ker(f)=ker(g)=>f,g linear abh. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Di 01.07.2014 | | Autor: | drossel |
Hi
ich versuche herauszufinden ob die Behauptung stimmt:
K Körper, V ein K-Vektorraum, [mm] f,g:V\to [/mm] K zwei lineare Abbildungen mit Ker(f)=Ker(g). Dann gilt: es existiert ein [mm] a\in [/mm] K mit af=g (also f und g linear abhängig).
Ich bin mir nicht sicher ob man V endlichdimensional voraussetzen muss.
also dass af(v)=g(v) für alle v aus ker(f)=ker(g) gilt für ein a aus K verstehe ich. Weiss aber momentan auch nicht so richtig, wie ich das aufschreiben soll, aber das würde ich da Tage nochmal selbst probieren wollen. Wie kriegt man jetzt diese Gleichheit für alle s [mm] \in [/mm] V? Das muss ja was damit zutun haben, dass Bild(f), Bild(g) eindimensional sind oder?
Stehe auf dem Schlauch=(. Hat jemand ein Tipp?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Mi 02.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso sollte das Bild Dimension 1 haben? Überleg mal wie viele lineare Abbildungen mit Kern=0 es gibt sind die alle linear abhängig?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:40 Mi 02.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Erst dem Quelltext habe ich entnommen, dass es sich bei f und g um Linearformen handelt, also $f,g:V [mm] \to [/mm] K$.
Ist f oder g das Nullfunktional, so ist die Sache klar.
Sei also weder f noch g das Nullfunktional. Dann gibt es [mm] x_0,y_0 \in [/mm] V mit
(*) [mm] $[x_0] \oplus Kern(f)=V=[y_0] \oplus [/mm] Kern(g)$,
wobei wir annehmen können: [mm] f(x_0)=1=g(y_0) [/mm] (warum können wir das annehmen ?)
([...] bezeichne die lineare Hülle)
Aus (*) folgt: es gibt eindeutig bestimmte a [mm] \in [/mm] K und w [mm] \in [/mm] Kern(g) mit:
[mm] x_0=ay_0+w.
[/mm]
Dann ist [mm] g(x_0)=a.
[/mm]
Ist nun v [mm] \in [/mm] V , so gibt es, wegen (*), eindeutig bestimmte b [mm] \in [/mm] K und u [mm] \in [/mm] Kern(f) mit [mm] v=bx_0+u.
[/mm]
Damit bekommen wir: f(v)=b, also
[mm] g(v)=bg(x_0)=ab=af(v)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 03.07.2014 | | Autor: | drossel |
Danke für eure Antworten! Bin immer sehr beschäftigt und deswegen dauert es manchmal bis ich reagieren kann.
@Leduart
wenn f und g nicht die Nullabbildungen sind, dann sind Linearformen ja surjektiv, also [mm] dim_{K}Im(f)=1 [/mm] (bzw g;wäre etwas präziser so als das was ich in meinem Ausgangspost schrieb).
Ist Voraussetzung für Injektivität nicht [mm] dim_{K}V\le dim_{K}K [/mm] =1? An der Stelle bin ich mir nicht ganz sicher, ob das Zwangsweise so sein muss.
Dh für injektive Linearformen müsste dann wegen [mm] dim_{K}V \le dim_{K}K [/mm] =1 [mm] dim_{K} [/mm] Hom(V,K) [mm] \le [/mm] 1 gelten, ist aber alles =1, da ja V als Vektorraum auch die 1 enthält. Es sollte also bis auf linear Abhängigkeit eine linear abhängige, injektive Linearform geben, zb wäre f:K->K [mm] x\mapsto [/mm] x eine solche und alle anderen wären linear abhängig. Wenn die Überlegung so stimmt..
@fred
Entschuldigung, habe nicht bemerkt, dass man das K wegen dem Schrägstrich nicht sehen konnte. Ich lese immer über meine Posts drüber aber übersehe trotzdem anscheinend leider immer noch was. Habs geändert, danke für den Hinweis.
Weil f und g nicht das Nullfunktional, existiert [mm] m\in [/mm] V mit [mm] f(m)\not= [/mm] 0 und ex. [mm] n\in [/mm] V mit [mm] g(n)\not= [/mm] 0 setze [mm] x_0=\frac{m}{f(m)} [/mm] und [mm] y_0=\frac{n}{g(n)}. [/mm] Passt das so?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:12 Fr 04.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für eure Antworten! Bin immer sehr beschäftigt und
> deswegen dauert es manchmal bis ich reagieren kann.
>
> @Leduart
> wenn f und g nicht die Nullabbildungen sind, dann sind
> Linearformen ja surjektiv, also [mm]dim_{K}Im(f)=1[/mm] (bzw g;wäre
> etwas präziser so als das was ich in meinem Ausgangspost
> schrieb).
> Ist Voraussetzung für Injektivität nicht [mm]dim_{K}V\le dim_{K}K[/mm]
> =1? An der Stelle bin ich mir nicht ganz sicher, ob das
> Zwangsweise so sein muss.
> Dh für injektive Linearformen müsste dann wegen [mm]dim_{K}V \le dim_{K}K[/mm]
> =1 [mm]dim_{K}[/mm] Hom(V,K) [mm]\le[/mm] 1 gelten, ist aber alles =1, da ja
> V als Vektorraum auch die 1 enthält. Es sollte also bis
> auf linear Abhängigkeit eine linear abhängige, injektive
> Linearform geben, zb wäre f:K->K [mm]x\mapsto[/mm] x eine solche
> und alle anderen wären linear abhängig. Wenn die
> Überlegung so stimmt..
Ja:
Ist f:V [mm] \to [/mm] K eine injektive Linearform. so muss dimV=1 sein.
Ich vermute, dass leduart zunächst auch nicht (wie ich) von Linearformen ausging, weil Du das "K" verschlampert hast
>
>
> @fred
> Entschuldigung, habe nicht bemerkt, dass man das K wegen
> dem Schrägstrich nicht sehen konnte. Ich lese immer über
> meine Posts drüber aber übersehe trotzdem anscheinend
> leider immer noch was. Habs geändert, danke für den
> Hinweis.
>
> Weil f und g nicht das Nullfunktional, existiert [mm]m\in[/mm] V mit
> [mm]f(m)\not=[/mm] 0 und ex. [mm]n\in[/mm] V mit [mm]g(n)\not=[/mm] 0 setze
> [mm]x_0=\frac{m}{f(m)}[/mm] und [mm]y_0=\frac{n}{g(n)}.[/mm] Passt das so?
Ja, genau so passt das.
FRED
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Fr 04.07.2014 | | Autor: | drossel |
Vielen Dank!
Ich wünsche einen schönen Tag:)!
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