www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Substitution in der Schule
Substitution in der Schule < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Substitution in der Schule: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Mi 14.01.2015
Autor: UniversellesObjekt

Hi,

Es geht darum, [mm] $\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx$ [/mm] zu berechnen. Dazu haben wir [mm] $u=3x^2+4$ [/mm] gesetzt, dann ist [mm] $x^2=\dfrac{u-4}{3}$ [/mm] und [mm] $\dfrac{du}{dx}=6x$. [/mm] Dann haben wir gerechnet

[mm] $\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx=\int\dfrac{2x^3}{u}\dfrac{du}{6x}=\int\dfrac{x^2}{3u}du=\int\dfrac{u-4}{9u}du=\dfrac{1}{9}u-\dfrac{4}{9}\ln u=\dfrac{3x^2+4}{9}-\dfrac{4}{9}\ln(3x^2+4)$. [/mm]

Auf Wikipedia (oder in meinen Analysis-Büchern) steht für die Substitutionsregel [mm] $\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$, [/mm] und diese Formel zu benutzen leuchtet mir auch viel mehr ein, als das hin- und hermultiplizieren der dx's und du's, wie wir das tun. Meine Frage ist, welche Funktion [mm] $\varphi$ [/mm] wir hier jetzt betrachten müssten, um auf dieses Ergebnis zu kommen. Ich verstehe nicht genau, in wiefern der Löusngsweg der Schule hierzu äquivalent ist (genau genommen  verstehe ich gar nicht, wieso man so rechnen darf wie wir  das tun).

Was mein Amann-Escher Studium angeht, bin ich leider erst demnächst mit dem Einführungskapitel durch, und komme wohl nicht mehr dazu bis zum Abi substantielle Universitäts-Analysis-Kenntnisse zu erlangen.

Vielen Dank und Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

        
Bezug
Substitution in der Schule: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mi 14.01.2015
Autor: chrisno


> Hi,
>  
> Es geht darum, [mm]\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx[/mm] zu berechnen.
> Dazu haben wir [mm]u=3x^2+4[/mm] gesetzt, dann ist
> [mm]x^2=\dfrac{u-4}{3}[/mm] und [mm]\dfrac{du}{dx}=6x[/mm]. Dann haben wir
> gerechnet
>  
> [mm]\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx=\int\dfrac{2x^3}{u}\dfrac{du}{6x}=\int\dfrac{x^2}{3u}du=\int\dfrac{u-4}{9u}du=\dfrac{1}{9}u-\dfrac{4}{9}\ln u=\dfrac{3x^2+4}{9}-\dfrac{4}{9}\ln(3x^2+4)[/mm].
>  
> Auf Wikipedia (oder in meinen Analysis-Büchern) steht für
> die Substitutionsregel [mm]\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt[/mm],
> und diese Formel zu benutzen leuchtet mir auch viel mehr
> ein, als das hin- und hermultiplizieren der dx's und du's,
> wie wir das tun.

Damit outest Du Dich als Mathematiker. Ingeniuere und Physiker lieben dx und du.

> Meine Frage ist, welche Funktion [mm]\varphi[/mm]
> wir hier jetzt betrachten müssten, um auf dieses Ergebnis
> zu kommen. Ich verstehe nicht genau, in wiefern der
> Löusngsweg der Schule hierzu äquivalent ist (genau
> genommen  verstehe ich gar nicht, wieso man so rechnen darf
> wie wir  das tun).

Du kommst so zum Ziel: das dt muss dem du entsprechen.
[mm]\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int f(\varphi(u))\varphi'(u)du[/mm]
Nun kannst Du aus [mm]u=3x^2+4[/mm] die Umkehrfunktion [mm] $x=\varphi(u)$ [/mm] berechnen und dann ableiten und alles einsetzen.

Bezug
        
Bezug
Substitution in der Schule: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Mi 14.01.2015
Autor: Marcel

Hallo UniOb,

> Hi,
>  
> Es geht darum, [mm]\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx[/mm] zu berechnen.
> Dazu haben wir [mm]u=3x^2+4[/mm] gesetzt, dann ist
> [mm]x^2=\dfrac{u-4}{3}[/mm] und [mm]\dfrac{du}{dx}=6x[/mm]. Dann haben wir
> gerechnet
>  
> [mm]\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx=\int\dfrac{2x^3}{u}\dfrac{du}{6x}=\int\dfrac{x^2}{3u}du=\int\dfrac{u-4}{9u}du=\dfrac{1}{9}u-\dfrac{4}{9}\ln u=\dfrac{3x^2+4}{9}-\dfrac{4}{9}\ln(3x^2+4)[/mm].
>  
> Auf Wikipedia (oder in meinen Analysis-Büchern) steht für
> die Substitutionsregel [mm]\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt[/mm],
> und diese Formel zu benutzen leuchtet mir auch viel mehr
> ein, als das hin- und hermultiplizieren der dx's und du's,
> wie wir das tun. Meine Frage ist, welche Funktion [mm]\varphi[/mm]
> wir hier jetzt betrachten müssten, um auf dieses Ergebnis
> zu kommen. Ich verstehe nicht genau, in wiefern der
> Löusngsweg der Schule hierzu äquivalent ist (genau
> genommen  verstehe ich gar nicht, wieso man so rechnen darf
> wie wir  das tun).
>  
> Was mein Amann-Escher Studium angeht, bin ich leider erst
> demnächst mit dem Einführungskapitel durch, und komme
> wohl nicht mehr dazu bis zum Abi substantielle
> Universitäts-Analysis-Kenntnisse zu erlangen.

es wurde ja schon gesagt, was da gemacht wurde. Nur mal noch rein
formal:
Setze mal

    [mm] $x=\varphi(t)$ [/mm]

ein. Dann geht

    [mm] $\int [/mm] f(x)dx$

wegen [mm] $dx=d\varphi=\varphi'(t)dt\,$ [/mm] (solch' eine Gleichung kann man formal mit
Methoden der Maßtheorie [Stichwort "Dichtefunktion"] beweisen) über in

    [mm] $\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\,.$ [/mm]

Physiker und Ingenieure machen das meist lieber, indem sie sagen, dass
[mm] $x\,$ [/mm] auch eine Zeitabhängigkeit haben möge und daher notiert werden
kann als

    [mm] $x=x(t)\,.$ [/mm]

Praktisch ist das das Gleiche.

Das nur als *Formelmotivation*. So erklärt sich Dir sicher auch, warum

    [mm] $\int_a^b [/mm] f(x)dx$

dann in

    [mm] $\int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} [/mm] (f [mm] \circ \varphi)(t)*\varphi'(t)dt$ [/mm]

übergeht (hier brauche ich natürlich gewisse Voraussetzungen an [mm] $\varphi$) [/mm] - in
Wikipedia steht das auch ein bisschen anders (wegen schwächeren
Voraussetzungen sicherlich).

Oben schreibe ich mal [mm] $t\,$ [/mm] anstatt [mm] $u\,.$ [/mm] Witzig ist dabei, dass das *lasche
Rechnen* mit den Differentialen - wie gewohnt - oft einfach gemacht
werden darf.

Oben wäre etwa

    [mm] $t=t(x)=3x^2+4\,.$ [/mm]

Diese Funktion $t [mm] \colon [0,\infty) \to [4,\infty)$ [/mm] ist bijektiv, wir berechnen die Umkehrfunktion,
sie möge (in unverschämter Weise) [mm] $x\,$ [/mm] heißen:

    [mm] $x=x(t)=\sqrt{(t-4)/3}\,.$ [/mm]

Das könntest Du jetzt auch einsetzen, und dafür solltest Du auch noch
$x'(t)$ ausrechnen...

Jetzt der Clou: Kennst Du die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion?
Falls nicht: Man kann sie formal *wie gewohnt* "herleiten" - auch, wenn
diese Rechnung eher *ein Merksatz* denn ein Beweis ist:

    $y=f(x)$ und [mm] $x=f^{-1}(y)\,.$ [/mm]

Dann ist

    [mm] $dy=f\,'(x)dx$ [/mm]

und damit

    [mm] $\frac{df^{-1}(y)}{dy}=\frac{dx}{dy}=\frac{dx}{f\,'(x)dx}=\frac{1}{f\,'(x)}=\frac{1}{f\,'(f^{-1}(y))}\,.$ [/mm]

Das ist interessant und geht auch in Eurer Rechnung ein (schau' mal genau
hin, an welcher Stelle).

Nun aber zum *Kernstück*:
Begründung der Vorgehensweise Eures Lehrers:
Ihr habt

    [mm] $\int [/mm] f(x)dx$

zu berechnen. Jetzt macht Euer Lehrer den Ansatz (in seiner Notation):

    [mm] $x=\varphi^{-1}(u)\,,$ [/mm]

wobei er [mm] $u\,$ [/mm] bzw. damit [mm] $\varphi$ [/mm] vorgibt [mm] ($u=\varphi(x)=3x^2+4$). [/mm] Das setzen
wir einfach mal ein:

    [mm] $\int f(x)dx=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u) d(\varphi^{-1}(u))\,.$ [/mm]

Nun haben wir aber oben gesehen, dass

    [mm] $d(\varphi^{-1}(u))/du=\frac{1}{\varphi'(x)}=\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}$ [/mm]

gilt. Daher:

    [mm] $\int f(x)dx=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u)d(\varphi^{-1}(u))=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u)*\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}du=\int f(\varphi^{-1}(u))*\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}du$ [/mm]

Diese Formel hat dann im Endeffekt Dein Lehrer angewendet. Vielleicht
prüfst Du sie aber mal mit obigem Beispiel nochmal nach.

Ich schau' aber auch nochmal in meinen Unterlagen, denn vor ca. 3 Jahren
habe ich, weil ich das in der Praxis eigentlich immer so sehe, wie Du es
hier demonstrierst, mir das auch schonmal zusammengeschrieben - glaube
ich jedenfalls. Wobei ich da, soweit ich mich erinnere, die Differentiation
nur mit Differentialen (Notation wie bei Leibniz) *lasch* gerechnet hatte.
Also im Prinzip quasi wie oben, nur, glaube ich, hatte ich das Ganze da
sogar *noch etwas lascher* notiert.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Substitution in der Schule: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:47 Do 15.01.2015
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

ich danke euch beiden! Ich denke ein bisschen klarer ist es mir geworden. Ich habe insbesondere nachgerechnet, dass die Formel

> $ [mm] \int f(x)dx=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u)d(\varphi^{-1}(u))=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u)\cdot{}\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}du=\int f(\varphi^{-1}(u))\cdot{}\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}du [/mm] $

zum Ergebnis führt. Ich werde mal noch ein paar Beispiele mit dieser notationellen Methode durchrechnen.

Immerhin gibt mir das ganze Motivation endlich mal mit der Uni-Analysis weiterzumachen :-)

Eventuell werde ich noch einmal was nachfragen.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 0m 4. fred97
FunkAna/Teilmenge eines Banachraums
Status vor 37m 12. fred97
SAnaSonst/Stetigkeit
Status vor 2h 42m 2. angela.h.b.
SExpLog/Wachstum und Zerfall
Status vor 13h 14m 6. Son
DiffGlGew/Erstes Integral
Status vor 14h 18m 1. gopro
UAnaR1Funk/stetigkeit und grenzwert
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de