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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - autonome? DGL monoton steigend
autonome? DGL monoton steigend < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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autonome? DGL monoton steigend: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:56 Mi 21.11.2012
Autor: DudiPupan

Aufgabe
Seien [mm] $f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ [/mm] und [mm] $x_0\in\mathbb{R}^n.$ [/mm] Das Problem [mm] $$x'(t)=\nabla [/mm] f(x(t)) [mm] \mbox{ für } t\in[0,\infty)$$ [/mm]
[mm] $$x(0)=x_0$$ [/mm]
besitze eine globale Lösung [mm] $x\in \mathcal{C}^1([0,\infty),\mathbb{R}^n).$ [/mm] Beweisen Sie:
a) Die Funktion [mm] $\varphi :[0,\infty)\to \mathbb{R},t\mapsto [/mm] f(x(t))$ ist monoton steigend.
b) Gilt [mm] $\limes_{t\to \infty}x(t)=x^\ast [/mm] $, so ist [mm] $\nabla f(x^\ast [/mm] )=0.$


Guten Abend,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe, komme jedoch einfach auf keinen Grünen Zweig.
Handeslt es sich hier um eine autonome DGL?
Für autonome DGL habe ich einen Beweis gefunden, der zeigt, dass jede Autonome DGL monoton ist.
Aber hierzu fehlt mir einfach der Ansatz.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben, wie ich das angehen kann.

Vielen Dank
LG
Dudi

        
Bezug
autonome? DGL monoton steigend: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:45 Do 21.09.2017
Autor: maganta-steve

Hi,
ich beschäftige mich mit der selben Aufgabe, aber komme nicht weiter.
Hat vielleicht noch jemand einen Tipp.

Gruß
maganta-steve

Bezug
                
Bezug
autonome? DGL monoton steigend: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Sa 23.09.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
autonome? DGL monoton steigend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:21 Mo 25.09.2017
Autor: fred97

Es ist also

[mm] $\varphi(t)=f(x(t))$ [/mm] und somit

[mm] $\varphi'(t)= \nabla [/mm] f(x(t))*x'(t) $, wobei $*$ das übliche Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] bezeichne.

Wegen  $ [mm] x'(t)=\nabla [/mm] f(x(t)) [mm] \mbox{ für } t\in[0,\infty) [/mm] $ bekommen wir

[mm] $\varphi'(t)=||x'(t)||^2 \ge [/mm] 0$.

Hilft das ?

Bezug
                
Bezug
autonome? DGL monoton steigend: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Mo 25.09.2017
Autor: maganta-steve

Hi,

ja danke, das hat mir sehr weiter geholfen.


Bzgl. b)
x* ist ja eine Konstante, deswegen ist der Gradient der Konstante = 0 oder?

Bezug
        
Bezug
autonome? DGL monoton steigend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:21 Mi 21.11.2012
Autor: fred97


> Seien [mm]$f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$[/mm] und
> [mm]$x_0\in\mathbb{R}^n.$[/mm] Das Problem [mm]x'(t)=\nabla f(x(t)) \mbox{ für } t\in[0,\infty)[/mm]
>  
> [mm]x(0)=x_0[/mm]
>  besitze eine globale Lösung [mm]x\in \mathcal{C}^1([0,\infty),\mathbb{R}^n).[/mm]
> Beweisen Sie:
>  a) Die Funktion [mm]\varphi :[0,\infty)\to \mathbb{R},t\mapsto f(x(t))[/mm]
> ist monoton steigend.
>  b) Gilt [mm]\limes_{t\to \infty}x(t)=x^\ast [/mm], so ist [mm]\nabla f(x^\ast )=0.[/mm]
>  
> Guten Abend,
>  ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe, komme
> jedoch einfach auf keinen Grünen Zweig.
>  Handeslt es sich hier um eine autonome DGL?



Ja, setze g:= [mm] \nabls [/mm] f. Dann lautet Deine DGL:


   (*)  x'=g(x)


>  Für autonome DGL habe ich einen Beweis gefunden, der
> zeigt, dass jede Autonome DGL monoton ist.


Unsinn ! Nicht die DGL ist monoton, sondern Lösungen x von (*)

FRED


>  Aber hierzu fehlt mir einfach der Ansatz.
>  Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben, wie ich
> das angehen kann.
>  
> Vielen Dank
>  LG
>  Dudi


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