www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz über implizit def. Funkt.
Satz über implizit def. Funkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Satz über implizit def. Funkt.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 02:42 Sa 03.02.2018
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich verstehe ein paar Dinge beim Satz über implizit definierte Funktionen nicht, wie er im Forster geführt wird und würde mich freuen, wenn jemand die Zeit findet, mich aufzuklären! :-)
Insgesamt sind es 5 Fragen.

Farblegende:

Farbe Rot ist eine Stelle des Beweises, die ich nicht verstehe,
Farbe Blau meine Frage dazu,
und Schwarz ist der normale Beweistext, den ich verstanden habe, aber für den Kontext notiert.

[u]Satz [u]: Seien $ [mm] U_{1} \subset \IR^{k} [/mm] $ und $ [mm] U_{2} \subset \IR^{m} [/mm] $ offene Teilmengen und

F: $ [mm] U_{1} [/mm] $ x $ [mm] U_{2} \to \IR^{m}, [/mm] $ (x,y) $ [mm] \mapsto [/mm] $ F(x,y),

eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei (a,b) $ [mm] \in U_{1} [/mm] $ x $ [mm] U_{2} [/mm] $ ein Punkt mit

F(a,b) = 0.

Die m x m Matrix

$ [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] $ := $ [mm] \frac{\partial(F_{1}, ..., F_{m})}{\partial (y_{1}, ..., y_{m})} [/mm] $ := $ [mm] \pmat {\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}} [/mm] $

sei im Punkt (a,b) invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung $ [mm] V_{1} \subset U_{1} [/mm] $ von a, eine Umgebung $ [mm] V_{2} \subset U_{2} [/mm] $ von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g: $ [mm] V_{1} \to V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] $ mit g(a) = b, so dass

F(x, g(x)) = 0 $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in V_{1}. [/mm] $

Ist (x,y) $ [mm] \in V_{1} [/mm] $ x $ [mm] V_{2} [/mm] $ ein Punkt mit F(x,y) = 0, so folgt y = g(x).

Beweis

a)
O.B.d.A. sei (a,b) = (0,0).

Ist es hier so, dass für den Beweis eine allgemeine Funktion koordinatenweise so verschoben wird, dass man den Nullpunkt betrachtet?

Wir setzen

B := [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] (0,0) [mm] \in [/mm] GL(m, [mm] \IR) [/mm]

Was bedeutet die Abkürzung GL(m, [mm] \IR)? [/mm]

und definieren die Abbildung G: [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} \to \IR^{m} [/mm] durch

(1) G(x,y) := y - [mm] B^{-1}F(x,y). [/mm]

Da [mm] \frac{\partial G}{\partial y}(x,y) [/mm] = 𝟙 - [mm] B^{1} \frac{\partial F}{\partial y}(x,y), [/mm] wobei 𝟙 die m-reihige Einheitsmatrix bezeichnet, folgt

[mm] \frac{\partial G}{\partial y}(0,0) [/mm] = 0.

Da alle Komponenten der Matrix [mm] \frac{\partial G}{\partial y} [/mm] stetige Funktionen sind, gibt es Nullumgebungen [mm] W_{1} \subset U_{1} [/mm] und [mm] W_{2} \subset U_{2}, [/mm] so dass

(2) [mm] \parallel \frac{\partial G}{\partial y}(x,y) \parallel \le \frac{1}{2} [/mm] für alle (x,y) [mm] \in W_{1} [/mm] x [mm] W_{2}. [/mm]

Wir wählen ein r > 0, so dass

[mm] V_{2} [/mm] := [mm] \{y \in \IR^{m}: ||y|| \le r \} \subset W_{2}. [/mm]

Da G(0,0) = 0, gibt es eine offene Nullumgebung [mm] V_{1} \subset W_{1}, [/mm] so dass

(3)  [mm] \sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x,0)|| =: [mm] \epsilon \le \frac{r}{2}. [/mm]

Aus der Definition (1) folgt

F(x,y) = 0 <=> y = G(x,y)

folglich wurde die Lösung der Gleichung F(x,y) = 0 in ein Fixpunktproblem verwandelt.

Aus der Abschätzung (2) folgt für alle x [mm] \in V_{1} [/mm] und y, [mm] \eta \in V_{2} [/mm]

(4)
||G(x,y) - [mm] G(x,\eta)|| \le \frac{1}{2} [/mm] ||y - [mm] \eta|| [/mm]

Wieso folgt die Abschätzung (4) aus (2) ?

Setzt man [mm] \eta [/mm] = 0, so ergibt sich zusammen mit (3) für alle x [mm] \in V_{1}: [/mm]

(5) ||y|| [mm] \le [/mm] r => ||G(x,y)|| [mm] \le [/mm] r


b)

Für jeder feste x [mm] \in V_{1} [/mm] ist die Abbildung

y [mm] \mapsto [/mm] G(x,y) [mm] \in \IR^{m} [/mm] mit y [mm] \in V_{2} [/mm]

wegen (5) eine Abbildung der abgeschlossenen Kugel [mm] V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] in sich, die nach (4) eine Kontraktion ist, also nach dem Banachschen Fixpunktsatz genau einen Fixpunkt hat.
=> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in V_{1} [/mm] existiert genau ein y = g(x) [mm] \in V_{2}, [/mm] so dass G(x,y) = y, also F(x,g(x)) = 0.

c)

Es wird die Stetigkeit der in b) konstruierten Abbildung g: [mm] V_{1} \to V_{2} [/mm] gezeigt. Dazu wende man den Banachschen Fixpunktsatz auf den Banachraum [mm] C_{b}(V_{1}, \IR^{m}) [/mm] aller stetigen und beschränkten Abbildungen [mm] \phi: V_{1} \to \IR^{m} [/mm] an. Falls

[mm] ||\phi|| [/mm] := [mm] sup\{||\phi(x)||: x \in V_{1}\} \le [/mm] r,

so gilt für die durch

x [mm] \to \psi(x) [/mm] := G(x, [mm] \phi(x)) \in \IR^{m} [/mm] (x [mm] \in V_{1}) [/mm]

definierte stetige Abbildung [mm] \psi: V_{1} \to \IR^{m} [/mm] nach (5) ebenfalls [mm] ||\psi|| \le [/mm] r, die Zuordnung [mm] \phi \to \psi [/mm] liefert also eine Abbildung [mm] \theta [/mm] der abgeschlossenen Teilmenge

A:= [mm] \{\phi \in C_{b}(V_{1}, \IR^{m}): ||\phi|| \le r \} [/mm] = [mm] \{\phi \in C_{b}(V_{1}, \IR^{m}): \phi(V_{1}) \subset V_{2} \} [/mm] in sich

Aus (4) folgt für [mm] \phi_{1}, \phi_{2} \in [/mm] A

[mm] ||\theta(\phi_{1}) [/mm] - [mm] \theta(\phi_{2})|| [/mm] = [mm] sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x, [mm] \phi_{1}(x)) [/mm] - G(x, [mm] \phi_{2}(x))|| \le \frac{1}{2} sup_{x \in V_{1}} [/mm] || [mm] \phi_{1}(x) [/mm] - [mm] \phi_{2}(x)|| [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \parallel \phi_{1} [/mm] - [mm] \phi_{2} \parallel [/mm]


Wieso ist [mm] ||\theta(\phi_{1}) [/mm] - [mm] \theta(\phi_{2})|| [/mm] = [mm] sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x, [mm] \phi_{1}(x)) [/mm] - G(x, [mm] \phi_{2}(x))|| [/mm] ?

Insgesamt ist [mm] \theta: [/mm] A [mm] \to [/mm] A also eine Kontraktion und besitzt deshalb genau einen Fixpunkt g [mm] \in [/mm] A [mm] \subset C_{b}(V_{1}, \IR^{m}). [/mm] Diese Stetige Abbildung g: [mm] V_{1} \to V_{2} [/mm] erfüllt G(x,g(x)) = g(x), also F(x,g(x)) = 0 für alle x [mm] \in V_{1}. [/mm]


d) Nach evtl. Verkleinerung von [mm] V_{1} [/mm] kann angenommen werden, dass die Matrix [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] in jedem Punkt (x,g(x)), x [mm] \in V_{1}, [/mm] invertierbar ist. Es wird nun die Differenzierbarkeit von g: [mm] V_{1} \to \IR^{m} [/mm] gezeigt.

Es genügt, den Beweis von g im Nullpunkt 0 [mm] \in V_{1} \subset \IR^{k} [/mm] zu führen (für die anderen Punkte geht der Beweis analog).

Man setze A:= [mm] \frac{\partial F}{\partial x}(0,0) \in [/mm] M(m x k, [mm] \IR), [/mm]

B:= [mm] \frac{\partial F}{\partial y}(0,0) \in GL(m,\IR). [/mm]

Aus der Definition der Differenzierbarkeit von F im Punkt (0,0) folgt

F(x,y) = Ax + By + [mm] \phi(x,y) [/mm] mit [mm] \phi(x,y) [/mm] = [mm] o(\parallel [/mm] x,y [mm] \parallel) [/mm]


Das hier verstehe ich nicht. Die Definition der Diff.barkeit lautet ja, dass in einer Umgebung von x gilt:

f(x + [mm] \xi) [/mm] = f(x) + [mm] A\xi [/mm] + [mm] \phi(\xi) [/mm] mit [mm] \phi(\xi) [/mm] = [mm] o(||\xi||). [/mm]



..... Den Rest vom Beweis verstehe ich!



Wie immer bin ich euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könnt!


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz über implizit def. Funkt.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 06.02.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 45m 4. chrisno
SChem/DGL: Mischung im Behälter
Status vor 3h 50m 10. donquijote
ULinAMat/Gruppe der inv. Matrizen
Status vor 1d 8h 36m 1. Fatih17
UAlgGeo/Clustering in Social Networks
Status vor 2d 11. Al-Chwarizmi
STrigoFktn/Cosinus und Arc Cosinus
Status vor 2d 2. HJKweseleit
UElek/Kondensator Reihenschaltung
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de