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Forum "Integralrechnung" - bogenlänge?
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bogenlänge?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mo 21.03.2005
Autor: Laurie

weiß vielleicht jemand, wie man eine bogenlänge berechnet??

        
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bogenlänge?: Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Mo 21.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Laurie!


Die Formel für die Berechnung einer Bogenlänge $s$ lautet:

$s \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2} {\wurzel{1 + (y')^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2} {\wurzel{1 + \left[f'(x)\right]^2} \ dx}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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bogenlänge?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mo 21.03.2005
Autor: Laurie

hm... aber wie etz ich das denn jetzt da ein also die Ableitungsfunktion lautet doch 1/8 x³ - 1/x oder? aber wie mach ich das denn jetzt mit dem +1 rechnen und dann noch davon die wurzel ziehen??

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bogenlänge?: Antwort
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 15:51 Mo 21.03.2005
Autor: Fabian

Hallo Laurie

Bei der Ableitung hast du wohl integriert statt differenziert

[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{x} [/mm]

Das fassen wir erstmal zusammen:

[mm] f'(x)=\bruch{x^{2}-2}{2x} [/mm]

Jetzt bilden wir [mm] (f'(x))^{2} [/mm]


[mm] (f'(x))^{2}=\bruch{x^{4}-4x^{2}+4}{4x} [/mm]

Jetzt addieren wir 1 dazu und fassen zusammen:

[mm] 1+\bruch{x^{4}-4x^{2}+4}{4x} [/mm]

[mm] \bruch{x^{4}-4x^{2}+4x+4}{4x} [/mm]

Und jetzt durch 4x dividieren und du erhälst  4 einzelne Summanden , die sich ganz leicht integrieren lassen!

Alles klar?

PS: Bitte alles noch mal nachrechnen.

Gruß Fabian




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bogenlänge?: Und die Wurzel ??
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Mo 21.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Fabian!



> Und jetzt durch 4x dividieren und du erhälst  4 einzelne
> Summanden , die sich ganz leicht integrieren lassen!

[notok] Leider hast Du hier die Wurzel vergessen (siehe Formel), so daß das Integrieren nicht ganz so einfach ist ...


Gruß
Loddar


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bogenlänge?: Sorry , Sorry , Sorry!!!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Mo 21.03.2005
Autor: Fabian

Hallo Laurie

Da hat Loddar natürlich recht. Die Wurzel hab ich natürlich vergessen, dann wird die ganze Sache natürlich etwas komplizierter. Ich werd mal versuchen , das Problem zu lösen. Kann aber nichts versprechen!

Gruß Fabian

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bogenlänge?: hilfe!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mo 21.03.2005
Autor: Laurie

hm also wie jetzt? ich muss einmal [mm] \wurzel{x^4/4x} [/mm] rechnen, dann [mm] \wurzel{4x²/4x}, \wurzel{4x/4x} [/mm] und dann noch [mm] \wurzel{4/4x} [/mm] einzeln integrieren??

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bogenlänge?: So nicht!!!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Mo 21.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Laurie!


[kopfkratz3] Eine konkrete Idee zur Lösung habe ich gerade nicht zur Hand ...


> hm also wie jetzt? ich muss einmal [mm]\wurzel{x^4/4x}[/mm] rechnen,
> dann [mm]\wurzel{4x²/4x}, \wurzel{4x/4x}[/mm] und dann noch
> [mm]\wurzel{4/4x}[/mm] einzeln integrieren??

[notok] Das ist definitiv falsch !!!


[aufgemerkt] [mm] $\wurzel{a + b} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b}$ [/mm]


Loddar


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bogenlänge?: was nun?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mo 21.03.2005
Autor: Laurie

das hab ich mir schon gedacht aber was nun?

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bogenlänge?: Antwort bzw. Hilfe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mo 21.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Laurie,

also: Das Zwischenergebnis von persilous ist falsch, da das Quadrat im Nenner fehlt.

Drum ergibt sich letztlich:  [mm] \integral{\wurzel{\bruch{x^{4}+4}{4x^{2}}}dx} [/mm]
Für x>0 könnte man dafür schreiben: [mm] \integral{\bruch{1}{2x}* \wurzel{x^{4}+4}dx} [/mm]
Nun würd' ich's mit der Substitution [mm] z=x^{2} [/mm] versuchen.
Da erhält man: dx = [mm] \bruch{dz}{2x} [/mm] und somit:
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{z^{2}+4}}{4z}dz} [/mm]

So: Und nun bin ich zu faul und schau in meiner Formelsammlung nach. Dort finde ich:
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{x^{2}+a^{2}}}{x}dx} [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2}+a^{2}} [/mm] - [mm] a*ln|\bruch{a+\wurzel{x^{2}+a^{2}}}{x}| [/mm] +c
Und damit kannst Du's nun selbst lösen!

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bogenlänge?: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Mo 21.03.2005
Autor: Laurie

was meinst du denn mit für x=0, muss ich für x die grenzen einsetzen? und was meinst du mit a ? wenn die grenzen e² und 1 sijnd muss ich die dann n die letzte formel die du aufgeschrieben hast einsetzen oder wie?

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bogenlänge?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mo 21.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi. Laurie,

wenn Du wüsstest, was ich für ein fauler Kerl bin! Aber Du "zwingst" mich ja gradezu, die Sache fertigzumachen!

> was meinst du denn mit für x=0,

Ich hab' bloß die Stammfunktionen für x>0 (x>0 !!!, nicht x=0; das geht gar nicht!!!) ermittelt! Die Grenzen muss man dann schon noch einsetzen!

Für Dein Integral ist a=2 und zudem kommt der Faktor [mm] \bruch{1}{4} [/mm] davor; außerdem müssen (wegen [mm] z=x^{2} [/mm] die Grenzen umgerechnet werden: [mm] z_{1}=1, z_{2}=e^{4}. [/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{4}*[\wurzel{z^{2}+4}-2*ln|\bruch{2+\wurzel{z^{2}+4}}{z}|]^{e^{4}}_{1} [/mm]

Aber bitte! Das rechne jetzt wirklich selbst aus!

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