Schnittpunkte von Graphen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] für [mm] x\in[0,\infty) [/mm] und [mm] h_{m}(x)=\bruch{1}{m}(x+1) [/mm] für [mm] x\in [/mm] R. Für welche [mm] m\in(0,\infty) [/mm] von [mm] h_{m} [/mm] Sekante zum Graphen von f. |
Hallo,
ich soll im Laufe einer Aufgabe die Schnittpunkte zweier Graphen suchen. Die Aufgabe habe ich der Übung entnommen, jedoch weiß ich ab einer bestimmten Stelle nicht, wieso ausgerechnet SO gerechnet wird. Hier die Rechenwege
[mm] \wurzel{x}=\bruch{1}{m}(x+1)
[/mm]
[mm] \gdw m^{2}x=(x+1)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+(2-m^{2})x=-1 [/mm] ( bis hierhin habe ich keine Probleme es zu verfolgen, doch gleich, wenn wie die Funktion auf beiden Seiten erweitern, ist mir der Sinn der Sache nicht ganz bewusst.)
[mm] \gdw (x+\bruch{2-m^{2}}{2})^{2}=-1+(\bruch{2-m^{2}}{2})^{2}
[/mm]
[mm] =-1+1-m^{2}+\bruch{m^{4}}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{m^{2}}{4}(m^{2}-4)=\bruch{m^{2}}{4}(m+2)(m-2)
[/mm]
Ich hoffe, aber das Stelle wo ich meinen Kommentar gegeben habe, kann mir einer den Sinn und auch die Rechenschritte erklären .
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Hallo,
> Sei [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] für [mm]x\in[0,\infty)[/mm] und
> [mm]h_{m}(x)=\bruch{1}{m}(x+1)[/mm] für [mm]x\in[/mm] R. Für welche
> [mm]m\in(0,\infty)[/mm] von [mm]h_{m}[/mm] Sekante zum Graphen von f.
>
> Hallo,
>
> ich soll im Laufe einer Aufgabe die Schnittpunkte zweier
> Graphen suchen. Die Aufgabe habe ich der Übung entnommen,
> jedoch weiß ich ab einer bestimmten Stelle nicht, wieso
> ausgerechnet SO gerechnet wird. Hier die Rechenwege
>
> [mm]\wurzel{x}=\bruch{1}{m}(x+1)[/mm]
>
> [mm]\gdw m^{2}x=(x+1)^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw x^{2}+(2-m^{2})x=-1[/mm] ( bis hierhin habe ich keine
> Probleme es zu verfolgen, doch gleich, wenn wie die
> Funktion auf beiden Seiten erweitern, ist mir der Sinn der
> Sache nicht ganz bewusst.)
>
> [mm]\gdw (x+\bruch{2-m^{2}}{2})^{2}=-1+(\bruch{2-m^{2}}{2})^{2}[/mm]
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> [mm]=-1+1-m^{2}+\bruch{m^{4}}{4}[/mm]
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> [mm]=\bruch{m^{2}}{4}(m^{2}-4)=\bruch{m^{2}}{4}(m+2)(m-2)[/mm]
>
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> Ich hoffe, aber das Stelle wo ich meinen Kommentar gegeben
> habe, kann mir einer den Sinn und auch die Rechenschritte
> erklären .
Da wurde halt an Stelle der Mitternachtsformel die quadratische Ergänzung angewendet. Man muss an dieser Stelle jetzt noch weiterrechnen, denn es geht um die Anzahl möglicher Lösungen und damit darum, für welche m der Term auf der rechten Seite positiv ist. Das mag also in Sachen Rechenweg etwas umständlich erscheinen, um die eigentliche Frage zu klären ist es dafür sehr bequem, denn da muss man nur zweimal scharf hinsehen, sozusagen...
Gruß, Diophant
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Gut, das erklärt einiges.
Ich habe nun die quadratische Ergänzung und das Vereinfachen durchgeführt.
Bin nun bei dem Ausdruck :
[mm] (x+\bruch{2-m^{2}}{2})^{2}=\bruch{m^{4}}{4}-m^{2}
[/mm]
Doch wie komme ich nun weiter? Habe echt ein Brett vor dem Kopf. Und .. weshalb muss der rechte Term positiv sein? Ich hoffe, dass ich es endlich verstehe :/
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Hallo,
> Gut, das erklärt einiges.
>
> Ich habe nun die quadratische Ergänzung und das
> Vereinfachen durchgeführt.
>
> Bin nun bei dem Ausdruck :
>
> [mm](x+\bruch{2-m^{2}}{2})^{2}=\bruch{m^{4}}{4}-m^{2}[/mm]
>
> Doch wie komme ich nun weiter?
Zunächst mal war das gar nicht schlau, den Term auf der rechten Seite auszumultiplizieren. In der faktorisierten Form sieht man hier klarer!
> Und .. weshalb muss der rechte Term positiv sein?
Nun, welcher Schritt käme* denn jetzt beim Auflösen nach x als nächster? Was gilt es bei diesem Schritt zu beachten, bzw. weshalb haben quadratische Gleichungen bis zu zwei Lösungen?
*Beachte den Konjunktiv. Man muss hier nicht weiterrechnen, sondern nur noch weiter denken!
Gruß, Diophant
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Evtl. wegen der Wurzel muss der Term positiv sein stimmts?
Ich würde gerne auf die Form [mm] \bruch{m^{2}}{4}(m+2)(m-2) [/mm] kommen, da man dort direkt sieht, wann der Term positiv oder negativ wäre. Deshalb hatte ich es mit dem ausmultiplizieren versucht.
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Hallo,
> Evtl. wegen der Wurzel muss der Term positiv sein stimmts?
Nicht so ganz. Wegen der Wurzel alleine müsste er nur nichtnegativ sein, das ist etwas anderes.
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> Ich würde gerne auf die Form [mm]\bruch{m^{2}}{4}(m+2)(m-2)[/mm]
> kommen, da man dort direkt sieht, wann der Term positiv
> oder negativ wäre. Deshalb hatte ich es mit dem
> ausmultiplizieren versucht.
Das muss man jetzt nicht verstehen? Mit der dritten binomischen Formel jedenfalls sieht man doch sofort
[mm] \bruch{m^4}{4}-m^2=\bruch{m^2}{4}*(m^2-4)=\bruch{m^2}{4}*(m+2)*(m-2)
[/mm]
Und da kann es doch jetzt nicht mehr so schwer sein abzulesen, was für m gelten muss, damit der ganze Term positiv ist?
Und positiv muss er sein, da für positive c die Gleichung
[mm] x^2=c
[/mm]
bekanntlich die beiden Lösungen
[mm] x_{1,2}=\pm\wurzel{c}
[/mm]
besitzt.
Gruß, Diophant
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Zwar hätte man es tatsächlich schon nach dem letzten Term den du geschrieben hast sehen können, aber ich würde trotzdem lieber die vollständige Rechnung durcharbeiten, um wirklich alles zu verstehen.
habe nach dem auflösen :
[mm] x=\pm\wurzel{\bruch{m^2}{4}\cdot{}(m+2)\cdot{}(m-2)}-\bruch{2-m^{2}}{2}
[/mm]
Wenn m<2 ist, wäre der Ausdruck unter der Wurzel negativ, sodass wir KEINE Lösung für x hätten und somit auch keine Sekante vorliegen kann.
Wenn m=2 ist, wäre der Ausdruck unter der Wurzel 0 und somit gäbe es eine Lösung. Eine Lösung reicht jedoch nicht aus, wenn eine Sekante gesucht ist, da eine Sekante mindestens zwei Lösungen benötigt.
Wenn m>2 gibt es zwei Lösungen und somit liegt bei m>2 eine Sekante vor.
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Hallo,
> Zwar hätte man es tatsächlich schon nach dem letzten Term
> den du geschrieben hast sehen können, aber ich würde
> trotzdem lieber die vollständige Rechnung durcharbeiten,
> um wirklich alles zu verstehen.
>
> habe nach dem auflösen :
>
> [mm]x=\pm\wurzel{\bruch{m^2}{4}\cdot{}(m+2)\cdot{}(m-2)}-\bruch{2-m^{2}}{2}[/mm]
>
> Wenn m<2 ist, wäre der Ausdruck unter der Wurzel negativ,
> sodass wir KEINE Lösung für x hätten und somit auch
> keine Sekante vorliegen kann.
>
> Wenn m=2 ist, wäre der Ausdruck unter der Wurzel 0 und
> somit gäbe es eine Lösung. Eine Lösung reicht jedoch
> nicht aus, wenn eine Sekante gesucht ist, da eine Sekante
> mindestens zwei Lösungen benötigt.
>
> Wenn m>2 gibt es zwei Lösungen und somit liegt bei m>2
> eine Sekante vor.
Genau so ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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