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Zentralprojektion: Zusammenhang mit der Ebene
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 So 16.04.2006
Autor: Archimedes

Hallo,
zur folgenden Aufgabe habe ich eine kleine Frage.
Gegeben ist der Punkt P (0 |-2 |0) und das Zentrum (6 |0 |2), der Punkt P soll mithilfe der ZENTRALPROJEKTION in die x2x3-Ebene gespiegelt werden.
Dazu gehe ich folgendermaßen vor:
1.Bilden einer Gerade von  [mm] \overline{ZP} [/mm] , die wäre

[mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 2} [/mm] +  [mm] \lambda \vektor{-6 \\ -2 \\ -2} [/mm]

2. x2x3-Ebene lautet

[mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

3.Dann steht in meinem Heft (Unterrichtsmitschriften)

6-6 [mm] \lambda [/mm]   =0  [mm] \Rightarrow \lambda=1 [/mm]
-2 [mm] \lambda [/mm]    =0
2-2 [mm] \lambda [/mm]   =1

[mm] \lambda [/mm] wird in  [mm] \overline{ZP} [/mm] eingesetzt und wir erhalten den gespiegelten Punkt

Meine Frage ist nun wieso man die Gerade  [mm] \overline{ZP} [/mm] mit 0;0;1 gleich setzt? Wie wäre es mit der x1x2-Ebene? Also womit müsste ich die Gerade dann gleich setzen?

Ich wäre sehr dankbar für Antworten.



        
Bezug
Zentralprojektion: nur eine Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 So 16.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Archimedes!


> 1. Bilden einer Gerade von  [mm]\overline{ZP}[/mm] , die wäre
>  
> [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 2}[/mm] +  [mm]\lambda \vektor{-6 \\ -2 \\ -2}[/mm]

[ok]

  

> 2. x2x3-Ebene lautet  [mm]\mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]

Ich benenne hier mal um, um Verwechslungen mit dem Parameter der Geraden zu vermeiden:

[mm]E_{2/3} \ : \ \vec{x} \ = \ \mu* \vektor{0 \\ 1 \\ 0} + \ \red{\kappa}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} \ = \ \vektor{0\\ \mu \\ \kappa}[/mm]

  

> 3.Dann steht in meinem Heft (Unterrichtsmitschriften)
>  
> 6-6 [mm]\lambda[/mm]   =0  [mm]\Rightarrow \lambda=1[/mm]
> -2 [mm]\lambda[/mm]    =0
> 2-2 [mm]\lambda[/mm]   =1

Bist Du sicher, dass hier genau diese drei Gleichungen stehen in Deinem Heft? Ich würde hieraus dieses Gleichungssystem machen (wenn überhaupt, siehe unten):

[mm] $6-6*\lambda=0$[/mm]   [mm]\Rightarrow \lambda=1[/mm]
[mm] $-2*\lambda [/mm] \ = \ [mm] \red{\mu}$ [/mm]
[mm] $2-2*\lambda [/mm] \ = \ [mm] \red{\kappa}$ [/mm]

Und hier lässt sich lediglich aus der ersten Gleichung ein konkreter Wert für [mm] $\lambda$ [/mm] berechnen.


Meines Erachtens könnte man das auch gleich verkürzen auf diese eine Gleichung der [mm] $x_{\red{1}}$-Komponente, [/mm] da diese [mm] $x_1$-Komponente [/mm] in der [mm] $x_2 [/mm] / [mm] x_3$-Ebene [/mm] fest vorgegeben ist mit [mm] $x_{\red{1}} [/mm] \ = \ 0$ !


> Wie wäre es mit der x1x2-Ebene? Also womit müsste ich die Gerade
> dann gleich setzen?

Ist es nun klar?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Zentralprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 So 16.04.2006
Autor: Archimedes

Danke Loddar!

Also kann ich eigentlich einfach [mm] 6-6*\lambda [/mm] =0 rechnen und den Rest weg lassen?

Und bei der x1x2-Ebene würde ich dann [mm] 2-2*\lambda [/mm] =0 rechnen, also x1x2-Zeile weg lassen?



Bezug
                        
Bezug
Zentralprojektion: Genau richtig erkannt!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 So 16.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Archimedes!


> Also kann ich eigentlich einfach [mm]6-6*\lambda[/mm] =0 rechnen und
> den Rest weg lassen?

[ok] So würde ich es machen!


> Und bei der x1x2-Ebene würde ich dann [mm]2-2*\lambda[/mm] =0
> rechnen, also x1x2-Zeile weg lassen?

[daumenhoch] Ganz genau ...


Gruß
Loddar


Bezug
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