n \ge 3 Zwerge und ihre Milch < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Speyer |
hi !!!
also, hier eine kleine Geschichte für alle Denksportler:
n [mm] \ge [/mm] 3 Zwerge sitzen im Kreis um einen runden Tisch; jeder hat einen großen Becher Milch vor sich. Der erste verteilt Milch zu gleichen Teilen auf die Becher seiner Nachbarn. Danach tut dies der zweite, der dritte, etc.... Nachdem der n-te seine Milch verteilt hat, hat jeder wieder soviel Milch im Becher wie zu Anfang. Wieviel hatte jeder zuerst, wenn im ganzen n Liter Milch verteilt waren ?
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Ich hab absolut überhaupt keine Idee, wie man das lösen könnte...
Habs einfach mal versucht, aufzuzeichnen, mit dreien, aber da hatten
sie am Ende verschieden volle Becher...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Crispy |
> also, hier eine kleine Geschichte für alle Denksportler:
> n [mm]\ge[/mm] 3 Zwerge sitzen im Kreis um einen runden Tisch;
> jeder hat einen großen Becher Milch vor sich. Der erste
> verteilt Milch zu gleichen Teilen auf die Becher seiner
> Nachbarn. Danach tut dies der zweite, der dritte, etc....
> Nachdem der n-te seine Milch verteilt hat, hat jeder wieder
> soviel Milch im Becher wie zu Anfang. Wieviel hatte jeder
> zuerst, wenn im ganzen n Liter Milch verteilt waren ?
Also der letzte Zwerg hat immer einen leeren Becher.
Jetzt gibt es die triviale Lösung: Alle Becher sind leer.
Stellen wir uns das mal mit unseren 3 Zwergen vor:
Zwerg 3 sitzt auf dem trockenen.
Daraus kann man sich nach den 3 Zyklen ein Gleichungsystem basteln.
Dies ist noch recht einfach zu lösen. Jeder der zwei verbleibenden bekommt die Hälfte von dem Ersten.
Zwerg 1 bekommt nach dem zweiten Zyklus die Hälfte von Zwerg 2 und ein Viertel von seiner eigenen Milch wieder ...
Die Lösung ist übrigens sehr einfach, wenn man dieses "Spielchen" schon mal in Wirklichkeit mit Wassergläsern oder so durchgeführt hat.
Man erkennt dann einen sehr einfachen Zusammenhang.
Gruss, Crispy
[Ja, ich hab dieses Umschütten schon mal gemacht - nein, nicht mit Milch.]
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kannst du vielleicht anhand eines Beispiels mal zeigen wie das gleichungssystem auszusehen hat? ich verstehe irgendwie nicht zu welchem zeitpunkt man da ansetzen muss. schließlich ändert sich das doch mit der Anzahl der Schritte? komme da immer auf unstimmige ergebnisse und bin von einer sinnvollen allgemeinen Lösung weit entfernt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 10.05.2005 | | Autor: | Dhamo |
Hallo!
Bis n = 3 ist nicht das Schwerste.Das Problem ist, wie kann man mit n Zwerge eine Gleichung haben.
Am Anfang haben alle drei Zwerge null Milch und im Text ist nicht gesagt,dass der erste Milch bekommt.Er verteilt null milch(gar nichts).
Ich weiss auch nicht wie man eine LGS schreiben kann.
Vielleicht kann jemand andere die LGS Gleichung schreiben.
Tschüß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Di 10.05.2005 | | Autor: | Rastaflip |
wer sagt denn bitte das die zwerge alle null milch haben? es werden n liter milch verteilt, bei n >= 3 zwergen sind also mindestens drei liter milch da.
durch ausprobieren habe ich rausgefunden. das system geht immer.
1 zwerg hat sagen wir mal zwei, dann hat zwerg2 1, zwerg 3 2, zwerg4 1 usw. also immer der nächste zwerg hat entweder einhalb oder zweimal das seines vorgängers, wobei immer der anfänger immer die doppelte menge hat.
also hat immer Zwerg(n+2)=Zwerg n und Zwerg (n+1) = 1/2 Zwerg n.
jetzt ist nurnoch die frage wieviel Liter (abhängig von der Gesamtlitermenge bzw. Zwergmenge n) Zwerg n (also der erste) denn hat.
und wie man.
und schließlich noch? wo bleibt schneewittchen bei der ganzen Geschichte 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mi 11.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Rasta-Flip,
ein Gleichungssystem ist hier eigentlich unnötig.
Es gibt eine Lösung und deine ist es wohl nicht denn es würden mehr als n Liter dafür benötigt werden (siehe n=5)
Die Lösung ist : erster Zwerg bekommt zwei Liter
letzter Zwerg bekommt nichts
und alle anderen bekommen 1 Liter.
Das dies eine Lösung ist, macht man sich so klar : nach dem i-ten Schritt hat der i-te Zwerg keinen Inhalt, der (i+1)te Zwerg hat 2 Liter und alle anderen haben jeweils 1 Liter, d.h. nach dem i-ten Schritt sieht alles so aus wie am Anfang nur um i-Plätze gedreht (wenn es ein runder Tisch ist)
dass die Verteilung nach dem i-ten Schritt immer so aussieht, kann man induktiv zeigen (man beginnt beim ersten) - nach dem i-ten Schritt hat der i-te Zwerg seine 2Liter (IV) Inhalt verteilt => er hat nichts mehr
der (i+1)te Zwerg hatte vorher einen Liter (IV) und dadurch jetzt 2 Liter.
der (i-1)te hatte VOR dem i-ten Schritt nichts mehr und bekommt nun 1 Liter, deshalb haben alle anderen außer i und (i+1) 1Liter
jedenfalls folgt deshalb nach n-Schritten hat der n-te Zwerg nichts mehr, der (n+1)=1te Zwerg (jaja, modulo n) hat 2Liter und alle anderen haben 1Liter Milch, also so wie am Anfang, deshalb ist es eine Lösung.
[Ich sage nichts über die Eindeutigkeit]
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:42 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Speyer |
soweit war ich jetzt auch schon, ich habs auch schon durchgerechnet (mehrmals)...
nach i [mm] \le [/mm] n Schritten hat also der i-te Zwerg genau die Menge,
die der erste Zwerg bei i=0 Schritten hatte.
Bei n Schritten sind n Liter im Spiel...
Aber wie soll ich das jetzt beweisen, bzw. zeigen ?
Ich mein, gegeben war ja nur, dass bei n Zwergen n Liter Milch vorhanden sind, und dass nach n Schritten jeder soviel wie am Anfang hatte.
Zeigen sollen wir jetzt, wieviel jeder der Zwerge am Anfang hatte !!!
Aber wie macht man das jetzt konkret ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 11.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> soweit war ich jetzt auch schon, ich habs auch schon
> durchgerechnet (mehrmals)...
>
> nach i [mm]\le[/mm] n Schritten hat also der i-te Zwerg genau die
> Menge,
> die der erste Zwerg bei i=0 Schritten hatte.
nein, NACH i Schritten hat der (i+1)te Zwerg genau die Menge, die der erste Zwerg VOR dem ersten Schritt hat.
> Aber wie soll ich das jetzt beweisen, bzw. zeigen ?
Was willst du genau zeigen?
(Diese Frage musst du zuerst noch beantworten)
Willst du zeigen, dass die von mir (und anderen) vorgeschlagene Lösung tatsächlich eine Lösung ist?
Dies habe ich oben schon getan.
Oder Willst du zeigen, dass es die einzig mögliche ist?
Da muss ich noch passen..
> Zeigen sollen wir jetzt, wieviel jeder der Zwerge am
> Anfang hatte !!!
> Aber wie macht man das jetzt konkret ?
Wenn es nicht um die Eindeutigkeit geht, dann reicht es eine Lösung "zu raten" und dann zu beweisen, dass es wirklich eine Lösung ist.
viele grüße
DaMenge
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