok]

(Unter der Annahme, dass hier keine exakte Begründung anhand der Definitionen verlangt wird.)


> [mm]\phi_1[/mm] denke ich ist nicht allgemeingültig.

[ok]

>  Grundmenge : Nicht positive Reelle Zahlen

Ok, kannst du nehmen. Dann musst du eine passende [mm] $\sigma$-Struktur [/mm] mit dieser Grundmenge [mm] $M:=\IR_{\le0}$ [/mm] erklären. Dazu gehört eine Angabe, wie sie $R$, $S$, $P$ und $+$ interpretieren soll.

>  P.. [mm]\IR_+[/mm] (was wahr ist wenn x>0, falsch wenn [mm]x\le[/mm] 0  )

Die Interpretation von $P$ muss eine Teilmenge von [mm] $M^1$ [/mm] sein.

>  R.. Aussage

Die Interpretation von $R$ muss eine Teilmenge von [mm] $M^0=\{()\}$ [/mm] sein (also entweder [mm] $\emptyset$ [/mm] (was einer falschen Aussage entspricht) oder [mm] $M^0$ [/mm] (was einer wahren Aussage entspricht)).

>  Auch wenn die Aussage wahr ist folgt dass es kein x gibt
> in der grundmenge für die, die Relation erfüllt ist.

Du suchst ja eine [mm] $\sigma$-Struktur, [/mm] in der der Satz [mm] $\phi_1$ [/mm] falsch ist. Wie müssen also die Wahrheitswerte von $R$ und von [mm] $\exists x_0 Px_0$ [/mm] in dieser Struktur aussehen? Es bleibt nur eine mögliche Wahl der Interpretationen von $R$ und $P$ in der Struktur.


Viele Grüße
Tobias
Bezug
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