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konvergent/divergent: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Di 06.02.2018
Autor: jonas55

Aufgabe
Zeige ob die Reihe konvergiert oder absolut konvergiert.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \vektor{2k \\ k} [/mm] 4^(-k)

Hallo,
mit dem Quotientenkriterium erhalte ich lim [mm] \frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|}=1. [/mm] Die Reihe muss doch divergieren? Wie kann ich das zeigen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


        
Bezug
konvergent/divergent: Antwort war falsch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:00 Di 06.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

EDIT: sorry, hier stand etwas falsches.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
konvergent/divergent: Rat
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Di 06.02.2018
Autor: jonas55

Kann mir jemand helfen? Habe ich die Frage in der falschen Rubrik gepostet?
Ich kann meine Lösungen abtippen...

Bezug
                        
Bezug
konvergent/divergent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Di 06.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Kann mir jemand helfen? Habe ich die Frage in der falschen
> Rubrik gepostet?

Ja, aber das sollte nicht dein Problem sein (leider sieht es die Moderation seit einiger Zeit nicht mehr für nötig an, sich um das sinnvolle und zeitnahe Einordnen von Fragen zu kümmern).

> Ich kann meine Lösungen abtippen...

Das hättest du gleich tun sollen, und bei der Gelegenheit: die Aufgabenstellung, wie lautet die im Wortlaut? Derart grammatikalisch grausam (Zeigen Sie, ob...) wie im Themenstart wird es ja hoffentlich nicht zugehen... ;-)

Das mit der absoluten Konvergenz ergibt für mich hier irgendwie überhaupt keinen Sinn, und u.a. deshalb wäre der Originalwortlaut der Aufgabe wichtig.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
konvergent/divergent: wortlaut
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Di 06.02.2018
Autor: jonas55

Hallo Diophant,

der Wortlaut war so, "untersuche" welche der Reihen konvergieren und welche sogar absolut konvergieren. Es waren mehrere Aufgaben, die anderen kann ich, nur bei dieser Aufgabe habe ich Probleme.



Bezug
        
Bezug
konvergent/divergent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Di 06.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Zeige ob die Reihe konvergiert oder absolut konvergiert.
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{2k \\ k}[/mm] 4^(-k)
> Hallo,
> mit dem Quotientenkriterium erhalte ich lim
> [mm]\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|}=1.[/mm] Die Reihe muss doch
> divergieren? Wie kann ich das zeigen?

Deine Einschätzung in Sachen Divergenz teile ich. Sowohl das Quotienten- als auch das Wurzelkriterium versagen hier jedoch.

Ich habe eine divergente Minorante gefunden. Ich weiß nicht, welche Mittel dir zur Verfügung stehen, aber auf der Wikipedia-Seite des []Mittleren Binomialkoeffizienten findet sich eine geeignete Abschätzung mittels Stirling-Formel. Mit der würde es auf jeden Fall gehen. Nur weiß ich wie gesagt nicht, ob dir das zur Verfügung steht und ich kann auch nicht ganz ausschließen, dass es mit 'Kanonen auf Spatzen geschossen' ist.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
konvergent/divergent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 Di 06.02.2018
Autor: jonas55

wie würde das dann aussehen?

Bezug
                        
Bezug
konvergent/divergent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Di 06.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> wie würde das dann aussehen?

hast du dir die Seite angesehen? Sagt dir der Begriff Stirling-Formel etwas?

Du könntest hier schon auch etwas mehr Eigeninitiative zeigen!

Es gilt (siehe Wikipedia):

[mm] \frac{1}{2}* \frac{4^n}{\sqrt{\pi*n}}<{2n \choose n}[/mm]

Siehst du das nicht selbst, dass man damit eine divergente Minorante für deine Reihe fast unmittelbar dastehen hat?


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
konvergent/divergent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Di 06.02.2018
Autor: jonas55

In wiki steht aber

Mit Hilfe der Stirling-Formel erhält man für  n ≥ 1  die Abschätzung

In der Aufgabe steht aber 4^(-k).

4^(-3)=1/64            
4^(-5)=1/864

Wenn ich jetzt  lim [mm] \frac{2k!}{(k!)^2} [/mm] ausmultipliziere geht das doch gegen 0.

Ich sehe es nicht.

Bezug
                                        
Bezug
konvergent/divergent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Di 06.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> In wiki steht aber

>

> Mit Hilfe der Stirling-Formel erhält man für n ≥ 1
> die Abschätzung

>

> In der Aufgabe steht aber 4^(-k).

>

> 4^(-3)=1/64
> 4^(-5)=1/864

>

> Wenn ich jetzt lim [mm]\frac{2k!}{(k!)^2}[/mm] ausmultipliziere
> geht das doch gegen 0.

>

> Ich sehe es nicht.

Ich weiß jetzt überhaupt nicht, zu was diese Rechnungen gut sein sollen, abgesehen davon sind sie teilweise falsch (4^(-5)=1/1024).

Also, wir haben

[mm] \frac{1}{2}* \frac{4^k}{\sqrt{\pi*k}}<{2k \choose k}[/mm]

Wenn man diese Ungleichung mit [mm] 4^{-k} [/mm] durchmultipliziert, bekommt man:

[mm] \frac{1}{2*\sqrt{\pi*k}}<{2k \choose k}*4^{-k}[/mm]

Und jetzt sollte es dir aber tagen. Weshalb ist

[mm] \sum_{k=1}^{ \infty} \frac{1}{2\sqrt{\pi*k}} [/mm]

divergent?

Auf jeden Fall ist letztere Reihe eine divergente Minorante zu deiner Reihe.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
konvergent/divergent: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Di 06.02.2018
Autor: jonas55

<Also, wir haben

<$ [mm] \frac{1}{2}\cdot{} \frac{4^k}{\sqrt{\pi\cdot{}k}}<{2k \choose k} [/mm] $

<Wenn man diese Ungleichung mit $ [mm] 4^{-k} [/mm] $ durchmultipliziert, bekommt <man:

<$ [mm] \frac{1}{2\cdot{}\sqrt{\pi\cdot{}k}}<{2k \choose k}\cdot{}4^{-k} [/mm] $

<Und jetzt sollte es dir aber tagen.

Ja, jetzt habe ich es kapiert.


<Weshalb ist

<$ [mm] \sum_{k=1}^{ \infty} \frac{1}{2\sqrt{\pi\cdot{}k}} [/mm] $

<divergent?

Die Frage hast du unten selbst beantwortet.

[mm] $\frac{1}{2} [/mm] * [mm] \frac{1}{\sqrt{\pi\cdot{}k}}>=\frac{1}{k^(1/2)}$ [/mm]
1/2<=1 deshalb divergent


<Auf jeden Fall ist letztere Reihe eine divergente Minorante zu deiner <Reihe.


<Gruß, Diophant

Super, Danke!!

Gruß jonas

Bezug
                                                        
Bezug
konvergent/divergent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Di 06.02.2018
Autor: jonas55

Ich habe das nicht richtig geschrieben.
Wie kann ich das den wieder löschen?

[mm] \frac{1}{k^{1/2}} [/mm]

1/2<1 natürlich.
Wegen dem Majorantenkriterium



Bezug
                                                        
Bezug
konvergent/divergent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Mi 07.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> <Also, wir haben

>

> <[mm] \frac{1}{2}\cdot{} \frac{4^k}{\sqrt{\pi\cdot{}k}}<{2k \choose k}[/mm]

>

> <Wenn man diese Ungleichung mit [mm]4^{-k}[/mm] durchmultipliziert,
> bekommt <man:

>

> <[mm] \frac{1}{2\cdot{}\sqrt{\pi\cdot{}k}}<{2k \choose k}\cdot{}4^{-k}[/mm]

>

> <Und jetzt sollte es dir aber tagen.

>

> Ja, jetzt habe ich es kapiert.

>
>

> <Weshalb ist

>

> <[mm] \sum_{k=1}^{ \infty} \frac{1}{2\sqrt{\pi\cdot{}k}}[/mm]

>

> <divergent?

>

> Die Frage hast du unten selbst beantwortet.

>

> [mm]\frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{\pi\cdot{}k}}>=\frac{1}{k^(1/2)}[/mm]

>

> 1/2<=1 deshalb divergent

>
>

Das ist Unfug, da

- die linke Seite echt kleiner als die rechte ist
- es völlig irrelevant ist.

Die Summe

[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}[/mm]

ist divergent, da die harmonische Reihe eine divergente Minorante ist.

> <Auf jeden Fall ist letztere Reihe eine divergente
> Minorante zu deiner <Reihe.

>
>

> <Gruß, Diophant

>

> Super, Danke!!

Ja, aber ein wenig rumnörgeln muss ich schon noch.

Wenn man im Internet zu solchen Fragen Hilfe sucht, dann kann man ja nicht erwarten, dass man seine Frage irgendwo ins Netz hineinstopft und schwups kommt eine Antwort heraus. So ein wenig in diese Richtung mutet nämlich der Stil, in dem du hier vorgegangen bist, schon an. Ich habe beispielsweise auf Rückfragen an dich keine Antwort erhalten, und auch die angekündigten eigenen Versuche von deiner Seite sind ausgeblieben.

Von daher können wir hier folgendes festhalten: die Divergenz der Reihe ist gezeigt. Ob du allerdings die gefundene divergente Minorante nebst Begründung verwenden kannst bzw. darfst, das ist unklar, und ganz ehrlich: das ist jetzt dein Problem.


Gruß, Diophant

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